Pré requis:

Projection orthogonale d’un point

Boule verte

BIPOINT   

Boule verte

ENVIRONNEMENT du dossier:

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   Tableau  Sphère metallique

 

 

DOSSIER N°    : PROJECTIONS ORTHOGONALES D ' UN SEGMENT.

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

Projections du segment dans   un repère orthogonal (Orthonormal)

 

B

 
          Soit un repère  orthonormé ( à compléter):  tracer les projections du segment   AB ; donner les coordonnées des deux points,

 

 

 


B''

 
échelle1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Commentaires:

AB est le segment à projeter:

A' B' est la projection du segment AB sur l'axe des abscisses.(on dit aussi : le segment A'B' est l'image du segment AB sur la droite    x x' )

A''B" est la projection du segment AB sur l'axe des ordonnées. .(on dit aussi : le segment A''B'' est l'image du segment AB sur la droite    y y')

Remarquer que la longueur des segments projetés  ne sont pas identiques au segment projeté.

 

 

Ce cas  sera repris  avec Obj : « Pythagore »  ; et lorsque l'on  recherche la norme d’un vecteur par le calcul

 

Pré requis: calcul de la longueur d'un segment

Boule verte

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul de la longueur du segment A'B'  projeté du segment AB sur xx'

 

Calcul de la longueur du segment A'B':

 

                le segment A'B':

 

Le point   A'  à  pour abscisse      

=  Ax   =  ( +3 )   =  xA

Le point  B'  à  pour abscisse

= Bx   =  ( + 7 )   = xB

 

  A savoir :  

  La longueur d'un segment est égale à la valeur absolue de la mesure algébrique du bipoint ;représenté par les bornes du segment  multiplié par le longueur du segment unitaire .

 

Soit le modèle mathématique :

 

 

Lg [A'B']    =  ½xB  - xA ½ Lg [u]  = ½½ Lg [u]

 

 

                                   

 

 

Commentaire:    couramment  on prend  la longueur du segment( unitaire noté  :  Lg [u]  ); comme valant   1 cm    ; cela pour faciliter les calculs et pouvoir  vérifier les calculs avec une règle graduée.

 

Ainsi le modèle mathématique devient :

                                      Lg [A'B']    =  ½xB  - xA ½ 1 cm = ½½ 1cm

 

Après simplification :               Lg [A'B']    =  ½xB  - xA ½ = ½½

 

Applications: Cas où les cordonnées sont positives

le segment A'B':

A'  à  pour abscisse     

=  Ax   =  ( +3 )   =  xA

B'  à  pour ordonnée

= Bx   =  ( + 7 )   = xB

 

On sait que         Lg [A'B']    =  ½xB  - xA ½

calculs

On remplace xB  et   xA  par leur valeur donnée

 

 

Cela nous donne :                         Lg [A'B']    =  ½(+7)  - (+3) ½

 

 (+7)  - (+3) =

      ( + (  7 - 3))  = ( +4)

Après calcul    :        Lg [A'B']    =  ½(+4) ½  = 4

 

 

 Conclusion : l'unité de mesure du segment unitaire étant 1 cm ; la longueur du segment A'B' est de 4 fois 1 cm  =    4 cm

Lg [A'B']    = 4 cm

 

 

 

 

Calcul de la longueur du segment A''B''  projeté du segment AB sur yy'

Calcul de la longueur du segment A''B'':

 

                le segment A''B'':

A''  à  pour ordonnée    

=  Ay   =  ( +2 )   =  yA

B''  à  pour ordonnée

= By   =  ( + 5 )   = yB

 

  A savoir :  

  La longueur d'un segment est égale à la valeur absolue de la mesure algébrique du bipoint ;représenté par les bornes du segment  multiplié par le longueur du segment unitaire .

 

Soit le modèle mathématique :

 

 

Lg [A''B'']    =  ½yB''  - yA'' ½ Lg [u]  = ½½ Lg [u]

 

 

                                  

 

 

Commentaire:    couramment  on prend  la longueur du segment( unitaire noté  :  Lg [u]  ); comme valant   1 cm    ; cela pour faciliter les calculs et pouvoir  vérifier les calculs avec une règle graduée.

 

Ainsi le modèle mathématique devient :

                                     Lg [A''B'']    =  ½yB''  - yA'' ½ 1 cm = ½½ 1cm

 

Après simplification :           Lg [A''B'']    =  ½yB''  - yA'' ½ = ½½

 

 

 

Applications: Cas où les cordonnées sont positives

le segment A''B'':

A''  à  pour ordonnée    

=  Ay   =  ( +2 )   =  yA

B''  à  pour ordonnée

= By   =  ( + 5 )   = yB

 

 

On sait que Lg [A''B'']    =  ½yB''  - yA'' ½

calculs

On remplace yB''  et  yA''     par leur valeur donnée

 

 

Cela nous donne :                         Lg [A''B'']    =  ½(+5)  - (+2) ½

 

 (+5)  + (- 2) =    ;       ( + (  5 - 2))  = ( +3)

Après calcul    :        Lg [A'B']    =  ½(+3) ½  = 3

 

 Conclusion : l'unité de mesure du segment unitaire étant 1 cm ; la longueur du segment A''B'' est de 3 fois 1 cm  =    3 cm

Lg [A''B'']    = 3 cm

 

 

CONCLUSIONS:

 

N°1

 

Le segment AB  (noté [AB]  ) à deux composantes dans le repère cartésien dont on connaît les mesures des longueurs :en utilisant "Pythagore" il est possible de trouver par le calcul la longueur du segment AB 

 

(AB)  2=  (A'B' )2 +  (A''B'') 2

(AB)  2  =  ( 4)2 +  (3') 2

(AB)  2  =  16 +  9

( AB)  2 =  25

Donc AB  = 5

                   La longueur du segment AB est égale à 5 cm

 

N°2

 

 

 

 

 

 


                             yA

 

 


                                          0

·                             xA                                   A’  

 

 

A partir des longueurs des composantes du segment ,  il est possible de calculer la pente (ce nombre donnera la valeur numérique de la  tangente  dont on pourra en déduire la valeur de l'angle que fait le segment par rapport à l'axe horizontal.

 

 


 

EVALUATION :

 

 

 

 

B

 
Soit un repère  orthonormé ( à compléter):  tracer les projections du segment   AB ; donner les coordonnées des deux points,

 


échelle1