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LIVRE : 5 / 25

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

TITRE :  LES FRACTIONS ( Opérations)

DOSSIER  N°5

LES FRACTIONS ( OPERATIONS ):

Information

« TRAVAUX d ’ auto - formation  »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU :

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

=Savoir faire des calculs avec des fractions de mêmes dénominateurs   :Addition ; soustraction ; multiplication ; division . :

=Savoir faire des calculs avec des fractions de dénominateurs différents  :Addition ; soustraction ; multiplication ; division .

=Savoir faire des calculs avec une fraction et un nombre .Addition ; soustraction ; multiplication ; division .

   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

Test

 

COURS  

Travaux  auto - formation.

Cours précédent .

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

Evaluation :

INTERDISCIPLINARITE : voir cas par cas ! !

 

 

CORRIGE contrôle

CORRIGE  évaluation

 

Leçon

PREAMBULE

N°5

LES FRACTIONS ( Opérations)

 

CHAPITRES

Niveau

obtenu

Bilan

1.Addition , soustraction , multiplication et division de deux fractions de même dénominateur.

 



2..Addition , soustraction , multiplication et division de deux fractions de même dénominateur.

 



3.Addition , soustraction , multiplication et division d ‘une fractions  et d’un nombre .

 



4.Cas particulier : pourcentage d’un nombre .

 



 

Définitions préalables

 

Fraction : La fraction est le rapport  (une division )d’un nombre entier naturel par un autre nombre entier naturel   

Exemple :

Rationnel Un rationnel est le quotient d’un entier par un entier non nul.

 

Exemples :                             16 : 2 = 9                         9  est un rationnel

                                                25: 4  = 6,25                    6,25  est un rationnel

                                                11 : 7  =   11/7                11/ 7 est un rationnel

 

Ecriture fractionnaire : On appelle « écriture fractionnaire «  une fraction possédant , au moins un nombre décimal ».( Il y a au moins un nombre décimal au numérateur ou au dénominateur.)

Pour  des raisons « pratiques »  il est souvent demandé d'exprimer le résultat  du calcul  présenter sous une forme qui vous est précisée:  ( pour comprendre voir sur le CD : les nombres irrationnels)

Remarques :

 

Le nombre

Devient la fraction :

 

L’écriture fract.

Devient la fraction :

4

 = 4 / 1

 

1 / 1,2

= 10 / 12

1,5

= 1,5 / 1  = 15 / 10

 

11 / 1,3

= 110 / 13

2,37

= 2,37 / 1 = 237 / 100

 

0,54 / 17

= 54  / 1 700

3,673

= 3,673 / 1 = 3673 / 1 000

 

3,5 / 7,95

= 350 / 795


RESUME ( à retenir) :  les opérations  avec les fractions

 

Pour chaque opération type  il y a deux cas  à prendre en compte : les dénominateurs sont différents ou  les dénominateurs sont identiques

 

 

 

ADDITION

SOUSTRACTION 

MULTIPLICATION

DIVISION

 ( ou fraction de fraction)

Même dénominateurs

Dénominateurs différents

 

 

 

Cas particuliers :

et

 

 

LES FRACTIONS EQUIVALENTES 

 

 

Dénominateurs différents

Même dénominateur 

 

    ;    donc   ad = bc

 

Impossible ; puisque a ,b , c sont des nombres différents

    ;    donc   ab = bc

 

Pensées:  Important : Les deux fractions sont séparées par le signe « = » 



                   

 

 

Leçon

Titre

N°5

LES  FRACTIONS :

Opérations :Addition ; soustraction ; multiplication ; division

 

 

Important :Pour faciliter les calculs et pour éviter les risques d’erreurs de calcul , il est conseillé de simplifier jusqu’à rendre irréductible la ou les fractions .

 

CHAPITRES

A ).Addition , soustraction , multiplication et division de deux fractions de même dénominateur.



B )..Addition , soustraction , multiplication et division de deux fractions de même dénominateur.



C ) .Addition , soustraction , multiplication et division d ‘une fractions  et d’un nombre .



D) Cas particulier : pourcentage d’un nombre .



 

COURS

 

 

A.  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

¥

* chaque opération est traitée , à chacune correspond une information plus particulière .

 

1. ADDITION



 

 

 

Définition : La somme de deux fractions est égale à une troisième fraction qui aura pour  « Numérateur » : la somme des numérateurs et pour « Dénominateur » : le dénominateur commun .

Bulle ronde: On calcule la somme des dénominateurs..

Forme mathématique:

                                    

Bulle ronde: Le dénominateur commun aux deux fractions est « b »

Exemple

 


 

2.SOUSTRACTION



 

Règle : (Forme littérale)

 

 

Définition : La différence de deux fractions est égale à une troisième fraction qui aura pour  « Numérateur » : la différence des numérateurs et pour « Dénominateur » : le dénominateur commun.

Bulle ronde: On fait la différence des numérateurs 

Forme symbolique mathématique:

                                          

Exemple

Bulle ronde: On conserve le dénominateur commun Calcul de : 

 

Bulle ronde: 13 est le dénominateur communSolution : =   = 

 

Expression du résultat :

Conclusion :  =     ;   »  0,333333333333333333333333333333333

 

 

 

 

 

 

 

 


3.MULTIPLICATION



 

Règle :   ( Forme littérale)

 

La multiplication  de deux fractions  de même dénominateur est égale à une troisième fraction qui aura pour: « Numérateur » le produit des numérateurs et pour « Dénominateur » le produit des dénominateurs.

Bulle ronde: Produit des numérateurs

Forme symbolique mathématique:     

 

Bulle ronde: Le produit d’un nombre par lui - même est appelé « carré »      

 

Bulle ronde: Produit des dénominateurs . 


         

 

Exemple :

Calcul de

 

Solution :                                         =   =  ou  = 

Bulle ronde: Cette fraction est irréductible !
 


Calculs :   8 fois 7 = 56   et 13² = 169

 

Soit :    =

 

 

 

 


En conclusion  =   ou   »  0,331

Bulle ronde: Produit des dénominateurs
 

 


4 .DIVISION



 

Bulle ronde: La fraction de fractions doit être transformée en division de deux fractionsRemarque importante: Nous ne pouvons pas calculer directement la fraction de deux fractions ,il faut impérativement transformer

 

 

 

Bulle ronde:  La première fraction étant  au dessus de la barre de fraction  qui se trouve  alignée avec le signe « égal »Donc l’écriture :      se transforme  en  

 

 

 

Bulle ronde: Division de deux fractionsBulle ronde: , la deuxième fraction étant située sous la barre de fraction alignée avec le signe égal La fraction de deux fractions      devient   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bien que la fraction de deux fractions soit transformée en division ;le calcul de  la division de deux fractions ne se fait pas ; il faut  « passer » par la multiplication en respectant la procédure suivante:

 

 

 

 


    

    

 

 

 se transforme  en       qui devient         =     =  =

Bulle ronde: Transformation finale
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


En conclusion :   =

 

En résumé :

 

Règle :  ( forme littérale ) Pour calculer la division de deux fractions il suffit   de  multiplier la première fraction par l’inverse de seconde fraction. 

Autrement dit :   Le résultat de la  division de deux fractions de même dénominateur   est égal au produit de la première fraction par l’inverse de seconde fraction . 

Forme symbolique mathématique :


Exemple :   calculer  

Bulle ronde: On simplifie ; il faut diviser en haut et en bas par 13 

 


Solution :

Bulle ronde: Dans le calcul  de  7¸ 8  la valeur décimale  est exacte  .Déroulement :

 

Conclusion : = 0,875

 

 

+Faire les exercices suivants :

 

Addition

 

 

=

 

 

Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs)

 

 

 

Soustraction

 

 

=

 

 

Multiplication

 

 

 

 

Fraction de fractions

 

 

= 

 

 

Division de fractions

 

 

 

 

 

Réponses :   ;   ;  ;  ;  ;

 

 

 

 

 

B )  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE DENOMINATEURS  DIFFERENTS.



 

5 .ADDITION :



 

Bulle ronde: Qui n’ont pas la  même valeur au dénominateur !  !Soit les deux fractions    On ne peut pas additionner des fractions de dénominateurs différents :

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Ainsi avant de faire l’addition de deux fractions il faut transformer chaque  fraction  en fraction dite « équivalente » dont le nouveau dénominateur est     «  bd »  .

Bulle ronde: on transforme  la première fraction ! 

 


a)      

Bulle ronde: on transforme la deuxième fraction !b)      

 

 

On remplace l’addition     par    

Rectangle à coins arrondis: Après transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur  .  

 

  On peut écrire l’égalité :       =

 

 

 

On peut maintenant effectuer l addition des deux fractions:

                                   

=

 

 

 

 

 

Bulle ronde: Dans la mesure du possibleExemple :       Calculer 

Procédure :

1°) Rendre irréductible la ou les fractions : ce qui est le cas de 

 

Bulle ronde: On remplace    , On obtient une nouvelle addition ,2°) On remplace :  devient  égal à  

 

3°) On calcule le  « dénominateur commun » :

 

                        5 fois 4  = 20

 

Bulle ronde: Dont le dénominateur sera  204°)  Transformation chacune des  deux fractions

 

    ;    

 

Bulle ronde: Nous avons  maintenant deux fractions de même dénominateur , nous pouvons faire l’addition .5°) On remplace l’addition avec les fractions de départ par une nouvelle addition avec  des fractions équivalentes :

 

  = 

 

6°) Calcul de l’addition  :

=  = 

Bulle ronde: On donne le résultat sous forme irréductible
 

 

 


7°) Conclusion :

Bulle ronde: On peut donner aussi le résultat sous forme décimale Bulle ronde: On reprend l’énoncé :  l’addition de départ !    =   =  0,85

 

 

 

8°) Vérification : Dans tous les cas il faut  vérifier si notre résultat est conforme ; pour cela  on calcule la division dans chaque fraction :

 =  3 ¸ 5 =  0,6   ;   =  3 ¸ 12 = 0,25

Ensuite , on remplace les deux fractions par les valeurs décimales calculées précédemment et l’on compare :

  =  0,6  + 0,25  = 0,85

On compare 0,85   avec  , bien entendu nous trouvons  le même nombre donc on peut maintenant conclure que :     =      

 

 

6. SOUSTRACTION:



 

 

Soit les deux fractions      On ne peut pas soustraire  des fractions de dénominateurs différents :

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Transformer chaque  fraction  en fraction dite « équivalente » dont le nouveau dénominateur est     «  bd »  .

Bulle ronde: on transforme  la première fraction ! 

 


a)      

Bulle ronde: on transforme la deuxième fraction !b)      

 

 

Rectangle à coins arrondis: Après transformations , on se trouve en présence d’une soustraction de deux fractions de même dénominateur  .On remplace     par    

  

 

  On peut écrire                   =

On peut maintenant effectuer la soustraction  des deux fractions:

                                   

=

 

 

 

 

 

 

 


Exemple :       Calculer 

Bulle ronde: Le travail de transformation  est identique à celui  réaliser pour additionner deux fractions de dénominateurs différents !Procédure :

1°) Rendre irréductible la ou les fractions : ce qui est le cas de 

 

2°)  réécrire la nouvelle opération :     devient  égal à  

 

3°)calculer le  dénominateur commun :   5 fois 4  = 20

 

4°) Transformation les deux fractions  de départ par des fractions équivalentes , ayant toutes deux un même dénominateur .

 

    ;    

 

5°) Remplacer les fractions de la soustraction d’origine par les fractions équivalentes :

 

Bulle ronde: Nous sommes en présence de deux fractions de même dénominateur  = 

 

6°) calcul de la soustraction  :

=  = 

Bulle ronde: Résultat sous forme irréductible
 

 

 


7°) 1ère  conclusion :

Bulle ronde: Résultat sous forme décimale     =   =  0,35

 

 

 

 

8°) Vérification :  =  0,6 - 0,25  = 0,35 ; et   =  0,35 ; conclusion          =

 

Si l’addition et la soustraction  de deux  fractions de dénominateurs différents posent  un réel problème  , il n’en est pas de même pour la multiplication et la division ( ou fraction ) de fractions :     il n’y a aucune  transformation  particulière   , il faut  appliquer directement les   règles  énoncées  pour les fractions de même  dénominateur .

Voir suite du cours .

7.MULTIPLICATION



 

Il n’y a pas  de transformation  particulière  à effectuer , ainsi la multiplication de  deux fractions de  dénominateur  différent ne pose pas de problème  particulier .

On retiendra la règle suivante :

 

Règle : ( écriture  littérale)La multiplication  de deux fractions  de dénominateur différent est égale à une troisième fraction qui aura pour  « Numérateur » : le produit des numérateurs et pour « Dénominateur » : le produit des dénominateurs.

 

 

Traduction  symbolique  mathématique: =   = 

 

Bulle ronde: Produit des numérateursExemple :   calculer : 

 

Solution :

Bulle ronde: Résultat : forme irréductible

Bulle ronde: Produit des dénominateurs 

 

 

 


conclusion :        =    »   0,194805194805194805194805194805195

Bulle ronde: Résultat  sous forme décimale , ou » 0,195  à 0,001 prés 


 

 

 

 

8. DIVISION



 

Bulle ronde: La fraction de fractions doit être transformée en division de deux fractionsiNous ne pouvons pas calculer directement la fraction de deux  fractions  ,il faut impérativement transformer l’écriture .

 

 

 

Donc l’écriture :  se transforme  en  

 

 

 

 

 

Bulle ronde:  La première fraction étant  au dessus de la barre de fraction  qui se trouve  alignée avec le signe « égal »
 

 

 

 


Bulle ronde: , la deuxième fraction étant située sous la barre de fraction alignée avec le signe égal La fraction de fractions      devient 

 

 

 

 

 

Bulle ronde: On sait que  Bien que la fraction de fractions soit transformée en division ; la division de deux fractions ne se fait pas ; il faut transformer  la division en multiplication en respectant la procédure suivante:

 

 

    

Bulle ronde: Deuxième transformation : la multiplication par l’inverse !Bulle ronde: Première transformation : fraction en division       se transforme  en       qui devient      

 

Bulle ronde: Transformation finale 

 

 

 


En conclusion :    

Rectangle à coins arrondis: On a transformé la fraction de fractions  par  une « multiplication » .
Rectangle à coins arrondis: l’ inverse de   est égal à          et       inv.     =
 

 

 

 

 

 

 

 

 


Et l’on applique ,ensuite, les règles de la multiplication de deux fractions.



Règle :  ( forme littérale ) Pour calculer la division de deux fractions il suffit   de  multiplier la première fraction par l’inverse de seconde fraction. 

 

Forme symbolique mathématique :

  

Exemple :    

 

   (  »0,244444444444444444444444444444444)

conclusion :  ; »0,24   à 0,01 près  ( il faudrait  faire  la vérification ! !)

 

+Faire les exercices suivants 

 

Addition

 

 

=

 

 

Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs

 

  =

 

 

Soustraction

 

 

=

 

 

Multiplication

 

 

 =

 

 

Fraction de fractions

 

 

= 

 

 

Division de fractions

 

 

 =

 

 

 

iComme vous l’avez remarqué :  on  peut multiplier ou diviser directement  deux fractions de dénominateur différent , on ne peut pas additionner  ou  soustraire  deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur .

 

C)  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION d’ UNE FRACTION et d’UN NOMBRE .



 

 

9. ADDITION



 

Addition d’une fraction avec un nombre entier (naturel ou relatif)

Bulle ronde: pas de solution  immédiate; (il faut transformer)
 


Modèle mathématique: ?     

Rectangle: on ne peut obtenir le résultat directement,       
Il faut transformer l ‘ addition  donnée   en addition  de deux fractions de même dénominateur.
Exemple:   =  ?   

 

 

 

 

iQue  le nombre soit devant ou derrière  la fraction   le résultat ne changera pas :    ( cela ne sera pas vrai avec la soustraction )

 

Procédure pour transformer l ‘ addition   ( ou la soustraction )  en addition ( ou soustraction) de deux fractions de même dénominateur.

Bulle ronde:  cette fraction est irréductible
 


1°)Rendre la fraction irréductible.:

 

  Exemple :    7 /13    =             

2°)Mettre le nombre sous forme de fraction de dénominateur égal à 1  

Modèle mathématique:  c =        ;      Exemple :   2 =

3°)Transformer cette fraction en fraction équivalente de dénominateur égal au dénominateur de la première fraction.

Modèle mathématique:

  Le dénominateur de la première fraction est 13

donc   =

4°) Poser la nouvelle égalité

Modèle mathématique: =

donc    =

5°) Faire l’addition des deux fractions de même dénominateur. 

donc    = 

6° ) il faudra conclure (comme on l’a vu pour les exercices précédents ), après vérification.

 

10.SOUSTRACTION



 

Soustraction d’une fraction avec un nombre entier (naturel ou relatif)

 

Bulle ronde: pas de solution  immédiate; (il faut transformer)Modèle mathématique: ?     

 

Rectangle: on ne peut obtenir le résultat directement,       
Il faut transformer la soustraction  donnée  en  soustraction de deux fractions de même dénominateur.
Exemple:   =  ?   

 

 

 

 

 iContrairement à l’addition , pour la soustraction , si l’on permute le nombre et la fraction  on n’aura pas le même résultat:              ¹    

Procédure pour transformer  la soustraction  d’un nombre et d’une fraction   en soustraction  de deux fractions de même dénominateur.

( nous ne traiterons que  l’exemple de soustraction :  )

procédure :

 

 

1°)Rendre la fraction irréductible.:

 

Exemple :    la fraction irréductible  de   est  

 

2°)Mettre le nombre sous forme de fraction de dénominateur égal à 1  

Modèle mathématique:  c =        ;      exemple :   2 =

3°)Transformer cette fraction en fraction équivalente de dénominateur égal au dénominateur de la première fraction.

Modèle mathématique:

  Le dénominateur de la première fraction est 13

donc  

4°) poser la nouvelle égalité

Modèle mathématique: =

donc    =  

5°) faire la soustraction des deux fractions de même dénominateur.

 

donc    = 

6° ) il faudra conclure (comme on l’a vu pour les exercices précédents ), après vérification.

 

11 .MULTIPLICATION



 

Par  définition : On ne peut pas multiplier un nombre par une fraction , pour obtenir un résultat on prendra appui sur la règle concernant la multiplication de deux fractions .

Bulle ronde: pas de solution  immédiate . Il faut  transformer la multiplication d’une fraction par un nombre (entier naturel ou relatif) par une multiplication de deux fractions:

Modèle mathématique: =       

Exemple  : =  ?   ;

 

 

 

On passe de ce  modèle mathématique:     à ce modèle  

Bulle ronde: Mettre le nombre « c » sous forme de fraction de dénominateur égal à    1    ;  tel que   c =  

 

 

 

 

 


3° ) On applique la procédure concernant la multiplication de deux fractions:

 

Bulle ronde: Forme irréductible =

4° ) Rendre compte: =

Bulle ronde: Forme décimale arrondie à 0,001 prés : 1,077 Exemple :   = 

Solution :         =        =       =    

Conclusion :       =  

 

 

Cas  particulier 1  : on veut calculer  :    3 =   ; 72

Modèle mathématique: a =        pas de solution  immédiate ; (il faut transformer)

 

   a   = ?            =      =           ;           aussi :       a   =

 

Exemple : si b = 2

 

   a   = ?       =        =       ;         aussi :    a   =   

Bulle ronde: ( donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale )

 

Exemple 1  :   Calculer   3 =     

 

3  =    ( voir multiplication de deux fractions)

Bulle ronde: remarque :    (    = 0,5 ), sous  forme décimale   3     =   0,5

   =  ; = (voir simplification d’une fraction)

 

=  ; =    ; =    

conclusion : 3  =                       

Exemple 2  :   calculer   72  ( donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale )

 

72 =  =   ;  =  ;

 

Conclusion :              72 =       ou   72 = 18

 

 

En résumé : On ne peut pas multiplier un nombre par une fraction , pour obtenir un résultat on prendra appui sur la règle concernant la multiplication de deux fractions.

 

Procédure permettant de multiplier une fraction par un nombre.(  Modèle mathématique: =   ) Il faut faire dans l’ordre :

a) Placer le nombre sous forme de fraction de dénominateur égal à 1    :

b) On passe de ce  modèle mathématique:     à ce modèle  

 

c) On applique la procédure concernant la multiplication de deux fractions:

=

d  ) Rendre compte: =

12.  DIVISION



 

Attention: on ne doit pas confondre:

            

« diviser une fraction par un nombre( entier) » ( 1° cas):

 

 

« diviser un nombre ( entier) par une fraction »(2° cas)

 

 

iCe qui différencie  les deux cas est  la position du signe « égal » devant l ‘ une des deux barres de  fraction :

 

 Etude  du 1° cas : « diviser une fraction par un nombre( entier) »

 

 

Bulle ronde: On transforme l’écriture la fraction  par un nombre   par  la division d’une fraction par un nombre .1°) Première transformation

Exemple:          

 

2°) Deuxième transformation

Rectangle à coins arrondis: Transformer « le nombre  "2" » en fraction de numérateur égal à 1.     2  =
 

 

 


Bulle ronde: « On multiplie la première fraction par l ‘inverse de la seconde fraction ! »

 

3°) Troisième transformation : seconde. »

  = 

4°) Calcul :  appliquer la règle concernant la multiplication de deux fractions.

Bulle ronde: »  0,269   ( résultat sous forme décimale à 0,001 près )                 = 

 

 

 Etude du  second cas  :   Division d’un nombre "a"   entier  par une fraction

 

Pensées: Pour obtenir un résultat ,on opèrera par transformations   successives

 

 

 

 

 

 

Bulle ronde: Première transformation :On transforme  la « double » fraction par la division d’un nombre par une fraction .Exemple :

 

 

1°) Transformer la division d’un nombre par une fraction  en une division de fraction par une fraction.

Rectangle à coins arrondis: Deuxième transformation : mettre   le nombre «  7 » en fraction de dénominateur  égal à 1.      7  =
 

 


  

 

2°)  Multiplier la première fraction par l ‘inverse de la seconde. »

Rectangle à coins arrondis: Troisième transformation : dans la fraction de fractions  , il faut multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde fraction.
 


 

 

4°) Faire  la multiplication des deux fractions.

 

Rectangle à coins arrondis: Forme irréductible du résultat .
1,077 est le résultat arrondi à 0,001 près .

 

 

ion peut constater que les deux cas donnent des résultats différents ,il est donc trés important de vérifier la position du signe « égal »

  donne comme résultat:    » 0,……

 

et  donne comme résultat: » 1,……

+Faire les exercices suivants 

 

Addition

 

 

=

 

 

Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs)

 

  =

 

 

Soustraction

 

 

=

 

 

Multiplication

 

 

 =

 

 

Fraction de fractions

 

 

= 

 

 

=

 

 

Division de fractions

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 

4 . Cas particulier : pourcentage d’un nombre .



( Voir la partie abordée dans la leçon N°2 sur la fraction)

Bulle ronde: Pour savoir plus d’informations sur cette équation   il faut  voir la leçon sur la fonction linéaire .  A savoir :   a% = 

Bulle ronde: « a » pour « cent » est une donnée statistique  

 


y  =    x     ou    y  =   =   = 

 

ou   « y » est la valeur d’une augmentation ou diminution

       « a » la valeur du taux

        « x » le nombre sur lequel s’applique le taux.

 

Exemple : on veut calculer  8 % de 120

On transforme :   8%  =   ( =  0,08 )

On calcule : ´ 120  =  =  =  =  9,6

Conclusion : 8% de 120  =  9,6

 

 

Leçon

Titre

N°5

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

 FRACTIONS ( OPERATIONS ):

 

 

TRAVAUX  N°5    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

 

Définitions préalables

1°)  donner la définition d’un fraction : donner un exemple avec 3 et 4

.

Exemples ?:

 

2°)  Qu’est ce qu’un rationnel ?

.

Donner des exemples :

16 : 2 = ?    ………………………………………………

25: 4  =   ?    ………………………………………………

11 : 7  =   ?  …………………………………………………

3°) qu’appelle - t  - on  «  écriture fractionnaire » 

 

A.  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .



 

1. ADDITION



1°) A quoi est égale la somme de deux fractions ? ( Forme littérale)

 

2°) Donner la Forme symbolique mathématique:

 

 

2.SOUSTRACTION



 

1°) A quoi est égale la différence de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale)

2°) donner la Forme symbolique mathématique:

                                          

 

3.MULTIPLICATION



 

1°) A quoi est égale la différence de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale)

.

 

2°) donner sa forme symbolique mathématique:     

 

4 .DIVISION



 

1°) Compléter la phrase :

Remarque importante: Nous ……………………. calculer directement la fraction de deux fractions ,il faut impérativement transformer

2°) Transformer la fraction de fractions en division de fractions :

   se transforme  en  

 

3°) A quoi est égale le résultat de la division  de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale) 

     

  5° ) montrer les étapes de transformation conduisant au résultat .

           =

 

 

B )  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE DENOMINATEURS  DIFFERENTS.



 

5 .ADDITION :



 

1°) Soit les deux fractions       que peut - on déclarer sur l’addition  de ces deux fractions ?

 

2°)Ainsi avant de faire l’addition de deux fractions de dénominateurs différents  il faut transformer chaque  fraction  en fraction dites « ………………. » dont le nouveau dénominateur est     «  bd » ( appelé :…………………………………..)  .

3°) transformer  en fraction équivalente de dénominateur valant « bd »

 

4°) transformer      en fraction équivalente de dénominateur valant « bd »

 

 

5 ° ) faire l’addition des fractions :

 =

 

 

 

 

6. SOUSTRACTION:



 

1°) Soit les deux fractions       que peut - on déclarer sur la soustraction  de ces deux fractions ?:

 

2°)Ainsi avant de faire l’addition de deux fractions de dénominateurs différents  il faut transformer chaque  fraction  en fraction dites « ……………. » dont le nouveau dénominateur est     «  bd » (appelé : ………………………………)  .

3°) transformer  en fraction équivalente de dénominateur valant « bd »

 

4°) transformer      en fraction équivalente de dénominateur valant « bd »

 

 

 

5 ° ) faire la soustraction des fractions :   

 

7.MULTIPLICATION



 

1°) à quoi est égale la multiplication de deux fractions de  dénominateurs différents ? ( écriture  littérale) ?

2°) donner la traduction  symbolique  mathématique: =   

 

 

 

8. DIVISION



 

1°) Compléter la phrase :

Remarque importante: Comme pour la division de deux fractions de même dénominateur , nous ……………………. calculer directement la fraction de deux fractions de dénominateur différent ,   il faut impérativement transformer

 

2°) Transformer la fraction de fractions en division de fractions :

 se transforme  en  

 

4°) A quoi est égale le résultat de la division  de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale) 

     

  5° ) montrer les étapes de transformation conduisant au résultat .

 

3°)  Donner la forme symbolique mathématique  du calcul de  ? 

 

C)  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION d’ UNE FRACTION et d’UN NOMBRE .



 

 

9. ADDITION



 

1° ) On ne peut pas additionner  ( ?….)     une fraction avec un nombre entier (naturel ou relatif) que faut-il faire pour obtenir un résultat ?

 

 

2° )   Modèle mathématique: ?      

3°) donner la procédure à appliquer pour transformer l ‘ addition   ( ou la soustraction ) d’une fraction et un nombre  en addition ( ou soustraction) de deux fractions de même dénominateur en vue faire cette addition ou soustraction ?.

 

10.SOUSTRACTION



1° ) On ne peut pas additionner  (= ?.)     une fraction avec un nombre entier (naturel ou relatif) que faut-il faire pour obtenir un résultat ?

 

2°) donner la procédure à appliquer pour transformer la soustraction  d’une fraction et un nombre  en soustraction de deux fractions de même dénominateur en vue faire cette soustraction ?.

 

11 .MULTIPLICATION



1°) peut - on multiplier un nombre par une fraction ?

 

2°) donner la procédure permettant de multiplier une fraction par un nombre.

 

12.  DIVISION



 

 Etude  du 1° cas : « diviser une fraction par un nombre( entier) »

 

1°) Donner la procédure permettant de calculer le résultat de la division d’une fraction par un nombre :   

 

 2°)Etude du  second cas  :   Division d’un nombre "a"   entier  par une fraction

 

 Donner la procédure permettant de calculer le résultat de la division d’un nombre  par une fraction:

 

 

TRAVAUX  N°5    d ’ AUTO - FORMATION :  EVALUATION 1

 

Définitions préalables

1°)  avec 3 et 4 écrire une fraction ?

2°)  souligner les  rationnels .

16 + 2 =  18   ;  16 : 2 =   8 ; 16 -2 = 14

25: 4  =   6,25    ;   25 ´ 4 = 100   ; 25 - 4 = 21           

11 + 7  =  18     ;    7 - 11 = -4 ; 11 : 7  =   11/7

3°) entourer  l ’ «  écriture fractionnaire » 

  16 / 2 ;   17 / 5  ;  20,2  / 2 ; 10 / 0,5 ; 6,3 / 7,8 ; .456/ 3625

 

A.  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .



 

A)   Série 1

 

1. ADDITION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .



Calculer :

 

 

2.SOUSTRACTION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .



 

Calculer :   ; donner le résultat sous forme  irréductible et sous forme décimale à 0,01 prés .

 

 

3.MULTIPLICATION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .



 

Calculer   donner le résultat sous forme  irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

 

 

4 .DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .



 

1°)  transformer    en une division de deux fractions :

 

 

2°)  Calculer :   =    ; donner le résultat sous forme  irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

 

A) Série 2

 

Série  2 :   Faire les calculs de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR



.

Addition

 

 

=

 



Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs)

 

 



Soustraction

 

 

=

 



Multiplication

 

 

 



Fraction de fractions

 

 

= 

 



Division de fractions

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B )  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE DENOMINATEURS  DIFFERENTS.



 

B) Série 1

 

5 .ADDITION :



 

  Calculer :    ; donner le résultat sous forme  irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

 

6. SOUSTRACTION:



Calculer     ; donner le résultat sous forme  irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

 

7.MULTIPLICATION



 

1°) Calculer :   ; donner le résultat sous forme irréductible et puis sous forme décimale à 0,001  prés .

 

8. DIVISION



 

Calculer     ? ; donner le résultat sous forme irréductible et puis sous forme décimale à 0,001  prés .

B) Série 2

 

Addition

 

 

=

 



Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs

 

  =

 



Soustraction

 

 

=

 



Multiplication

 

 

 =

 



Fraction de fractions

 

 

= 

 



Division de fractions

 

 

 =

 



 

 

 

C)  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION d’ UNE FRACTION et d ’ UN NOMBRE .



 

C ) Série 1

 

 

9. ADDITION



 

1°)  Calculer :   =  ?     ou

10.SOUSTRACTION



 

1°)  Calculer :    ; donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,01  prés .

2°)   =  ? ; donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,01  prés .

 

 

11 .MULTIPLICATION



1°)  Calculer   : =  ? donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,01  prés .

 

2 °) calculer   3 =    ; donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,01  prés .   

 

3°) calculer   72 donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,01  prés . 

 

 

12.  DIVISION



 

 Etude  du 1° cas : « diviser une fraction par un nombre( entier) »

 

1°) calculer :               ; donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,001  prés .

 

 

 2°)Calculer :             ;  donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,001  prés .

 

C ) Série 2

 

Addition

 

 

=

 



Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs)

 

  =

 



Soustraction

 

 

=

 



Multiplication

 

 

 =

 



Fraction de fractions

 

 

= 

 



=

 



Division de fractions

 

 

 =

 



 =

 



 

4 . Cas particulier : pourcentage d’un nombre .



 

1°) Calculer  8 % de 120

 

 

 

 

 

 

 

PROBLEMES :FRACTIONS  ( Série1)

FRACTION D'UNE GRANDEUR

Les problèmes sont à faire :

(dans un premier temps faire le calcul et donner le résultat) ; dans un deuxième temps, lors d’un devoir , vous devrez rédiger ;

 

 

1)      Une salle de cinéma qui compte 320 places est remplie aux ¾. Combien y a-t-il de places occupées ? Combien reste-t-il de places libres ?

2)      La France a une superficie de 549 000 km² dont ¼ est recouvert de forêts. Quelle est la superficie de la forêt française ?

3)      Une famille répartit ses revenus en prévoyant notamment : 2/20 pour les impôts, 5/20 pour l'alimentation et 3/20 pour le loyer. Les revenus mensuels de la famille étant de 15 500 F, calculer en francs, le montant des dépenses prévues pour les impôts, l'alimentation et le loyer.

4)       Les 4/10 des 330 000 habitants de la Martinique ont moins de 20 ans. Trouver la question et y répondre.

5)       Une personne qui a gagné 107 800 F au Loto offre 1/7 de son gain à l'association "Médecins du Monde" et 3/7 à une association pour la recherche contre le cancer. Quelle somme a-t-elle offerte à chacune de ces associations ? Combien a-t-elle gardé ?

6)     Sur un terrain constructible de  1 395 m², 1/9 est réservé à la maison et 2/5 au jardin potager. Le reste de la surface sera ensemencé en pelouse. Quelle sera la superficie occupée par cette pelouse ?

7)      Le vélo de cross d'Alain vaut 720 F. Celui de Stéphane coûte les 9/6 de celui d'Alain. Quel est le prix du vélo de Stéphane ?

8)      Maman a 33 ans. L'âge de Papa est égal aux 7/6 de celui de Maman. Quel est l'âge de Papa ?

9)      Des maçons doivent construire un mur de 25 m de long. La première journée, ils en édifient les 2/5, puis ¼ le lendemain. Quelle longueur de mur leur restera-t-il à construire le troisième jour ?

10)  Romain prépare un cocktail pour ses camarades. Dans un saladier d'une capacité de 3,5 l, il doit verser 3/10 de jus d'ananas, 1/5 de jus d'orange, 1/14 de sirop de grenadine et compléter avec de l'eau gazeuse. Quelle quantité (en litres) de chaque ingrédient doit-il utiliser ?

11)  Pour arroser son jardin, papa récupère l'eau de pluie dans une citerne, d'une capacité de  2 700 l. Celle-ci est actuellement rempli aux 4/5. Sachant qu'il utilise environ 90 l d'eau par jour, en aura-t-il suffisamment pour une durée de trois semaines sans pluie ?

12)  Un jardinier dispose d'une citerne d'une capacité de 2 500 l. Il en tire d'abord 1/5, puis les 3/5 de ce qu'il reste. Quelle quantité d'eau, en litres, a-t-il utilisée chaque fois ? Quelle quantité d'eau reste-t-il dans la citerne ?

13)  Monsieur Léman achète un canapé valant 23 750 F. Il paie 1/8 de cette somme à la commande, 3/8 à la livraison et le reste en 4 mensualités égales. Combien verse-t-il à la commande ? A la livraison ? Combien versera-t-il à chaque mensualité ?

14)  Un train peut transporter 420 voyageurs, mais il n'est plein qu'aux 5/7. Un quart des passagers voyage en première classe. Combien de personnes voyagent en seconde classe ?

15)  Pour un match de football international, les 7/8 des 50 000 places du Parc des Princes sont occupées. 4/5 des spectateurs ont payé leur place, les autres bénéficient d'invitations. Quel est le nombre de spectateurs assistant gratuitement au match ?

16)  Le grand frère de Mathieu achète une moto valant 8 880 F. Il verse d'abord 1/3 de cette somme à la commande, puis, à la livraison, les ¾ de ce qu'il devait encore. Ses parents paient le reste. A combien s'élève la participation de ses parents ?

17)  L'Europe compte environ 800 millions d'habitants, soit à peu près le 1/6 des hommes vivant sur la Terre, mais elle n'occupe que le 1/16 des continents qui couvrent 136 millions de km². Quelle est, environ, la population de la Terre ? Quelle est la superficie de l'Europe ?

GRANDEUR D'APRÈS UNE FRACTION

1)     Un concurrent à moto du rallye Paris - Dakar tombe et abandonne aux 6/7 de la compétition après 18 jours de course. Quelle est, en jours, la durée totale de l'épreuve ?

2)     Patrick revend son skate- board ; avec les 2/3 de ce qu'il a ainsi gagné, il s'achète un disque valant 65 F. Combien avait-il revendu son skate- board ?

3)     On achète une voiture d'occasion coûtant les 5/8 du prix du même modèle, à l'état neuf. Si l'on a payé cette voiture 43 200 F, combien valait-elle neuve ?

4)     Dans un appartement, la salle de bains occupe les 2/35 de la superficie habitable, soit 6,5 m². Calculer la superficie habitable de cet appartement.

5)     Une bouteille est remplie aux 2/3. Il faudrait y ajouter encore 25 cl pour la remplir complètement. Quelle est la capacité de cette bouteille ?

6)     A la Bourse, un homme d'affaires perd les 4/7, soit 280 000 F, de son capital. Quel était le capital initial ? Calculer le montant de la perte si elle avait correspondu aux 3/5 du capital.

7) Ingrid partage avec ses 3 frères et sœurs les 5/7 de son gain au Loto et , avec le reste, achète une plante verte pour sa mère. Chacun des enfants reçoit 35 F. Combien Ingrid avait-elle gagné ? Quel est le prix de la plante verte ?

 

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