Index « warmaths »

>>  ( voir « cours d’algèbre) et +

>>>  liste des  Cours niveau 4

>> Vers cours niveau 3 -2 (en cours)

Suite : Module sur  les primitives et les intégrales

 

 

Vers cours « calcul intégral » niveau 4

Résumé cours niveau IV-    CALCUL INTEGRAL

Chapitres :

·        PRIMITIVE D’UNE FONCTION

Le tableau des fonctions usuelles et de leurs primitives ; Exemples

·        INTEGRALE D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE

Exemple 

·        SIGNIFICATION GRAPHIQUE DE L’INTEGRALE

·        PROPRIETES DES INTEGRALES

·        MOYENNE

·        VALEUR EFFICACE

·        EXERCICES D’APPLICATION

 

 

 

 

1.       PRIMITIVE D’UNE FONCTION

 

La primitive F d’une fonction f définie sur un intervalle I de l’ensemble des nombres réels est telle que F’(x)=f(x)

 

 

Pour calculer une primitive d’une fonction f revient à faire l’inverse du calcul de la dérivée d’une fonction.

 

Exemples

 

Ø      Comment calculer une primitive de la fonction g : x ® 2x ?

 

Lorsque l’on regarde le tableau des fonctions et de leurs dérivées on a :

 

Fonction f

Dérivée f’

2x

 

Une primitive de la fonction g : x® 2x est telle que G’(x) = g(x)

 

Donc une primitive de g est G(x) = x²  en effet G’(x) = 2x = g(x)

 

Pourquoi dit-on une primitive et non pas la primitive ?

 

Pour la fonction g : x® 2x la fonction G(x)=x²+3500 est aussi une primitive, d’une manière générale toutes les fonctions du type G(x)=x²+ k ( où k est un nombre réel ) sont des primitives.

 

Pour une fonction f donnée, il existe une infinité de primitive telle que F’(x) = f(x).

 

Ø      Comment calculer une primitive de la fonction  h  : x® x² ?

 

Lorsque l’on regarde le tableau des fonctions et de leurs dérivées on a :

 

Fonction f

Dérivée f’

x3

3x²

 

Il faut lors du calcul de la primitive s’arranger pour que le facteur « 3 » disparaisse devant le x² on prend donc comme primitive de x² la fonction H(x)= 

Vérifions en dérivant :


Le tableau des fonctions usuelles et de leurs primitives est :

 

 

fonction f(x)

Primitive F(x)

xn

+C

cos(x)

sin(x)+C

 

sin(x)

-cos(x)+C

 

cos(ax+b)

+C

sin(ax+b)

+C

Ln(x)+C

+C

 

La primitive d’une somme de fonctions est égle à la somme des primitives des fonctions

La primitive d’une fonction multipliée par une constante est égale à la primitive de cette fonction multipliée par la constante.

 

Exemples

 

·        Primitive de   ® 

 

 

·        Primitive de      ® 

 

FExercice n°1

 

Calculer les primitives des fonctions suivantes :

 

 

 

 

 


2.     INTEGRALE D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE

 

Par définition l’intégrale I d’une fonction f sur l’intervalle [a ; b] de primitive F est le nombre :

 

 

NB : On note également  

 

Exemple : Comment calculer    ?

 

Il faut déjà déterminer une primitive de la fonction 2x²-3. Cette primitive F est :

D’après la définition :

 

 

FExercice n°2

 

Calculer les intégrales suivantes :

                                       

 

                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.     SIGNIFICATION GRAPHIQUE DE L’INTEGRALE

 

Pour illustrer cette partie, nous allons nous intéresser à la fonction f(x)=x², la représentation graphique de cette fonction est une parabole ( voir ci-contre).

Calculons   à l’unité près

 

Calculons maintenant l’aire située en dessous de la courbe de f comprise entre x = 5 et x =10. Pour cela nous allons utiliser une méthode approchée dite des rectangles :

 

On va assimiler l’aire totale de la courbe à la somme des aires des rectangles R1, R2, R3, R4 et R5.

L’aire d’un rectangle est A=L´l

Dans notre cas :

                       

                             ………

                                  

L’aire totale est donc :

 

 

Si on recommençait ce calcul avec des rectangle de largeur 0,01 on aurait :

 

à l’unité près

 

On constate donc que  

 

D’une manière générale, graphiquement l’intégrale d’une fonction positive entre x1 et x2 est égale à l’aire de la courbe située entre l’axe des abscisses et les droites d’équations x=x1 et x=x2 .

 

4.     PROPRIETES DES INTEGRALES

 

Ces propriétés découlent des propriétés opératoires des fonctions dérivées :

Linéarité :  où k est un nombre réel.

Relation de Chasles :

 

5.     MOYENNE

 

La valeur moyenne, notée , d’une fonction f, sur un intervalle [ a ; b] est donnée par la relation :

 

 

6.    VALEUR EFFICACE

 

La valeur efficace d’une fonction f sur un intervalle [ a ; b ] est notée Feff et est donnée par la relation :

 

 

 

7.     EXERCICES D’APPLICATION

 

1°) Un sèche linge est alimenté par une tension u en fonction du temps donnée par la relation :

 

Où la tension est exprimée en volts et le temps en secondes

Calculer la valeur moyenne de u sur l’intervalle [0 ; 0,01]

 

2°) Dans le cas d’une tension alternative sinusoïdale u telle que u(t)=Umaxsin(wt) calculer Ueff.

Rappel :            La période T de cette tension est donnée par 

                       

3°) Calculer l’aire délimitée par la courbe représentative de la fonction f(x)=3x²-5x+2 et les droites d’équations x=2 et x=4.

 

4°)  Calculer les intégrales suivantes :

 

5°)Un circuit comprenant un générateur de force contre électromotrice E=18 V, une bobine de résistance R=12 W et d’inductance L=0,24 H. La fermeture à l’instant t=0 provoque l’installation d’un régime transitoire. Dans cette phase, l’intensité du courant i(t) à l’instant t est donné par l relation :

 

i est exprimée en ampères et t en secondes

 

5.1°) Montrer que   

5.2°) Déterminer la dérivée i’ de la fonction i. Etudier le sens de variation de la fonction i sur l’intervalle [0 ; 0,1]

5.3°) Compléter le tableau suivant :

t(s)

0

0,01

0,02

0,03

0 ,04

0,05

0,08

0,1

i(A) arrondi au millième

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4°) Tracer la courbe C représentative de la fonction i dans un repère orthogonal d’unités graphiques : 1 cm pour 0,01 s en abscisses et 1cm pour 0,1 A en ordonnée

5.5°) Déterminer graphiquement le temps t1 tel que l’intensité soit 0,75 A

5.6°) Calculer la quantité d’électricité Q exprimée en coulombs, mise en jeu entre les temps 0 et 0,1. on rappelle que   

 

6°) La figure ci-dessous est l’oscillogramme obtenu aux bornes d’un onduleur :

 

6.1°) Quelle est la période T du signal observé

6.2°) En déduire la pulsation w

6.3°) La fonction de base étant la fonction u définie par

 

Calculer la valeur moyenne  du signal soit