TRAVAUX sur  LES  RELATIONS TRIGONOMETRIQUES .

A)   Exercices.

B)   Problèmes  approches théoriques  et de « à démontrer ».

C)   Problèmes en rapport avec des  figures géométriques.

D)   Situations problèmes

 

 

Pour vous entraîner -  Pas de corrigé disponible.

 

 

A)   EXERCICES

 

1

Vérifier les relations sin² + cos2 x = 1  et    en donnant à x  les valeurs suivantes 30°, 45° et 60°.

 

 

2

Trouver le cosinus et la tangente d’un angle aigu dont le sinus vaut ( 1/3)

 

3

 

Trouver le sinus et la tangente d’un angle aigu dont le cosinus est (2/5 )

 

 

4

Résoudre un triangle ABC rectangle en A connaissant

36a

 

 

a)   a  =   = 15 ; B = 27°

c)    a  =   = 17 ; B = 27  gr

 

b)  a  =   = 23,5  ; b = 12,75

d)    a  =   = 75 ; B = 47,5

(B et C  en degré et grade) 

5

Construire les solutions des équations suivantes :

 

 

a) 10sin x — 3 = 0

b) 5  sin  x  -.4  = 0

c) 7  sin  x  - 3 = 0

 

d) 7cos  x  - 3  = 0

e) cos x - 0,43  = 0

f) 8cosx - 5 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B)  PROBLEMES approches Théoriques et de « à démontrer »

 

6

Soit un triangle ABC rectangle en A et de hauteur AH. Soit BC = a et  « x »  la mesure de l’angle B en degrés. Évaluer, en fonction de « a » et des rapports trigonomé­triques de l’angle « x »  les longueurs des segments suivants AB, AC, AH, BH et CH.

 

 

7

Soit un triangle ABC rectangle en A et tel que AC = 2 AB. Déterminer les angles de ce triangle.

 

 

8

Soit un triangle isocèle ABC de base BC et AH la hauteur issue de A. Soit BAC = 2x et AD = a.

1°) Évaluer en fonction de a et des rapports trigonométriques de l’angle x les lon­gueurs (les segments AH et BH.

2°) Évaluer en fonction de a et des rapports trigonométriques de l’angle 2 x  la hau­teur issue de B.

Application:        a = 15 cm ;  x =  15°

 

 

9

Soit un triangle ABC de côtés a, b et c et dont les angles sont aigus. Soit O le centre du cercle circonscrit et H le milieu de DC.

1° Que peut-on dire du triangle BOH  ? Évaluer le rayon du cercle circonscrit eu fonction de a et d’un rapport trigonométrique de l’angle A.

2°)  Démontrer la relation  : 

 

 

 

10

On donne un triangle ABC rectangle en A dans lequel l’angle C 30°  et l’hypoténuse DC = a.

1°) On mène la hauteur AH. Calculer AH, BH et CH, en fonction de a.

2°)  On trace la bissectrice AD de l’angle A et l’on abaisse les perpendiculaires DE et DF sur AD et AC. Comparer les triangles DFC, BED et ABC. Calculer BD et DC.

3°) Déterminer la nature du quadrilatère AFDE. Calculer son côté AE et sa diagonale AD..

 

 

11

Deux droites perpendiculaires z’ z et y’y se coupent en O. On porte sur O x une longueur OA et sur O y une longueur OB telles que OA = OB = a. Une demi-droite A z coupe O y en un point C situé entre O et B et la perpendiculaire DI abaissée de B sur A z coupe Or’ en D.

1°)  Démontrer que OC = OD.

2°)  Montrer que le quadrilatère OCID est inscriptible et que 10 est bissectrice de l’angle CID.

3°)  Dans le cas où l’angle OAC = 30° , calculer en fonction de « a »  les longueurs AC, OC, AD et le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère OCID.

 

 

12

Soit un triangle ABC, tel que BC = 2 a, C = 45°  et A = 60°  (a étant une longueur donnée>. On mène les hauteurs BE et CF.

1°) Montrer que les quatre points B, F, E, C sont sur un même cercle. Préciser l’a position de son centre I. Quelle est la position du point E sur le cercle?

2°)  Montrer que le triangle IFE est équilatéral.

3°)  Calculer en fonction de a la longueur des segments CE et BE. En utilisant le triangle AEB, calculer ensuite AD, puis AE.

4°)  Soit K l’intersection de IF avec BE. Montrer que les triangles IBK et CEE sont

semblables.

 

 

C) Problèmes en rapport avec   des  FIGURES GEOMETRIQUES

 

13

Dans un trapèze isocèle ABCD la grande base AD mesure 20 cm. Les côtés non parallèles mesurent 5 cm et font avec AD des angles de 25 °. Calculer la hauteur du trapèze et la petite base.

 

 

14

Dans un trapèze rectangle ABCD dont les bases sont AB et CD et dont BC est le côté oblique on donne AB = 30 cm; CD = 18 cm; BC = 20 cm. Calculer la hauteur du trapèze et déterminer ses angles.

 

 

15

Dans un cercle de centre O et de diamètre DC = 13 cm on mène la corde BA = 5 cm.

1°)  On demande de calculer le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle ARC.

2°)  On mène la hauteur AH du triangle BAC; calculer AH de deux façons

a)    en utilisant un des résultats trouvés précédemment;

b)   en appliquant un théorème relatif aux triangles rectangles.

3°)  On trace la médiane BM, dont le prolongement coupe le cercle (O) en D . Calculer BM et MD.

4°)  Comparer les triangles MDC et MAD. En déduire la longueur de la corde AD.

 

 

16

Soit un triangle rectangle ABC, d’hypoténuse DC = a et de ctés CA = b. et AD = c.

1° )  Construire les cercles S 1  de diamètre BC, S2 de diamètre CA et S3 de diamètre AH. Où se coupent S1 et S2? S2 et S3?

2°)  Une droite D passe par A sans traverser le triangle ABC et recoupe S1 en  E, S2 en F et S3  en G. Montrer que les trois triangles AFC, BGA, BEC sont semblables .

3°)  On désigne par a  l’angle aigu CAF. Calculer en utilisant « a », « b »,  « c »et les rapports trigo­nométriques sin a  et cos a    les côtés de ces trois triangles et vérifier la relation :    EB.EC = FC.FA + GA.GB.      

 

 

 

17

Soient un triangle ABC rectangle en A, et D un point pris sur AC. On mène la hauteur AH du triangle ABC et la perpendiculaire CE à la droite BD. Les (Droites BA et CE se coupent en F.

   

1°) Comparer les triangles ABD et ECD.

2°) Démontrer que le quadrilatère ABCE est inscriptible dans un cercle dont on déterminera le centre O.

3°) En supposant l’angle ABC = 60°, BC = 2 a, AD = a .  calculer les longueurs AC, AH et CD.

4°)  Nature des triangles ACF et BEF? Calculer les longueurs FA, FB et F’C.

 

 

18

Soit un trapèze ABCD, dont les angles A et D sont droits et dans lequel la diagonale AC est perpendiculaire au côté DC.

1°) Montrer que les triangles ABC et CAD sont semblables. En déduire la relation

AC2 = AB . CD.

2°)  On trace le cercle de diamètre DC qui coupe AD en E. Quelle est la nature du quadrilatère AECD ? Peut-on retrouver la relation établie précédemment? Que repré­sente la droite AC pour le cercle?

3°)  Sachant que AD = 10 cm, CD = 7,5 cm, calculer les segments AC, DC, AD, DL), puis donner en degrés, la valeur des angles B et C du trapèze.

 

 

 

19

Soient une droite xy et un point A dont la distance à zy est AH = 6 cm. De part et d’autre de AH on trace deux demi-droites d’origine A, coupant xy en B et C et telles que l’angle HAB = 45° , l’angle HAC = 30° . Le cercle de diamètre AH coupe AD en D, AC en E.

1°)  Calculer les longueurs des segments AD, AE, AC.

2 °)  Montrer que les triangles ABC et AED sont semblables. Calculer la valeur du rapport de similitude et la longueur du segment DE.

3°)  Soit F le point diamétralement opposé à D. Quelle est en degrés, la mesure de l’angle DFE? Calculer la valeur du sinus de 75°.

 

 

20

On donne un carré ABCD de côté a. Sur CD on construit le triangle équila­téral SCD, intérieur au carré.

1°)  La médiatrice de AD coupe AD en M et CD en H. Exprimer 5H et SM en fonc­tion de a. Quelle est la valeur de l’angle SAM? Calculer tan  SAM.

2°) Construire le centre O du cercle (ASB). Quelle est la nature du quadrilatère OADS? Comparer le rayon du cercle O et le côté du carré AD DC.

3°)  Montrer que les triangles ASB et OSD sont semblables. Établir la relation

AS .OD = a ²

 

 

21

Dans un triangle ABC, le côté BC est égal à « 2 a » et la médiane AM à « a ». On trace la hauteur AD et l’on pose AMB = 2 x.

1°) Quelle est la nature du triangle ABC? Calculer AD et AC en fonction de « a » et « x » .

2°)  Calculer BD dans le triangle ABD et DC dans le triangle ADC; en déduire que sin ² x + cos² x = 1.

3°)  Dans le cas où x = 30°, achever les calculs relatifs à AD, AC, BD et DC.

4°)  Soit MH la hauteur du triangle AMC. Démontrer la similitude des triangles ADI) et AHM. En fonction de a et de x , calculer AD dans le triangle AMD; démontrer que le rapport de similitude des deux triangles précédents peut être évalué en fonc­tion de l’une des lignes trigonométriques de l’angle z.

En déduire la valeur de ce rapport de similitude dans le cas où x = 60°.

 

 

 

D)  SITUATIONS PROBLEMES INTERDISCIPLINAIRES

 

22

Soit un arbre matérialisé par un segment AD perpendiculaire en B à une horizontale x y. On se place en un point C de  xy   tel que BC = 50 m et on mesure l’angle ACB. Sachant que ACB = 19°, calculer la hauteur de l’arbre AB.

 

 

23

Un bâton planté verticalement sur un sol horizontal dépasse la surface du sol de 2 m. L’ombre portée par le bâton sur le sol mesure 5,5 m. Déterminer l’angle que forme la direction du soleil avec la verticale.

 

 

 

 

 

 

►@  Autres problèmes interdisciplinaires :