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Pré requis niveau V :

Module des cours niveau 5

Cours Niveau IV

EXERCICES et Problèmes

Corrigés

STATISTIQUES

La statistique est l'étude des données relatives à un groupe d'individus.

I. VOCABULAIRE, DEFINITIONS

¶ Population : la population est l'ensemble des unités statistiques(ou individus) sur lequel vont porter les observations

· Echantillon : c'est une partie de la population.

¸ Caractère : Un caractère statistique est une propriété étudié de la population.

Un caractère peut-être :

v Quantitatif : si on peut lui attribuer une valeur numérique.

v Qualitatif : s'il n'est pas représenté par un nombre

v Discret : s'il ne prend que certaines valeurs

v Continu : s'il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné.

Exemple :

Dans un magasin de chaussures on a relevé durant une semaine les pointures des chaussures vendues dans celui-ci :

38 38 39 42 43 43 41 44 41 37 36 35 41 42 45 38 43 42 41 42 38 37 39 40 36 35 40 35 37 40 41 36 37 36 39 45 36 36 38 39 37 39 42 44 42 39 37 43

37 41 40 40 38 36 37 41 42 38 39 41

Dans cet exemple : la population est "l'ensemble de chaussures"

Le caractère étudié est la pointure, il est quantitatif et discret.

¹ Classe : Une classe est un sous-ensemble de la population correspondant à des valeurs du caractère comprises dans un intervalle [a ; b[.

L'amplitude d'une classe [a ; b[ est la différence entre ses deux bornes : b-a

Le centre de la clase est :

º Effectif : L'effectif d'une classe ou d'une valeur est le nombre d'éléments qui correspondent à cette classe ou à cette valeur. On le note en général n_i.

+Exercice n°1

Dans l'exemple n°1, on peut regrouper les pointures par classe d'amplitude 2 dans un tableau statistique :

Valeurs de la pointure	Effectif( à compléter )
[ 35 ; 37 [	n1 = …..
[ 37 ; 39 [	n2 = ……
[ 39 ; 41 [	n3 =…...
[ 41 ; 43 [	n4 =…...
[ 43 ; 45 ]	n5 =…...
	N = n1 + n2 + n3 + n4 +n5 = 60

» Fréquence

Définition : On appelle fréquence f_i d'une propriété d'un caractère le rapport de l'effectif n_i de cette propriété par l'effectif total N.

Ainsi : ( la somme des fréquences f_i vaut 1)

Ces différentes fréquences peuvent être exprimées sous forme de pourcentage.

( la somme des fréquences f_i vaut 100 % )

+Exercice n°2

Calculer les fréquences de chaque classes dans l'exemple n°1

Valeurs de la pointure	Fréquence(en %)( à compléter )
[ 35 ; 37 [	f1 = …..
[ 37 ; 39 [	f2 = ……
[ 39 ; 41 [	f3 =…...
[ 41 ; 43 [	f4 =…...
[ 43 ; 45 ]	f5 =…...

¼ Effectifs et fréquences cumulés

L'effectif cumulé croissant (la fréquence cumulée croissante) de la valeur de rang i est la somme de tous les effectifs (de toutes les fréquences) jusqu'au rang i compris.

L'effectif cumulé décroissant (la fréquence cumulée décroissante) de la valeur de rang i est la somme de tous les effectifs (de toutes les fréquences) à partir de la dernière valeur jusqu'au rang i compris.

Exemple : Voici regroupés les salaires de 85 employés d'une entreprise, les deux dernières colonnes représentent les effectifs cumulés croissants et décroissants :

Montant ( €)	Nombre de salariés	Effectif cumulé croissant (ECC)	Effectif cumulé décroissant (ECD)
[ 0 ; 200 [	9	9	85
[ 200 ; 400 [	28	37	76
[ 400 ; 600 [	25	62	48
[ 600 ; 800 [	16	78	23
[ 800 ; 1 000 [	7	85	7
Total	85

Voici la même situation mais avec les fréquences cumulées croissantes et décroissantes

Montant en €	Nombres de salariés.	Fréquences	Fréquence cumulée croissante. (FCC)	Fréquence cumulée décroissante. (FCD)
[ 0 ; 200 [	9	0,106	0,106	1
[ 200 ; 400 [	28	0, 329	0,435	0,894
[ 400 ; 600 [	25	0, 294	0,729	0, 565
[ 600 ; 800 [	16	0, 188	0, 917	0,271
[ 800 ; 1000 [	7	0,083	1	0,083
Total :	85	1

+Exercice n°3

Lors d'une élection présidentielle on a relevé le nombres de voix obtenus par les cinq candidats au premier tour :

Candidats n°1	Candidat n°2	Candidat n°3	Candidat n°4	Candidat n°5
2 555 832	1 200 132	3 132 450	1 458 325	2 128 441

Nombre total de votants :

1°) Quel est le caractère étudié ?

2°) Calculer la fréquence f₁ en % des votes pour le candidats n°1

3°) Calculer la fréquence f₂ en % des votes pour le candidats n°2

4°) Calculer la fréquence f₃ en % des votes pour le candidats n°3

5°) Calculer la fréquence f₄ en % des votes pour le candidats n°4

6°) Calculer la fréquence f₅ en % des votes pour le candidats n°5

7°) Y-a t-il un candidat élu au premier tour ?

II. REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

II.1. GRAPHIQUES DES EFFECTIFS ET FREQUENCES

¶ Le diagramme circulaire (ou à secteurs)

Il est souvent utilisé pour représenter de séries statistiques à caractère qualitatif. L'aire du secteur angulaire est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence.

La valeur de l'angle (en degré) correspondant à l'effectif n_i se calcule à l'aide de la formule (N est l'effectif total) : , à partir de la fréquence f_i ( en % ) la formule devient : .

Couleur des yeux	Nombre de personnes	Calcul de l'angle en degré
Marron	788
Bleu	300
Vert	225
Gris	577
	Total : 1890	360

Exemple : Dans le tableau statistique suivant on a regroupé le nombre de personnes en fonction de la couleur de leurs yeux sur un échantillon de 1890 on représente ces résultats par un diagramme circulaire.

· Le diagramme à bâtons

On peut représenter des effectifs ou des fréquences d'une variable discrète à l'aide de ce diagramme.

Exemple : On étudie la répartition de voitures en fonction du pays d'origine :

Pays	F	D	E	I	S	GB
Effectifs	17	6	4	4	3	3

¸ L'histogramme

On représente à l'aide de ce graphique des séries à variable continue.

Un histogramme des effectifs (ou fréquences) est constitué de rectangle ayant pour base l'amplitude des classe et dont les aires sont proportionnelles aux effectifs ( ou fréquences).

Exemple :

v Dans le cas de classes de même amplitude :

Montant en Francs	Effectifs
[ 0 ; 10 [ [ 10 ; 20 [ [ 20 ; 30 [ [ 30 ; 40 [ [ 40 ; 50 [ [ 50 ; 60 [ [ 60 ; 70 [ [ 70 ; 80 [ [ 80 ; 90 [ [ 90 ; 100 [	4 10 20 44 50 32 16 12 10 2

v Dans le cas de classes d'amplitude différentes :

Montant en Francs	Effectifs	Hauteur
[ 0 ; 20 [	14	0,7
[ 20 ; 30 [	20	2
[ 30 ; 40 [	44	4,4
[ 40 ; 50 [	50	5
[ 50; 60 [	32	3,2
[ 60 ; 80[	28	1,4
[ 80 ; 100[	12	0,6

ATTENTION : Dans ce cas, l'effectif est représenté par la valeur de la surface du rectangle qui dépend des unités graphiques choisies.

II.2. Polygone des effectifs cumulés et des fréquences cumulées

Il est formé des segments de droites joignant les points :

- d'abscisses, la borne supérieure d'une classe.

- d'ordonnées : l'effectif cumulé de cette classe.

Exemple :

Dans le tableau suivant, on a regroupé par classe d'amplitude 5 ( sauf pour la dernière dont amplitude 25) les distances séparant le lycée de l'entreprise pour 90 élèves en stage.)

Pour les deux graphiques, le premier point a pour coordonnées ( 0 ; 0 ) pour l'ECC et ( 0 ; 90) pour l'ECD.

Distance en km	Nombre d'entreprises	ECC	ECD
[0 ; 5 [	8	8	90
[ 5 ; 10 [	22	30	82
[ 10 ; 15 [	32	62	60
[ 15 ; 20 [	18	80	28
[ 20 ; 25 [	5	85	10
[ 25 ; 50 [	5	90	5
[Total	90

III. CARACTERISTIQUES DE POSITION

III.1. MODE,CLASSE MODALE

Le mode est la valeur de la variable qui correspond à l'effectif ou à la fréquence maximale. Dans le cas de série à variable continue, on parle de classe modale ( les classes ayant même amplitude).

Dans l'exemple précédent, la classe modale est [ 10 ; 15 ]

III.2. MOYENNE ARITHMETIQUE

Si x₁, x₂….,x_p sont les valeurs du caractère étudié et n₁, n₂,….., n_p les effectifs, la moyenne arithmétique de la série statistique est :

où N est l'effectif total.

Avec les fréquences, la formule devient :

REMARQUE : Pour les séries statistiques continues, x_i représente la valeur du centre de la classe.

III.3. MEDIANE

La médiane est la valeur de la variable qui partage l'effectif total en deux parties de même effectif

Pour un caractère discret : Si l'effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série

Si l'effectif est pair la médiane est la demi somme des deux valeurs centrales du caractère.

Pour un caractère continu : La médiane peut être recherchée par lecture sur le graphique de la courbe des effectifs cumulés, de l'abscisse correspondant à l'ordonnée N/2

Dans l'exemple précédent, le caractère étudié est continu ( nombre de km), la médiane est 12,5. elle correspond au point dont l'ordonnée est 90/2 = 45.

On remarque aussi que la médiane est la valeur de l'abscisse du point d'intersection des courbes ECD et ECC.

IV. STATISTIQUE A UNE VARIABLE

Pour comparer les résultats de séries statistiques, les paramètres de position (mode, médiane , moyenne) sont parfois insuffisants, en particulier pour caractériser la répartition des valeurs autour de la moyenne. Pour cela, on utilise des paramètres dits de dispersion : l'étendue de la série et l'écart type.

¶ Calcul de l'étendue

L'étendue de la série est la différence entre la plus grande valeur observée du caractère et la valeur la plus petite.

· Calcul de l'écart type

L'écart type permet de connaître la répartition des valeurs du caractère par rapport à la valeur moyenne du caractère

Une petite valeur de l'écart type traduit une forte concentration des valeurs autour de la moyenne.

On appelle variance V d'une série statistique le nombre : xi : Valeurs du caractère ou centre des classes ni : effectif de xi ou de la classe de centre xi N : effectif total

L'écart type se calcule à l'aide la formule suivante :

ATTENTION : Pour des valeurs du caractère regroupées en classe, on prend pour valeur du caractère le centre de chaque classe et l'effectif correspondant à cette classe.

Pour calculer cette grandeur, il faut utiliser les fonctions statistiques de votre calculatrice.

V. STATISTIQUE A DEUX VARIABLES

Une série statistique à deux variables est une série pour laquelle deux caractères mesurables sont relevés pour chaque individu.

Exemple : L'étude prote sur la répartition des masses et des tailles d'enfants à leur naissance.

On a relevé la masse et la taille de 10 nouveaux-nés :

Enfant	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Masse en kg	2,4	2,6	2,7	3,0	3,2	3,3	3,5	3,6	3,8	4
Taille en cm	45	47	48	50	51	52	53	54	54	56

¶ Représentation graphique d'une série statistique à deux variables

A chaque individu est associé un couple de valeurs. Nous allons représenter ces deux grandeurs dans un repère, l'une des variable sera mis en abscisse, l'autre en ordonnée.

Dans l'exemple on choisi: Abscisse : masse en Kg ;Ordonnée : taille en cm.

Cette série sera donc représentée par le nuage de points suivant :

Les 5 premiers points, à partir de la gauche : (1^er nuage) ; les 5 autres points ( 2^ème nuage)

Ces points semblent être alignés. Pour pouvoir faire des prévisions, on va modéliser le lien existant entre ces deux variables par une fonction affine ( de la forme ax + b ) dont la représentation graphique est une droite d'équation y = ax + b

Pour cela :

Le nuage de points est séparés en deux parties contenant le même nombre de points.

On calcule les coordonnées des points moyens A et B(voir graphique) de ces deux parties :

On calcule l'équation de la droite passant par ces deux points. L'équation de cette droite est :

y=6,51x+30,1

A l'aide de cette équation, on peut estimer la taille d'un bébé de 2 kg par exemple :

Y = 6,51 ´ 2 + 30,1 = 43,12

La taille d'un enfant de 2 Kg peut être estimée à 43,12 cm.

Remarque : Plus le nombre de données sera important, plus le modèle sera précis.

La modélisation affine est la plus simple, on peut également, à l'aide d'ordinateur modéliser des situation par des hyperboles, des exponentielles, des paraboles pour des situations qui s'y prêtent et ceci toujours en vue d'établir un lien entre deux variables et ainsi de pouvoir faire des prévisions à l'aide du modèle déterminé.

VI. SERIES CHRONOLOGIQUES

¶ Définition

Une série chronologique, est une série statistique pour laquelle les valeurs du caractère sont fonctions du temps.

· Tendance générale et variations saisonnières

L'examen de la représentation graphique ou d'un tableau d'une série chronologique montre que celle-ci peut être constituée de deux composantes :

- La tendance générale est une évolution de longue durée marquée par la décroissance ou la croissance

- Les variations saisonnières représentent les ressemblances entre différentes périodes

La mise en évidence de ces deux composantes, permet par la suite de faire des prévisions pour les saisons à venir.

¸ Exemple de recherche de tendance générale et de variations saisonnières

Recherche d'une tendance générale par le procédé des moyennes mobiles.

Pour illustrer cette méthode, nous allons étudier un exemple.

Le chiffre d'affaire d'une entreprise au cours des sept dernières années est donné par le tableau suivant :

Année (x)	Chiffre d'affaires en millions d'Euros(y)
1	110
2	100
3	130
4	160
5	160
6	180
7	200

La représentation graphique de ces deux variables donne le nuage de points suivant :

Le principe consiste ensuite à remplacer 3 points consécutifs, obtenus par décalage successifs par leur point moyen :

Points à remplacer	Calcul des coordonnées du point moyen
(1 ; 110) (2 ; 100 ) ( 3 ; 130)
(2 ; 100) (3 ; 130 ) ( 4 ; 160 )	( 3 ; 130 )
(3 ; 130) ( 4 ; 160 ) ( 5 ; 160 )	(4 ; 150)
(4 ; 160 ) ( 5 ; 160 ) ( 6 ; 180 )	(5 ; 166)
( 5 ; 160 ) ( 6 ; 180 ) ( 7 ; 200 )	(6 ; 180)

Le graphique constitué de ces points moyens et appelé "courbe des moyennes mobiles".

Le nuage initial des 7 points est remplacé par un nuage de 5 points dont les fluctuations ont été amorties.

On peut ensuite faire un ajustement linéaire sur ces 5 points, afin d'obtenir une équation permettant de faire des prévisions sur le chiffre d'affaires de cette entreprise dans les années futures.

Correction des variations saisonnières

Le coefficient de variations saisonnières C.V.S est défini par le rapport de la moyenne des valeurs d'une période sur la moyenne des valeurs.

Exemple : Dans un magasin de grande distribution, on demande au chef de rayon de prévor les commandes mensuelles au plus juste pour l'année suivante en vus d'éviter les invendus.

Le tableau suivant représente les chiffres d'affaires mensuels ainsi que la moyenne de ces CA pour une même période.

Mois	J	F	M	A	M	J	J	A	S	O	N	D
CA en 2000 en milliers d'Euros	1500	2200	3500	4000	4500	4200	4100	2500	2800	3000	2000	1800
CA en 2001 en milliers d'Euros	1600	2300	4000	5000	6000	5300	4400	2600	3200	3500	2400	1900
Moyenne des C.A. mi	1550	2250	3750	4500	5250	4750	4250	2550	3000	3250	2200	1850

:

La moyenne de l'ensemble des moyenne mi des CA est :

Calculons maintenant le CVS pour chaque mois :

Mois	J	F	M	A	M	J	J	A	S	O	N	D
Moyenne des C.A. mi	1550	2250	3750	4500	5250	4750	4250	2550	3000	3250	2200	1850
CVS	@ 0,48	0,69	1,15	1,38	1,61	1,45	1,30	0,69	0,92	1,00	0,67	0,57

Le service statistique de l'entreprise prévoit un chiffre d'affaires de 48 530 € pour l'année 2002, le CVS permet de calculer chaque CA pour chaque mois de l'année 2002.

Le chiffre d'affaires moyen mensuel prévisionnel est :

Si on tient compte des variations saisonnières, on peut calculer chaque CA pour chaque mois de l'année 2002 en multipliant le CVS par le CA moyen mensuel calculé avant :

Mois	J	F	M	A	M	J	J	A	S	O	N	D
CVS	0,48	0,69	1,15	1,38	1,61	1,45	1,30	0,69	0,92	1,00	0,67	0,57
CA prévisionnel mensuel pour 2002 en milliers d'Euros	0,48´4044,17@ 1941	2790	4651	5581	6511	5864	5257	2790	3721	4044	2710	2305