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Relation des trois sinus

Relation avec le rayon du cercle circonscrit .

Soit le cercle circonscrit au triangle ABC .Nous désignons par « O » son centre et par « R » son rayon.( voir figure 1 et 2 )

Figure 1 : Menons le diamètre BD .

Dans le triangle BDC nous avons un angle droit en « C » ;dans le triangle BAD nous avons un angle droit en A.

Calcul de BC = BD sin

qcq2

a

Figure 2 : Menons le diamètre BD .

Dans le triangle BDC nous avons un angle droit en « C » ;dans le triangle BAD nous avons un angle droit en A.

Calcul de BC = BD sin

qcq1

Or , dans le quadrilatère inscrit ABCD , les angles opposés A et D sont égaux ou sont supplémentaires.

Donc : le sinus de l’angle D = le sinus de l’angle A

On obtient BC = CD sin A et a = 2Rsin

On montrerait de même que b = 2R sin et que c = 2R sin donc :

En conclusion :

= = = 2R

Remarques :

1°) la relation a = 2Rsin

reste vraie si = 1 droit , car dans ce cas , sin = 1 et l’on a bien a = 2R

2°) la relation a = 2Rsin montre que l’une des trois quantités , a , sin et R est déterminée quand on connaît les deux autres. On peut ainsi calculer « R » si on connaît « a » et « » , ou bien calculer « a » si on connaît « » et « R ». Par contre , lorsqu’ on se donne « a » et « R » , il existe deux valeurs possibles pour l’angle , supplémentaire l’une de l’autre .

3°) Si on désigne par h_a , h_b , h_c , les hauteurs issues de A , B et C , l’aire S du triangle est telle que : 2S = ah_a = bh_b = ch_c

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

À venir

EVALUATION