Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

LIVRE

 

Document non inter actif.

 

 

 

DOSSIER  n°5 B / 25

 

 

 

 

 

FRACTIONS :

Dénominateur différents.

 

Opérations

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

 

 

5 B / 26

-Pré requis : Savoir faire des calculs avec des fractions de mêmes dénominateurs   « Addition » ; « soustraction » ; « multiplication » ; « division ».

TITRE : LES FRACTIONS DE DENOMINATEUR DIFFERENT (Opérations)

ADDITION ; SOUSTRACTION ; DIVISION  et MULTIPLICATION ; de  DEUX FRACTIONS  de  DENOMINATEURS  DIFFERENTS.

 

DOSSIER  N°5

INTERACTIF

LES FRACTIONS (Opérations)

Informations

« TRAVAUX   d’auto - formation »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

 

NIVEAU :

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA).

OBJECTIFS :

- Savoir faire des calculs avec des fractions de dénominateurs différents  « Addition » ; « soustraction » ; « multiplication » ; « division ».

Leçon

PREAMBULE

N°5

LES FRACTIONS DE DENOMINATEUR DIFFERENT (Opérations)

 

 

COURS

 

Il faut valider les acquis précédents avant d’étudier le chapitre « B » (chapitre suivant).

 

i9voir ci- dessus.   i29

 

:iCd³ INFO +

 

Les fractions sont de la forme :

 ; où « a » ; « b » ; « c » et « d » sont des nombres différents et  à condition que  « b » et « d » soient différents de « 0 » ( parce que l’on ne peut pas diviser par « 0 »)

 

 

i9  

1 .ADDITION : de  DEUX FRACTIONS  de  DENOMINATEURS  DIFFERENTS.

:i

 

 

Soit les deux fractions    Qui n’ont pas la  même valeur au dénominateur ! 

On ne peut pas additionner des fractions de dénominateurs différents :

 

 

On doit  transformer les fractions en fractions équivalentes dont on donnera un dénominateur égal au produit des dénominateurs.  Ici le dénominateur commun sera  «  bd » 

 

 

Procédure à respecter pour additionner 2 fractions de dénominateurs différents.

 

Activité :  « additionner  »  

 

 

Exemple :

Calculer :

 

 

Il faut :

 

 

 

1°) Ainsi avant de faire l’addition de deux fractions il faut transformer chaque  fraction  en fraction dite « équivalente » dont le nouveau dénominateur est   égal au produit  des deux dénominateurs  «  bd » 

 

1°) Ainsi avant de faire l’addition de deux fractions il faut transformer chaque  fraction  en fraction dite « équivalente » dont le nouveau dénominateur est   égal au produit  des deux dénominateurs  «  7 fois 11 »  soit = 77

 

2°) on transforme  la première fraction !

 

 

 

2°) on transforme  la première fraction !

 

 

3°) on transforme la deuxième fraction !

 

 

 

 

3°) on transforme la deuxième fraction !

 

 

4°) On remplace la première addition par l’addition des fractions équivalentes :

 

 

Après  transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur  .

 

4°)  On remplace la première addition par l’addition des fractions équivalentes :

 

 

Après transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur  .

 

 

5°) On calcule l’addition :

On peut écrire :

 

 

On peut maintenant effectuer l’ addition des deux fractions équivalentes.

 

5°) Calcul de l’addition :

 

 

l’addition est rendue possible parce que nous avons deux fractions ayant le même dénominateur.

 

 

 

 

 

Autre exemple :

 

Calculer

 

 

 

 

Procédure  à suivre :

 

 

 

1°) Au préalable on simplifie  ou ,dans la mesure du possible’  on essaie de rendre irréductible la ou les fractions.:

 

 

     ce qui est le cas de  pour 

 

 

2°) On remplace l’addition   devient  égale  à l’addition  

 

    On a remplacé   , On obtient une nouvelle addition ,

 

 

3°) On calcule le  « dénominateur commun » :

                         5 fois 4  = 20

 

 

Il est égal au produit des dénominateurs.

 

4°)  Transformation chaque fraction en fraction équivalente . (Dont le dénominateur sera  20)

première fraction :

 

 

deuxième fraction :

 

 

Vérification :   est « vraie » parce que dans le produit en croix  3 fois 20 = ( 60)  est égal à 5 fois 12 = ( 60)

 

Vérification :

   est « vraie » parce que 1 fois 20 est égal à 4 fois 5 .

 

5°) On remplace l’addition avec les fractions de départ par une nouvelle addition avec  des fractions équivalentes :

 

 

 

On dit que les additions sont équivalentes.

Nous avons  maintenant deux fractions de même dénominateur , nous pouvons faire l’addition

 

6°) Calcul de l’addition    

 

    et     

 

 

 

 

7°) Conclusion :

 

On reprend l’énoncé :  l’addition de départ !

On donne le résultat sous forme irréductible

 

 

 

 

   =          0 ,85

On peut donner aussi le résultat sous forme décimale

 

 

8°) Vérification : Dans tous les cas il faut  vérifier si notre résultat est conforme ; pour cela  on calcule la division dans chaque fraction :

3/5 = 3 ¸ 5 =  0,6     et   3 / 12  = 3 ¸ 12 = 0,25   

 

Ensuite , on remplace les deux fractions par les valeurs décimales calculées précédemment et l’on compare :

 

 

 0,6  + 0,25  = 0,85

 

 

On compare 0,85   avec  , bien entendu nous trouvons  le même nombre donc on peut maintenant conclure que :      est bien égale à    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i9  

2. SOUSTRACTION: de  DEUX FRACTIONS  de  DENOMINATEURS  DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

 

 

 

 

Soit les deux fractions    Qui n’ont pas la  même valeur au dénominateur ! 

On ne peut pas soustraire  des fractions de dénominateurs différents :

 

On doit  transformer les fractions en fractions équivalentes dont on donnera un dénominateur égal au produit des dénominateurs.  Ici le dénominateur commun sera  «  bd » 

Procédure à respecter pour additionner 2 fractions de dénominateurs différents.

Activité :  « soustraire »   

 

 dans le sens   a /b  - c / d

 

 

Exemple :

Calculer :

 

Il faut :

 

 

1°) Ainsi avant de faire la soustraction de deux fractions il faut transformer chaque  fraction  en fraction dite « équivalente » dont le nouveau dénominateur est   égal au produit  des deux dénominateurs  «  bd » 

 

1°) Ainsi avant de faire la soustraction de deux fractions il faut transformer chaque  fraction  en fraction dite « équivalente » dont le nouveau dénominateur est   égal au produit  des deux dénominateurs  «  7 fois 11 »  soit = 77

2°) on transforme  la première fraction !

 

 

 

2°) on transforme  la première fraction !

 

 

3°) on transforme la deuxième fraction !

 

 

 

 

3°) on transforme la deuxième fraction !

 

4°) On remplace la première soustraction par la soustraction des fractions équivalentes :

 

 

Après transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur  .

 

4°)  On remplace la première soustraction par soustraction des fractions équivalentes :

 

 

Après transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur  .

 

5°) On calcule la soustraction :

On peut écrire :

 

 

On peut maintenant effectuer la soustraction  des deux fractions équivalentes.

 

5°) Calcul de la soustraction  :

 

 

la soustraction  est rendue possible parce que nous avons deux fractions ayant le même dénominateur.

 

 

 

Autre exemple :

Calculer

 

 

 

Procédure  à suivre :

 

 

1°) Au préalable on simplifie  ou ,dans la mesure du possible’  on essaie de rendre irréductible la ou les fractions.:

 

 

     ce qui est le cas de  pour 

 

2°) On remplace la soustraction   devient  égale  la soustraction    

 

    On a remplacé   ,

 

On obtient une nouvelle soustraction  ,

 

3°) On calcule le  « dénominateur commun » :

                         5 fois 4  = 20

 

 

Il est égal au produit des dénominateurs.

4°)  Transformation chaque fraction en fraction équivalente. (Dont le dénominateur sera  20)

première fraction :

 

 

deuxième fraction :

 

 

Vérification :   

 

est « vraie » parce que dans le produit en croix  3 fois 20 = ( 60)  est égal à 5 fois 12 = ( 60)

 

Vérification :  

 

 est « vraie » parce que 1 fois 20 est égal à 4 fois 5 .

5°) On remplace la soustraction  avec les fractions de départ par une nouvelle addition avec  des fractions équivalentes :

 

 

 

On dit que les soustractions  sont équivalentes.

Nous avons  maintenant deux fractions de même dénominateur , nous pouvons faire la soustraction 

  6°) Calcul de la soustraction :

 

         et     

 

 

 

7°) Conclusion :

On reprend l’énoncé :  l’addition de départ !

On donne le résultat sous forme irréductible

 

 

 

   =          0 ,85

On peut donner aussi le résultat sous forme décimale

 

8°) Vérification : Dans tous les cas il faut  vérifier si notre résultat est conforme ; pour cela  on calcule la division dans chaque fraction :

3/5 = 3 ¸ 5 =  0,6     et   3 / 12  = 3 ¸ 12 = 0,25   

 

Ensuite , on remplace les deux fractions par les valeurs décimales calculées précédemment et l’on compare :

 

 

 0,6  - 0,25  = 0,35

On compare 0,35   avec  , bien entendu nous trouvons  le même nombre donc on peut maintenant conclure que :      est bien égale à    

 

 

 

 

Si l’addition et la soustraction  de deux  fractions de dénominateurs différents posent  un réel problème  , il n’en est pas de même pour la multiplication et la division ( ou fraction ) de fractions :     il n’y a aucune  transformation  particulière   , il faut  appliquer directement les   règles  énoncées  pour les fractions de même  dénominateur . (Voir suite du cours .)

 

 

 

i9  

3.   MULTIPLICATION de  DEUX FRACTIONS  de  DENOMINATEURS  DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

Il n’y a pas  de transformation  particulière  à effectuer , ainsi la multiplication de  deux fractions de  dénominateur  différent ne pose pas de problème  particulier .

On retiendra la règle suivante :

 

 

Règle : ( écriture  littérale)La multiplication  de deux fractions  de dénominateur différent est égale à une troisième fraction qui aura pour  « Numérateur » : le produit des numérateurs et pour « Dénominateur » : le produit des dénominateurs.

 

 

 

 

 

Traduction  symbolique  mathématique

=   = 

 

 

 

 

Exemple :    calculer : 

 

 

 

 

Faire le produit des numérateurs

 

 

 

 

 

 

 

Faire le produit des dénominateurs

 

 

 

 

 

 

conclusion :    

15  / 77  est le résultat : forme irréductible

 

 

Résultat  sous forme décimale ,

 15 / 77    »   0,194805194805194805194805194805195

 

ce qui peut se ramener    au nombre   » 0,195   qui est le résultat exprimé  à 0,001 prés

 

 

i9  

4. DIVISION de  DEUX FRACTIONS  de  DENOMINATEURS  DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

 

 

iNous ne pouvons pas calculer directement la fraction de deux  fractions , il faut impérativement transformer l’écriture

 

 

 

Donc l’écriture :

se transforme  en   :

Commentaire : La fraction de fractions doit être transformée en division de deux fractions.

 

 

 

La fraction de fractions                              

Commentaire 1:

La première fraction étant  au dessus de la barre de fraction  qui se trouve  alignée avec le signe « égal ».

devient :

 

Commentaire 2 :  la deuxième fraction étant située sous la barre de fraction alignée avec le signe égal.

 

 

 

 

Bien que la fraction de fractions soit transformée en division ; la division de deux fractions ne se fait pas ; il faut transformer  la division en multiplication en respectant la procédure suivante:

 

 

On sait que

                         

 

 

 

se transforme  en 

qui devient      

En conclusion : Transformation finale

 

 

 

 

 

 

 

Commentaire : Première transformation de la  fraction de deux fractions  en division de deux fractions.

 

Deuxième transformation : la multiplication par l’inverse !

 

 

On a transformé la fraction de fractions  par  une « multiplication » .

 

 

 

 

 Rappel  ( Cd  ³ )  INVERSE  d'un nombre.(ou fraction) : 

 

 

l’ inverse de

est égal à 

  

et       inv.  de

     

est égal à

 

 

 

Et l’on applique ,ensuite, les règles de la multiplication de deux fractions.

 

 

Règle :  ( forme littérale ) Pour calculer la division de deux fractions il suffit   de  multiplier la première fraction par l’inverse de seconde fraction. 

 

 

 

Forme symbolique mathématique :

 

 

 

 

Exemple :

 

 

 

Calculer :

 

 

 

 

 

77 / 45  =

Résultat calculé :(  »1,71111111111111111111111111111111)

 

 

 

 

conclusion 

 

 

» 1 , 71   à 0,01 près  ( il faudrait  faire  la vérification ! !)

 

 

 

 

+Faire les exercices suivants :

 

 

 

 

  Addition

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soustraction

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Multiplication

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fraction de fractions

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Division de fractions

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iComme vous l’avez remarqué :  on  peut multiplier ou diviser directement  deux fractions de dénominateur différent , on ne peut pas additionner  ou  soustraire  deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur .

 

 


 

TRAVAUX  N°5    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

 

Les travaux concernant le contrôle sont à demander au professeur .

 

 

TRAVAUX  N°5    d ’ AUTO - FORMATION :  EVALUATION 1

 

 

Définitions préalables

 

1°)  avec « 3 » et « 4 »    écrire une fraction ?

2°)  souligner les  rationnels .

16 + 2 =  18   ;  16 : 2 =   8 ; 16 -2 = 14

25: 4  =   6,25    ;   25 ´ 4 = 100   ; 25 - 4 = 21            

11 + 7  =  18     ;    7 - 11 = -4 ; 11 : 7  =   11/7

3°) entourer  l ’ «  écriture fractionnaire » 

  16 / 2 ;   17 / 5  ;  20,2  / 2 ; 10 / 0,5 ; 6,3 / 7,8 ; .456/ 3625

 

 

 

 

 

 

 

B )  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE DENOMINATEURS  DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

 

 

 

 

 

B) Série 1

 

 

 

 

 

 

 

 

5 .ADDITION :

Cd³ INFO +

 

 

  Calculer :  

 

 

 

 

; donner le résultat sous forme  irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

 

 

 

 

 

 

 

 

6. SOUSTRACTION:

Cd³ INFO +

 

 

Calculer

 

 

 

 

; donner le résultat sous forme  irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    7.MULTIPLICATION

Cd³ INFO +

 

 

Calculer

 

 

 

 

; donner le résultat sous forme  irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

 

 

 

 

 

 

 

 

8. DIVISION

Cd³ INFO +

Calculer

 

 

; donner le résultat sous forme irréductible et puis sous forme décimale à 0,001  prés .

 

 

 

B) Série 2

 

 

Addition

 

 

 

 

 

 

Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs

 

 

 

 

 

Soustraction

 

 

 

 

 

Multiplication

 

 

 

 

 

 

Fraction de fractions

 

 

 

 

 

Division de fractions

 

 

 

 

 

 

 

3. Il faudrait y ajouter encore 25 cl pour la remplir complètement. Quelle est la capacité de cette bouteille ?

6)     A la Bourse, un homme d'affaires perd les 4/7, soit 280 000 F, de son capital. Quel était le capital initial ? Calculer le montant de la perte si elle avait correspondu aux 3/5 du capital.

7) Ingrid partage avec ses 3 frères et sœurs les 5/7 de son gain au Loto et , avec le reste, achète une plante verte pour sa mère. Chacun des enfants reçoit 35 F. Combien Ingrid avait-elle gagné ? Quel est le prix de la plante verte ?