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		LES NOMBRES COMPLEXES.
	Retour …(introduction)…	Ø 1°) Ensemble : Construction du corps . Ø 2°) Résumé Classe T S .
	2 – CONSTRUCTION DU CORPS DES NOMBRES COMPLEXES.
	A ) Définition : Notons par : l’ensemble des couples de réels : Les éléments de sont appelés des « nombres complexes ».
	Comme il n’est pas pratique de travailler avec des couples ( notations un peu lourdes ) nous allons voir (voir le théorème 1 ci-dessous) que l’on peut noter les éléments de de manière commode et faciliter ainsi le calcul.
	Théorème 1 :
	L’ensemble peut être muni de deux lois et qui prolonge les lois et de . L’ensemble contient « une copie » de L’ensemble . Il existe dans un élément , noté «  » , tel que Tout élément de s’ écrit , de manière unique : , où «  » et «  » sont des réels.					Les règles de calculs ( avec les lois et ) dans seront donc les mêmes que dans en remplaçant ou vice versa.
	Voir la démonstration ci-dessous : (remarque : nous sommes dans le niveau de formation 4 cette démonstration est de niveau 3 (après BAC) )
	On muni l’ensemble des deux lois de composition interne suivantes :
	· La première , notée est définie par :
	· La seconde , notée est définie par :
	Par exemple : avec et
	On vérifie facilement que : ( ;  ; ) est un corps commutatif . C’est -à-dire : la loi est associative et commutative , quelle admet un élément neutre et tout élément admet un opposé ;
	Et la loi est associative , commutative , distributive par rapport à la loi , admet un élément neutre et tout élément admet un inverse .
	Nous allons considérer l’application :
					Lire : « a » dans R à pour image ( a , 0) dans l’ensemble C )
	On dit que : Alors un morphisme de corps.
Info :	Morphisme de groupe : Parmi les applications d'un groupe G dans un groupe G', certaines sont plus importantes que d'autres : ce sont celles qui respectent la structure de groupe. Définition : Soit f une application de G dans G'; on dit que f est un (homo)morphisme de groupes si, pour tous et de G, on a : f(×)=f()×f() Ceci signifie la chose suivante : si on prend deux éléments et du groupe de départ, on peut : ou calculer d'abord ×, puis appliquer f, ou calculer individuellement f() et f(), puis calculer le produit f()× f(), on doit trouver le même résultat. Donnons quelques définitions relatives aux morphismes de groupes, et qui peuvent aussi s'appliquer à d'autres types de morphismes : f est un isomorphisme de groupes si f est une bijection. On prouve alors aussi que f^-1 est un morphisme de groupes. f est un automorphisme de groupes si f est un isomorphisme et si G=G' (même groupe au départ et à l'arrivée). Le noyau de f, noté Ker f, est l'ensemble des de G tels que f()=1G'. Ker f est un sous-groupe de G, et on prouve que f est injective si et seulement si Ker f={1G}. L'image de f est Im(f)={y; il existe x de G tel que y=f()}. Im(f) est un sous-groupe de G'. Le conoyau de f est le groupe quotient G/Ker(f). f induit alors un isomorphisme de groupe de G/Ker(f) sur Im(f).
	On dit que : Alors un morphisme de corps. ;C’est que nous allons montrer .
	( par l’addition)
	(par la multiplication)
				Remarque : On remarque que si les secondes composantes sont nulles , alors les lois et se comportent comme les lois usuelles et sur les réels.
	Exemple :
	De plus injectif :
	Donc induit un isomorphisme entre les corps ( e t On peut donc identifier les éléments de avec ceux de . On peut dire que l’ensemble contient donc une copie de . Par la suite , on note donc simplement les deux lois de et lorsqu’un couple a sa deuxième composante nulle ( couples de la forme on le notera tout simplement Cette notation permet de confondre les éléments de avec leur copie ( éléments de ……… On a de plus :
	Notons :
	Ainsi :
	Enfin , pour tous réels et on a :
	C'est-à-dire , avec la notation ci-dessus :
	Autrement dit , tout élément de de peut s’écrire :
	Cette écriture est unique . En effet :
	Ce dernier résulta est fort utile , nous allons le mettre en évidence :
	Théorème D  : Egalité entre deux nombres complexes . Soit quatre nombres réels.
	En particulier , si et seulement si . On parle de nombre complexe nul.
	Démonstration du théorème D :
	Ejà fait ci-dessus. ON peut néanmoins en donner une preuve différence. Montrons , pour commencer , l’équivalence :
	· déjà , il est clair que si alors · Réciproquement , supposons que , montrons qu’alors , nécessairement . En effet si , alors on pourrait écrire que : . Le nombre « i » serait réel et on pourrait avoir :
	Donc . L’égalité se réduit à d’où
	On a donc montré que si alors
	Considérons maintenant deux nombres complexes : et
	· On peut écrire : que si
	· Réciproquement , supposons que . Alors , on a
	Et d’après ce qui précède :
	Voir des exercices …terminale S …..
	Définition suite : Soit Z  ; ( avec et réels ). Le réel s’appelle la partie réelle de et la partie imaginaire. On note : et
	Exemples : ;
	Ainsi : On a Re ( Z ) = 3 ; Im (Z) = 2 ; Re (Z’) = 0 ; Im(Z’) = -3 Attention : se souvenir que la partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel.
	Autre définition : Tout nombre complexe de la forme ( où ) s’appelle un imaginaire pur . Exemple : est un imaginaire pur.
	Remarques.
	· Dans l’ensemble , il n’y a plus la notion d’ordre usuelle .
	Ce qui ne signifie pas que l’on ne puisse pas ordonner C .On dit juste que la relation d’ordre usuelle connue sur R ne se prolonge pas à C.
	On ne pourra pas , à ce niveau comparer un nombre complexe à un autre ou dire s’il est positif ou négatif etc… ( excepté pour les imaginaires pur où l’on peut définir un ordre naturel comme pour les réels).
	· On évitera l’usage abusif du symbole radical qui reste réservé aux réels positifs.
	· Les applications Re : et Im : sont - linéaires . Cela signifie :
	Donc :
	(à traduire !!!!!!!!)

Les TERMINALE S . Résumé .
A ) Ensemble des nombres complexes.
Premières définitions :
· L’ensemble des nombres complexes , noté , est l’ensemble des nombres de la forme où et décrivent l’ensemble des réels et où vérifie
· est appelée forme algébrique du nombre complexe. Avec est la partie réelle et la partie imaginaire.
Notation utilisée : si alors et
On peut remarquer : · Un imaginaire pur est un nombre complexe dont la partie réelle est nulle. · Un réel pur est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.
B ) Calculs algébriques dans
sont deux nombres complexes tels que
Propriété 1  :
Propriété 2 :
Les règles connues pour l’addition et la multiplication dans s’étendent à
Exemple type : calculez :
	“ i^2= - 1 “
Propriété 3 : Tout complexe admet un unique inverse noté : Conséquence : Comme dans si  ;
Définition : Le complexe conjugué de est le complexe , noté Tel que si z = x + i y , alors
Conjugué et opérations :
Pour tout ,
Si , et
Exercices :
Enoncé : z et z’ sont deux nombres complexes tels que : et
Ecrire les nombres suivants sous forme algébrique :
a) b) c ) d) e )
Autre exercice :
On donne deux nombres complexes : et
Calculer : ;  ;  ;  ;  ;