Leçon

CORRIGE

N°11

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

Résoudre une équation du premier degré et PROBLEMES DU PREMIER DEGRE

 

TRAVAUX  N° 11   d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

1°)  Vocabulaire :

a) Donner la définition  d ’ une « équation » 

Une équation algébrique possédant une inconnue ( "x" généralement ) est une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur donnée à cette inconnue

 

b) Donner la définition  d ’ une  « équation du premier degré »

Une équation du premier degré possède un ou plusieurs termes contenant une  ou plusieurs inconnues dont la puissance n’ est  pas supérieur à « 1 » .

 

c) Donner la définition  d ’ une  « équation du premier degré  à une inconnue »:

 Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité   dont  un ou plusieurs  termes contient une  seule  et même lettre ( appelée : inconnue)  et dont  on affecte « normalement »  l’exposant « 1 » , on dit que  l’inconnue est de puissance 1 .

 

Informations complémentaires :

 Ainsi  le  terme « 2 x »     devrait s’écrire  « 2x 1 » ; par convention d’écriture , au lieu d’écrire  « 2 x 1 »  on écrira « 2x ».( Si la puissance « 1 »  n’est pas indiquée, il ne faut  pas oublier qu’elle existe tout de même ).

 

On ne doit pas confondre  « x0     et   x1   »  parce que toute écriture de la forme x0    est égale  à  « 1 »   et  que toute écriture de la forme   x1   est égale à « x »

Exemples :     9 0  =  1   ;    9 1  = 9 

d) Que signifie : «  Résoudre une équation »

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue c’est rechercher par transformation et calcul la valeur de l’inconnue qui vérifie l’égalité vraie.

 

2°) Définition  « membre ; terme ; facteur » .

 

Compléter les phrases suivantes :

 

a)  Dans une égalité l’expression algébrique à gauche du signe « égal » est appelé « premier membre » .

b)  Dans une égalité l’expression algébrique à droite  du signe « égal » est appelé « deuxième membre » .

 

c)  Dans une  équation  , le signe " = " sépare  les deux "membres".

 

a)     Terme : un terme est composé de un ou plusieurs facteurs .

 

e) Facteur : un facteur est un nombre ou une lettre  situé à gauche et à droite du signe ´

 

( on dit qu’un terme est constitué d’un produit de facteurs )

 

3°) Que signifie "résoudre" une équation du premier degré à une inconnue ?

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue c'est rechercher la valeur de « x » qui vérifie l’égalité numérique vraie .

 

Cette transformation  conduit à une  égalité de la forme « a x = b » , le  calcul de  « b / a » permet d’obtenir cette valeur de "x" . Cette valeur trouvée , remplacée dans l’équation de départ , doit  vérifier que l'égalité  numérique est "vraie".

 

4 °) Compléter les phrases suivantes :

Série 1 :

a) L'équation du type  a x = b :

les mots manquants sont  : « solution unique  x =  » ;  « décimaux » ; « 0 » ; « on divise »

b)L'équation du type  a x = b   ( "a" et "b" sont des nombres décimaux  et "a" ¹ 0) admet une solution unique  x =

c) Cette solution est obtenue par une seule opération : on divise  les deux membres de l'égalité par le même nombre "a" .

 

d)L'équation du type  a x+ b = c 

 

 Série 2 :  les mots manquants sont  : « 0 »; « décimaux » ; « unique » ; « divise » ;  « deux » ; « l'opposé de "b" » ; « a » ;  « de membre il change de signe » ;

e)L'équation du type  a x+ b = c   ( "a" , "b" et "c"  sont des nombres décimaux  et "a" ¹ 0) admet une solution unique  )

b)     Cette solution est obtenue par deux  opérations :

 

 

g)On ajoute aux deux membres l'opposé de "b" . On dit que : si « b » change de membre il change de signe.

h) on divise  les deux membres de l'égalité par le même nombre "a" .

 

5°) Donner la procédure permettant de résoudre un problème du premier degré .

 

Pour résoudre un problème , on doit respecter l'ordre de procédure suivant :

 

a)     Choix de la ou des inconnues :   recherche de l'inconnue :  après avoir lu et analysé l'énoncé  , choisir une inconnue .

b)     Mise en équation : établir l' équation traduisant la situation étudiée .

c)      Résolution de équation , ou d’un système d’équations du premier degré à 1 ou 2 inconnues .

d)     Discussion du problème  :  énoncer le résultat en rédigeant  une phrase et vérifier si ce résultat est conforme au problème posé .   

 

 

TRAVAUX  N° 11   d ’ AUTO - FORMATION : EVALUATION:

 

 

1°) Entourer l’équation les  premiers degrés :

 

 x ²+ 3 = 0 ;   x + 3 = 0   ; 2y²  + 5 = 0 ;  2x + - y - 4z = 15 ; x y  = 6z  ; x  - y = 6z   ;   2y  + 5 = 0 ;  2x + - y - 4z²  = 15 ;  x + y = 18 ; 

 

2°) Entourer les équation  du   premier degrés à une inconnue .

 

x ²+ 3 = 0 ;   x + 3 = 0   ; 2y²  + 5 = 0 ;  2x + - y - 4z = 15 ; x y  = 6z  ; x  - y = 6z   ;   2y  + 5 = 0 ;  2x + - y - 4z²  = 15 ;  x² y = 6z ; 

 

3°)  Entourer le premier membre :

x  - y =  6z    ;    x + 3  = 0 

4°) Entourer le second membre .

2y²  + 5 = 0 ;   2x + - y =  - 4z + 15 

5°)  Entourer les termes .( transformer les expressions en sommes algébriques )

Expression :

Somme algébrique

Facteurs :

x + 3 = 0 

( x ) + + 3)  = 0 

( x ) et (+ 3)

2x  - 8 =  - 4x  + 15 

(+2x) + (- 8 )=  (- 4x) + ( + 15) 

(+2x) ; (- 8 ) ; (- 4x) ;(+15) 

6°) Résoudre les exercices  suivants :  (le  corrigé   est dans le cours)

Exercice

Résultat :

 

1

1  x   =  7

 x = 7

2

5  x  = 45

 x = 9

3

5+ x = 45

x = 40

4

5 - x = 45

x = - 40    (  5  = 45 + x ;  x =  5 - 45 ; …)

5

x -5 = 45

x =  50

6

=

x =  15      (2 x = 3 0)

7

=

x =   5/3      ;  (10  = 6 x )

8

=

x =  15    ; ( 30 = 2x )   

9

=

x =5/3      ;  (6 x = 10)

10

= 8

x =  40

11

=2

x =      ;     5  =   2x   ;   x = 2,5

Exercices (suite)

Résoudre les équations  suivantes ( l'inconnue est la lettre , si nécessaire , arrondir le résultat à 0,01 près .)

 

Série :1

 

Exercices

Résultat

Note

1

6x = 54

    x  =   9    ;    ( 54 / 6 )

Ÿ

2

2x = 6,5

x  =   3, 25   ;  ( 6,5 /2 )

Ÿ

3

7x = 84

x  =   12    ;  ( 84 / 7 )

Ÿ

 

Série : 2

 

Exercices

Résultat

Note

1

1,1 x = - 143

  x = -  130    ; (  143 / 1,1 )

Ÿ

2

4 x = 2,4

x  =  0, 6   ;  (  2,4 / 4 )

Ÿ

3

3x = 3,81

x  =  1,27   ; ( 3,81 / 3 )

Ÿ

Série : 3

 

Exercices

Résultat

Note

1

24 z  = - 9,6

 z  =  - ( 9,6 /24)  =  - 0,4

Ÿ

2

3 z = 26,1

z  =  26,1 / 3

Ÿ

3

7,1 z = 435,2

z  =  435,2 / 7,1

Ÿ

Série : 4

 

Exercices

Résultat

Note

1

 X+ 3 = 7

x = 7 - 3 ; x = 4

Ÿ

2

X + 13 = 21

x = 21 - 13 ;  x = 8

Ÿ

3

X + 18 = 6

x =  6 - 18 ;  x = - 12

Ÿ

Série : 5

 

Exercices

Résultat

note

1

X+ 23 = 0

 X = - 23

Ÿ

2

X - 11 = 0

X = 11

Ÿ

3

X + 2,13 = 0,3

X = 0,3 - 2,13 ; x = 1,83

Ÿ

Série :  6

 

Exercices

Résultat

note

1

-x + 7 =  2

7 = x +2 ; x = 7 - 2 ; x = +5

Ÿ

2

- x + 3 = 5

- x + 3 = 5 ; + 3 = 5 + x ; 3 - 5 = x ; x = -2

Ÿ

3

-2 - x = 6

-2 - x = 6 ; -2 - 6 = x ; x = -8

Ÿ

 

 

Série :  7

 

Exercices

Résultat

note

1

3x + 15 = 25

3x =  25 - 15 ; 3x =  10 ;  x =  10 /3

Ÿ

2

2x + 6 = 13

2x = 13 - 6 ; 2x = 7 ; x  = 3,5

Ÿ

3

7x + 67 = 89

 7 x  =  89 - 67 ; 7x  = 22 ; x = 22 / 7

Ÿ

Série : 8

 

Exercices

Résultat

note

1

5y - 3 = 7

5y =  3 + 7 ; 5 y = 10 ; y = 2

Ÿ

2

2y + 3 = 1

2y  = 1 -3   ;  y  =  -1

Ÿ

3

12 y - 62= 14

12 y  =  + 62 + 14 ;  12 y  =  76 ; y »  6,33

Ÿ

Série : 9

 

Exercices

Résultat

note

1

4x - 32 = 0

4x = 32 ; x = 8

Ÿ

2

2 x +2,4 = 0

2 x  = - 2,4 ; x = - 1,2 

Ÿ

3

0,3 x - 2,1 = 0

0,3 x = + 2,1 ; x = 7

Ÿ

Série :  10

 

Exercices

Résultat

note

1

6x - 5 = 4

6x =  5 + 4 ; 6 x = 9 ; x = 9 / 6 ; x = 1,5

Ÿ

2

0,3 x + 1 = 1,9

0,3 x = -  1 +  1,9 ;  0,3 x = 0,9 ; x = 0,3

Ÿ

3

5x - 5 = - 32

5x - 5 = - 32 ; 5 x = - 32 +5 ; 5x = -27 ; x = 5,4

Ÿ

Série : 11

 

Exercices

Résultat

note

1

 - 1,3 x + 4,1 = 0

4,1 =  1,3 x ; x » 3,15

Ÿ

2

- 17,4 x + 53,2 = 3,1

53,2 - 3,1  = 17,4 x ;  50,1 / 17,4 = x ; x » 2,88

Ÿ

3

0,4 x - 1,2 = 0

0,4 x =  1,2 ;  x = 1,2 / 0,4

Ÿ

 

Série :  12

 

Exercices

Résultat

note

1

0,3 fois x = 21 fois 1,2 ; 0,3 x = 25,2 ; x = 84

Ÿ

2

2,5 fois 17 = 8,5 fois x ;   8,5 x =  42,5 ; x = 5

Ÿ


Série : 13

 

Exercices

Résultat

note

1

X = 15

Ÿ

2

3x = 18 ; x = 6

Ÿ

3

 = 1,5 + 3 ;  = 4,5 ; x = 4 fois 4,5 ; x = 18

Ÿ

 

Série : 14

 

Exercices

Résultat

note

1

18 x =  20 ; x = 20/18

Ÿ

2

  6 ( x + 4 ) = 3 fois 2 ; 6 x + 24  = 6 ; 6x = -18 ; x = - 3

Ÿ

3

x  + 3 =  24 ; x = 21

Ÿ

4

2x - 3 =  4,2 fois 5 ; 2x - 3 =  21 ;  2x = 24 ; x = 12

Ÿ

 

Problèmes ( traités dans le cours)

 

Enoncé 1 :  On achète 3 kilogrammes de fruit  à  3,75 € . Quel est le prix d' un kilogramme de fruit ?

On demande :

Identifier l’inconnue .

Ecrire une équation .

Résoudre l’équation.

Conclure .

Résolution :

On pose "x" le prix du kilogramme de fruit.

Cela nous donne l'équation  3 x = 3,75

On divise les deux membres par "3":    = 

  D'où   x  =  1,25

 

Conclusion : le prix d'un kilogramme de fruit  est de  1, 25 €

 

Enoncé N°2  On achète 3 kilogrammes de fruit , je donne  un  billet de 5 € , la caissière me rend 0,2 € .Quel est le prix d' un kilogramme de fruit ?

On demande :

Identifier l’inconnue .

Ecrire une équation .

Résoudre l’équation.

Conclure .

Résolution :

On pose "x" le prix du kilogramme de fruit.

Cela nous donne l'équation  3 x  + 0,2  =  5 

On joute  "- 0,2" dans chaque membre :

3 x  + 0,2  - 0,2  =  5  - 0,2

3 x = 4,8

On divise les deux membres par "3":    =

  D'où   x  =  1, 60

Conclusion : le prix d'un kilogramme de fruit  est de  1, 60 €

 

 

N°3: :   Un rectangle a les caractéristiques suivantes :

Son périmètre  mesure   80 m ; sa longueur est le triple de sa largeur .

Calculer  sa longueur et sa largeur .

 

nommons "x" la largeur du rectangle .  l = x

en fonction de "x" : la longueur du rectangle est   L = 3x

 

le demi - périmètre est :   L + l  =    x +  3x  =  x ( 1 + 3) =  4 x

le périmètre est =  2 fois le demi - périmètre :  P = 2 ( 4x) = 8x

 

équation à résoudre : 80 = 8 x   ( on divise par 8 les deux membres)

on obtient  x = 10

 

la largeur du rectangle est de 10 m ; la longueur du rectangle est de 3 fois 10 m soit 30 m.

vérification : P rectangle = 2 ( L + l )  =  2 ( 30 + 10 ) = 2 ( 40) = 80

 

 

N°4 : Trouver 3 nombres entiers pairs consécutifs dont la somme est égale à 36 . Donner la valeur du premier nombre.

on choisi "x" le premier nombre .

les deux autres nombres sont  "x + 2"  et " (x+2) + 2 = x +4"

l'énoncer se traduit par l'équation : x +  (x+2)  + (x +4) = 36

soit  x + x +x +2 + 4 = 36   ;   3x + 6 = 36

résolution  de l'équation :

3x + 6 = 36     ; ( on ajoute -6 aux deux membres)

3x + 6  - 6  =   36 - 6  ;

3x = 30    ( on divise les deux membres par 3)

x = 10

conclusion : le premier nombre pair est " 10"

le deuxième nombre est 10 + 2  soit 12 ; le troisième nombre est 12 + 2 = 14

vérification :  10 + 12 + 14 est bien égal à 36 ; donc les trois nombres entiers pairs consécutifs sont  10 ; 12 ; 14 .

 

 

N°5 : Une ouvrier met 15 minutes pour usiner  une pièce , pour aménager et préparer le poste de travail il faut prévoir 3h 45 mn. Combien de pièces peut-il usiner  sur une semaine de 35 heures ?

Prendre "x" le nombre de pièces..( transformer la durée en nombre décimal)

 

l'inconnue est le nombre de pièces usinées.

On met le temps sous forme décimale : 15 mn = 0, 25 h : 3h 45 = 3, 75 h; 35 h ne change pas = 35 h

Mise en équation : 0,25 x  + 3,75 = 35

résolution de l'équation :

0,25 x  + 3,75 = 35

0,25 x    = 35  - 3,75   ( un terme change de membre  il change de signe )

0,25 x = 31,25      ( on divise 31,25 par 0,25 )

x  =

x = 125

le nombre de pièces usiner en une semaine sera de 125 pièces .

 

N°6 : trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 1884 .( prendre pour inconnue , le plus petit nombre.)

 

N°7 : Trouver  3  nombres  multiples de 3 consécutifs  dont la somme est   27

Prendre pour inconnue le plus petit nombre .

6 + 9 + 12

 

 

N°8 : Trouver 5 nombres entiers impairs consécutifs dont la somme est  75.

 

Info : prendre pour  inconnue le nombre médian ( celui qui se trouve au milieu )

 

Résultat  : 11 ; 13 ; 15 ;  17  ; 19

 

9  :Trouver 13  nombres consécutifs dont la somme est 2457 .

Recherche du  7ème nombre             

1er nombre

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x-6

x-5

x-4

x-3

x-2

x-1

x

X+1

X+2

X+3

X+4

X+5

X+6

On additionne : il reste  « 13  x »

Info : prendre pour  inconnue le nombre médian ( celui qui se trouve au milieu )  donc   le 7ème nombre est 2457 / 13 = 189

1er nombre

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x-6

x-5

x-4

x-3

x-2

x-1

x

X+1

X+2

X+3

X+4

X+5

X+6

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

 

N°10  Quel nombre faut-il multiplier 34 pour obtenir  25 ?   34 x = 25   ; donc  x = 25  / 34  


 

SUITE  Interdisciplinarité :

 

N°1   Le réservoir d'une voiture est au  deux cinquièmes  rempli . Il faut ajouter 38 litres  de carburant pour le remplir entièrement . Quelle est la contenance de ce réservoir ?

Soit « x » : la contenance du réservoir

(2/5 )  x + 38 =  x   ;

 x  + 38 = x ;   2x + 190 =  5x ;  3x = 190 ;  x = 63,33

la contenance du réservoir est de 63,33 l

 

N°2   Le réservoir  d'un voiture est vide aux deux tiers . On ajoute  30  litres de carburant pour le remplir   aux trois quarts . Quelle est la contenance du réservoir ?

Soit « x » : la contenance du réservoir.

Il est au  x plein

  x   + 30 =   x   ;   30  =  x -  x ;  30 = x ( -  ) ; 30 = x ( -  ) ;

30 =  x   ; x = ( 30 fois 12 ) / 5 ;  x  =  72

la contenance du réservoir est de 72 l

 

N°3 la largeur d'un rectangle  est le tiers de sa longueur et le périmètre mesure 48 m . Calculer les dimensions de ce rectangle . ( 6 et 18 m)

 

N°4 La longueur d'un rectangle surpasse de   10 m sa largeur . Le périmètre est de 120 m .Calculer les dimensions de ce rectangle . ( 25 et 35 m)

 

N°5 Le 1er janvier 1997 la population  de la France  a été estimée à 58 494 000 habitants  se répartissent  en 30 017 000 femmes et 28 477 000 hommes.

Quel pourcentage de la population les femmes et les hommes représentent - ils ?

Soit x1   le %  de femmes    et x2    le % d ’ hommes .

 

x1 =  (  30 017 000 / 58 494 000 ) fois 100  = 0,513 fois 100 = 51,3

et

  x2 = ( 28 477 000/ 58 494 000 ) fois 100   = 0,487 fois 100 =    48,7

 

le %  de femmes  est de 51,3%    et  le % d ’ hommes 48,7 %

 

N°6     Augmenter un nombre de x % , c'est multiplier ce nombre par  ( 1 + ) ou ( 1 + 0,01x )

 

Pour calculer  le pourcentage  d'augmentation du prix d'un objet qui passe de  34 à 39,5 € , on écrit : 39,5 = 34 ( 1 + 0,01 x)

 

Ecrire cette équation sous la forme ax + b = c  , puis la résoudre ( arrondir à 0,01 près  , ou à 2 décimales).

0,34 x + 34 = 39,5 ;  0,34 x =  39,5 - 34 ;  0,34 x = 5,5   ; x = 5,5 / 0,34 ; x = 16,18

Enoncer le résultat sous forme  d'une phrase .

Le pourcentage  d’augmentation est de 16,18 %

 

N°7 Calculer le pourcentage d'augmentation de la population d'un village qui passe de 3764 habitants à 3978 .

on écrit : 3978 = 3764 ( 1 + 0,01 x) ; 3978 = 3764 +  37,64  x ;

3978 -  3764   =   37,64  x ;  x =  5,69

Le pourcentage  d’augmentation est de 5,69  %

 

 N°8 un centre de formation organise un voyage .Le transporteur propose un prix global correspondant à  160 €  par personne . Si le nombre de personnes augmente de 5 , on passe pour le même prix  global , à 120 € par personne.

Combien de personnes participent au voyage ?

 y =  160 x  ou y = 120 ( x + 5 ) ; 160 x = 120 x + 600

140 x = 600 ;  x = 600/ 140 ; x = 4,29

Le pourcentage  d’augmentation est de 4,29 %

N° 9  La durée de fabrication d'une pièce est de 6,50 mn.

Au cours d'une journée de 8 h , combien peut-on fabriquer de pièces sachant qu'il faut compter 1 h 30 mn pour le réglage la machine et l'affûtage de l'outil et l'approvisionnement .

8 fois 60  =  6,5 x  + 90 ; 480  =  6,5 x  + 90 ;  390 = 6, 5 x ;  x = 60

 

 

 

 

 

N° 10

ABC est un triangle équilatéral de côté  6 cm .On place sur le côté  [BC] le point M tel que BM = d.

1°) calculer la hauteur du triangle ABC , puis l'aire du triangle .

réponse :

AM =   =

2) où doit -on placer le point M pour que l'aire du triangle AMC soit égal à 10 ?

11 .

On veut découper dans une plaque carrée de 0 cm de côté un octogone régulier de côté "x".

a)     Sachant que chaque triangle hachuré est un triangle rectangle isocèle , déterminé la mesure de chacun de leurs angles aigus « a ».

180° = 90° + 2 « angle a » ; donc l’angle « a » est de 45°

 

b)     Calculer la longueur  AB en fonction de "x" , puis la longueur "x".

AB est la longueur du côté d’un carré , « x » est la diagonale du carré.

  x² = 2 AB²

AB² = x² / 2  donc  AB = x /  ; ou AB = 1,414 x

Longueur de  « x » :

100 = 2 fois 1,414 x + x

100 =  2,828 x + x =  3,828 x

 x = 100 : 3,828

 

N°12

Dans une pièce rectangulaire de 2 m de longueur et de 1 m de large , on effectue une découpe de forme rectangulaire comme l'indique la figure ci -dessous.

Donner l'expression de l'aire de la partie restante en fonction de "x".

Calculer "x" pour que l'aire de la partie restante  soit 1,25 m² .

Aire de la pièce : 2 m ² ;

2 m²  - 1,25 m² = 0,5x

0,75 m² = 0,5 x ; x = 1,5

 

N°13

On considère un trapèze ABCD.

Vérifier que l'aire du trapèze peut s'écrire :  A = 8,5 x

Calculer " x " pour que l'aire du trapèze soit égale à 172,2 cm² ( arrondie à deux décimales)

A =  [( 12+ x ) 7 ] / 2  =  ( 84 + 7x) / 2  =   42 + 3,5 x 

172,2   =    42 + 3,5 x

172,2 - 42   =  3,5 x

130,2   =   3,5 x   ;    x = 37,2

la valeur 37,2 ne vérifie pas l’égalité . A = 8,5 x

 

N° 14

Un triangle a les dimensions ( en m) indiquées sur la figure .

Exprimer le périmètre du triangle en fonction de "x".

Calculer "x" pour que le périmètre  soit égal à 30 m . En déduire les dimensions du triangle .

Périmètre =   7 + x + 1  + x + 2

30 = 7 + x + 1  + x + 2

30 = 10 + 2x

20 = 2x

10 = x 

les dimensions des triangle sont   7 ; 10 +1 ( = 11) ; 10+2 ( = 12)

N°15

Montrer que l'expression de l'aire du trapèze rectangle en fonction de "x" est :

 A = 4 x + 60

Calculer "x" pour que l'aire du trapèze rectangle soit égale à 200 cm² . Pour cela , résoudre l'équation : 4x + 60 = 200

A = ( x + 15 ) 8  / 2 = ( 8x + 120 ) /2 = 4x + 60

200 = 4x + 60 ;  140 = 4x ; x = 35