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Lire le livre des mutations de Fou-Hi

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DOSSIER LECTURE :  PERMUTATION ET COMBINATOIRE

 

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COURS

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Interdisciplinarité

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Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

COURS

 

Le livre des mutations : l’histoire traditionnelle chinoise attribue  le Yi-King  ou livre des mutations au premier des Trois Augustes , Fou-Hi   inventeur de l’écriture et des rites du mariage , qui aurait vécu au cinquième millénaire avant notre ère . En fait , ces textes , qui constituent la base des philosophies taoïstes et confucianistes , ont vraisemblablement été écrits dans le courant du premier millénaire  avant notre ère .

 

La combinatoire peut se définir comme la partie des mathématiques qui étudie les configurations  , c’est à dire  les règles d’agencement  d’objets en respectant certaines contraintes .

 

Ainsi le rangement dans une grande boîte   de différents objets de tailles inégales relève  de la combinatoire. Il suffit d’avoir essayé une fois de remplir le coffre d’une voiture un jour de départ en vacances pour savoir que ce n’est pas un problème facile .

 

Il en est de même lorsqu’on essaie de disposer des nombres dans un carré quadrillé de telle sorte  que la somme des éléments  sur la verticale  ou sur une horizontale soit constante . Cela s’appelle un carré magique , et on en trouve  jusque dans l’un des plus vieux textes de  l’histoire de l’humanité :le Yi-King.

 

4

9

2

3

5

7

8

1

6

 

 
Exemple :  Lo–Shu

On dit que ce carré magique  est parfait car la somme

De deux nombres situés  en position symétriques par

Rapport à son centre est toujours égale au double du

 nombre inscrit au centre :

4+6 = 3+7 = 8+2 = 1+9 = 2 fois 5

D’après la légende , ce carré magique  , appelé Lo–Shu

Emergea de la  rivière  Lo porté par une tortue divine.

 

 

 

 

 

 

 

 

Le premier ouvrage sur la combinatoire ,  Ars Combinatoire , a été publié par Leibniz en 1666 .

 

Mais ce sont Leonhard  Euler  et Pierre – Simon de  Laplace  qui développèrent véritablement la combinatoire moderne , suivi par William Hamilton , George Polyà , Paul Erdos et bien d’autres .

 

C’est un domaine  des mathématiques qui trouve de nombreuses applications dans des domaines  très variés . Par exemple , en chimie , pour démontrer les différentes possibilités d’assemblage des molécules entre elles dans les polymères, ou bine  en gestion et en recherche opérationnelle , pour minimiser les coûts de fabrication  ou pour organiser la répartition des tâches dans une entreprise .

 

Entre ces problèmes concrets et le résultat mathématique qu’on utilise , il y a toute une chaîne d’étapes pour transformer , résoudre et interpréter le problème de départ . Pour en donner une idée   prenons le problème des sept ponts de Königsberg , et voyons comment Euler l’a résolu en 1736

 

Les ponts de Königsberg :

Au début  du XVIIe  siècle les habitants de la ville de Königsberg ( qui s’appelle aujourd’hui Kaliningrad , située en Union Soviétique ) se posaient un problème à la fois simple et amusant :

Est-il possible de se promener dans le parc de Königsberg en traversant une fois exactement chacun de ses sept ponts ?

pont 1

 

Euler est parti de la remarque suivante : supposons que  l’on observe  le trajet d’un habitant de la ville qui essaierait – comme beaucoup tentaient paraît-il de le faire – de visiter le parc de Königsberg en empruntant exactement une fois chacun de ses ponts , et comptons combien de fois ce promeneur visite l’île à laquelle aboutissent cinq ponts.

S’il se contente d’une seule visite , il n’empruntera que deux ponts. De même , en deux visites il n’empruntera que quatre ponts . Il doit donc nécessairement  effectuer une troisième visite de l’île , mais alors il sera contraint  de repasser une deuxième fois par l'un des cinq ponts. Finalement , il est impossible de visiter le parc de cette façon...  

pontschéma

pontsolution

 

Le problème de Königsberg n’était pas très important en lui- même , mais il a permit à  Euler  de créer une nouvelle branche des mathématiques , la théorie des graphes , et d’introduire les outils nécessaires à la résolution des problèmes qui y sont associés .

 

 

 

CONTROLE:

 

 


EVALUATION:

Faire  les activités suivantes :