Lecture : L’écriture littérale

 

CALCUL LITTERAL

 

L’objectif de ce chapitre est de revoir tous les mécanismes opératoires et les propriétés des opérations, d’aborder la notion de variable, de gérer une formule littérale.

 

 

RAPPELS DE CALCULS NUMERIQUES

 

Les ensembles de nombres en mathématiques sont les suivants :

 

N : ensemble des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; ......etc...........

Z : ensemble des entiers relatifs : ......-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.......etc.....

D : ensemble des nombres décimaux : -1,8 ; 2,7 ; ............etc....

Q : ensemble des nombres rationnels : on peut les écrire comme le rapport de deux nombres entiers relatifs : 2/3 ; -5/6 .........

R : Ensemble des nombres réels

Avec le développement de la géométrie est apparu le besoin de créer de nouveaux nombres. Ainsi, la longueur de la diagonale d’un carré dont le côté mesure une unité ne peut s’exprimer à l’aide d’une fraction. Cette longueur est égale à la racine carrée de 2 de symbole ,Multipliée par elle-même, cette valeur vaut 2. De même, le quotient de la circonférence d’un cercle par son diamètre n’est pas un nombre rationnel, mais vaut pi = 3,1415... Ces nombres sont dits irrationnels.

 

La réunion de l’ensemble des nombres rationnels et de l’ensemble des irrationnels constitue l’ensemble des nombres réels.

 

Un même nombre peut avoir plusieurs écriture possibles :

 

 

 

Calculs avec des nombres réels

 

Pour pouvoir faire du calcul littéral, il est important de savoir transformer correctement une suite d’addition et de soustraction en somme algébrique :

 

Exemple :

Plusieurs règles sont à connaître avant de se lancer dans le calcul, en voici quelques rappels :

 

1.         Les écritures équivalentes de fractions :

2.       Règles de calculs sur les fractions :

a.       Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les réduire au même dénominateur

b.       Pour multiplier des fractions entre elles, on multiplie les numérateurs entre eux (les nombres au dessus du trait de fraction) et les dénominateurs entre eux.

c.       Pour diviser une fraction par un nombre on la multiplie par son inverse

D’une manière générale diviser par un nombre c’est multiplier par son inverse.

L’inverse de  est ,de plus

1.         Pour soustraire un nombre on ajoute son opposé.

            On transforme la soustraction en somme algébrique.

 

Revenons à l’exemple :

 

 

Passage aux écritures équivalentes des fractions :

 

Transformation des soustractions en sommes algébriques :

 

Etant donné qu’il y a des fractions, il faut tout réduire au même dénominateur :

 

La fraction doit être irréductible.

 

2.       Rappel sur les racines carrées a et b sont positifs :

a.      

b.      

c.      

3.       Les exposants :

 

4.       Les priorités opératoires classées dans l’ordre décroissant de priorité

a.       Puissances et racines carrées

b.       Calculs entre parenthèses

c.       Multiplication et division

d.       Addition et soustraction

 

FExercices

 

a.       Effectuer à la main les calculs suivants et contrôlez à la calculatrice :

 

b.       Mettre les nombres suivants sous la forme d’une puissance d’un même nombre :

 

c.       Donner l’écriture décimale et l’écriture scientifique des nombres suivants :

d.       Donner une écriture plus simple des nombres suivants :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LES EGALITES REMARQUABLES

 

Ce sont des égalités vraies quelques soient les valeurs données aux nombres a et b, les trois égalités les plus utilisées sont :

 

Flèche droite: Factoriser

 

Flèche droite: Développer

 

Développer une de ces égalités consiste à écrire pour la première par exemple :

 

Factoriser une de ces égalités consiste à écrire pour la seconde par exemple :

 

 

A la place de a et b il peut y avoir n’importe quel autre lettre ou forme littérale, mais pour développer ou factoriser, il faut bien identifier ce qui correspond à a et b.

 

 

Exemples

 

F    Comment développer (x-7)² ?

 

(x-7)² correspond à (a-b avec a=x et b=7 ainsi :

 

(x-7)² = x² - 2 ×x×7 + 7 ² = x² - 14 x + 49

 

 

Pensées: 2×x×7=2×7×x=14×x = 14x 

 

 

 

 



F    Comment factoriser une égalité remarquable ?

 

Il faut identifier à quel développement elle correspond :

 

§     A²-14A+49 = A² - 2 × 7 × A + 7 ² =(A-7)²

 

 

Pensées: Elle correspond à a²-2ab + b² avec a=A et b=7 

 

 

 

 

 


§     Pensées: Elle correspond à a²-b² avec a=2y et b=x4y²-x² = (2y - x ² = (2y-x)(2y+x)

 

 

 

 

 

 

 

F    Exercices

§     Développer les expressions suivantes :

a) (x-2)²           b) (2y-1)(2y+1)   c) (2t-1)²          d) (x-y)²           e) (2a-3b)(2a+3b)

§     Factoriser les expressions suivantes :

a) 16x²+8x+1      b) 4-20y+25y²              c)4x²-1              d) 28x²-7          e)5+10y + (1+2y)²

 

DEVELOPPER, REDUIRE ET ORDONNER UNE EXPRESSION LITTERALE

 

Dans le cas où le développement fait apparaître des termes de même nature, il faut les regrouper ( on dit réduire les termes de même nature) :

 

Exemple

 

     2(x-7)² - 3x² + 15x(x-7)(x+7)

=   2(x²-14x+49) – 3x² + 15x(x²-49)                   Ü Développement des identités remarquables

=  2x² + 2×(-14x) + 2×49 – 3x² + 15x×x² + 15x×(-49)    Ü Distribution des facteurs

=  2x²+(-28x)+98-3x²+15x3 + (-735x)   Ü Calculs des produits

=  2x²+(-28x)+98+(-3x²)+15x3 + (-735x)           Ü Transformation en somme algébrique

= 2x² + (-3x²) + (-28x)+(-735x) + 15x3 + 98 Ü Regroupement des termes de même nature

= -x² + (-763x) + 15x3 + 98                               Ü Réduction

= 15x3 + (-x²) + (-763x) + 98                            Ü ordonnément des termes suivant les puissances croissantes de x

= 15x3 – x² - 763x + 98                                     Ü Simplification d’écriture.

 

NB : 15x3 – x² - 763x + 98 est un polynôme de la variable x, le degré de ce polynôme est 3.

 

Pour réussir en calcul littéral, il faut simplement faire beaucoup d’exercices, les voici :

 

 

FExercices

 

§     Calculer les expressions littérales suivantes :

§     Les lettres a, b et x désignent des réels, montrer que :

 

§     On donne le polynôme P(x)=-x3+5x²+4x-2, déterminer les réels a,b et c pour que P(x) puisse s’écrire :

P(x)=(x+1)(ax²+bx+c)

            Simplifier ensuite la fraction suivante :

§     Effectuer le calcul :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CALCULER LA VALEUR NUMERIQUE D’UNE EXPRESSION LITTERALE

 

Pour calculer la valeur numérique d’une expression littérale, il suffit de donner une valeur à chaque lettre intervenant dans la formule, on dit que l’on fait une substitution.

On substitue à la lettre sa valeur.

 

Exemple de calcul 

 

On donne les dimensions du trapèze B = 8   ; b =  5   et h =  4

( l’unité de longueur est le cm)

On veut connaître son aire .

L’expression littérale donnant l’aire d’un trapèze est :

A =

Donc A =

On calcule dans les parenthèses :A = 

On calcule  (13)4 = 4 ( 13) = 4 13  = 52

  A =

On divise :  52 :2

A = 26

On conclue : l’aire du trapèze est de 26 cm²

 

F    Exercices 


Calculer le volume V (arrondi à 0,1 près) du cylindre en m3 pour les différentes valeurs de R et h suivantes  :

           

·          R = 0,2 m         h = 0,5 m                     V =

 

·         R = 1,5 m          h = 1,5 m                      V =

 

 

 

 

 

2°) La formule ci-dessus établie par Lorentz permet de calculer la masse m idéale(exprimée en Kg) d'un individu par rapport à sa taille( exprimée en cm) :

 

a) Calculer la "masse idéale" d'individus dont les tailles sont les suivantes :

1,50 m ; 1,75 m ; 1,80 m ; 1,95 m ; 1,65 m

b) Calculez votre propre "masse idéale".

 

3°) On donne B(x)=x3-x²-5x+6

a)Calculer B(2)

b) Déterminer la valeur de b pour que B(x) puisse s’écrire (x-2)(x²+bx-3)

 

4°) On donne l’expression C(x)=2x²-40x+500

a)                                                            Calculer C(0) ; C(5) ; C(10) ; C(15) ; C(20) ; C(25).

b)                                                            Le coût de production d’un article est donné par la relation :

C(q)=2q²-40q+500

            Le prix de vente de cet article est donné par la relation :

                        P(q)=10q+300

            Compléter le tableau suivant :

q

0

5

10

15

20

25

C(q)

 

 

 

 

 

 

P(q)

 

 

 

 

 

 

            Sur quel intervalle la production est-elle rentable ?

 

TRANSFORMATIONS D'EXPRESSIONS LITTERALES

 

Dans un problème ou un exercice, la formule donnée n'est pas forcément sous la forme qui permet de faire le calcul directement, il faut d'abord la transformer pour calculer ce qui est demandé.

 

À Transformations simples

 

Exemple : La loi d'OHM est une formule permettant de calculer la tension U(en Volt) aux bornes d'un résistor en fonction de la valeur de sa résistance R(en Ohm)  et de la valeur de l'intensité I( en Ampère) du courant qui le traverse.

 

Cette formule est : U = RI. On demande de calculer I pour U = 10 V et R = 250 W.

La méthode consiste à considérer I comme inconnue et de transformer la formule en appliquant la règle de résolution des équations du premier degré à une inconnue : Il faut isoler l'inconnue dans un des membres de l'équation en effectuant les opérations nécessaires sur les deux membres de l'équation.

 


1ere Solution

On transforme la formule avec les lettres et ensuite on remplace les lettres par leurs valeurs :

 

L'intensité traversant cette résistance est de 0,04 A

 

 

 


2eme Solution

On remplace d'abord les lettres par leurs valeurs et après on transforme.

 

L'intensité traversant cette résistance est de 0,04 A


Dans les exercices ou les problèmes, il faut faire autant d'opérations qu'il est nécessaire pour arriver à ce qui est demandé (Dans cette exemple il n'y a qu'une seule opération à effectuer).

 

 

FExercice

 

1°) A l'aide de la formule précédente, donner la formule de R en fonction de U et de I

2°) Calculer la valeur de R pour U = 12 et I = 0,01.

 

 

Transformations plus complexes

 

Parfois, dans une formule, il est nécessaire de développer et réduire l'expression littérale pour arriver au résultat.

Ce paragraphe a pour but de vous rappeler ce que ces deux verbes signifient en mathématique.

 

Exemple :

Voici l'exemple d'une formule reliant 3 grandeurs a, b et c :

3a + 2b - 4b = 5(a + 2) + 2c -2a

But : On veut calculer a en fonction de b et c.

 

1ere Etape : Il faut développer cette formule dans le membre de droite, pour cela on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :

 

3a + 2b - 4b = 5(a + 2) + 2c

3a + 2b - 4b = 5´a + 5´2 + 2c

3a + 2b - 4b = 5a + 10 + 2c

 

2emeEtape : Il faut réduire cette expression dans les deux membres : on calcule combien il y a de termes "a", de termes "b" et de terme "c" dans chacun des deux membres :

 

3a + 2b - 4b = 5a + 10 + 2c

3a - 2b = 5a + 10 +2c

3emeEtape : On transforme l'expression pour arriver au résultat souhaité(il faut calculer a en fonction de b et c)

On regroupe les"a" à gauche, pour les supprimer à droite on ajoute (-5a) aux deux membres  :

(-5a)+3a - 2b = 5a + 10 +2c +(-5a)

-2a - 2b = 10 + 2c

On supprime les (-2b) à gauche en ajoutant 2b aux deux membres :

2b + (-2a) - 2b = 10 + 2c + 2b

-2a = 10 + 2c

On divise les deux membres par (-2) :

 

FExercice

 

Soit la formule suivante : 2w - 3(w-x) = z  où w, z et x sont des nombres.

a) Exprimer w en fonction de x et z.

b) Exprimer x en fonction de w et z

c) Calculer x pour w = 2 et z = -1.

 

 

ƒTransformations nécessitant l'emploi de racines carrées et de carrées

 

v     Transformation de formules nécessitant l'emploi de racines carrées

Rappel : La racine carrée d'un nombre b est un nombre qui élevé au carré donne b :

Une conséquence est que : (a>0)

 

Dans une équation d'inconnue X, on peut arriver, après transformation à ce type d'égalité :

X2 = nombre ou expression littérale

Pour connaître la valeur de X, il suffit de prendre la racine carrée des deux membres de l'équation :


 

Exemples


·            


·                                                                                           

 


FExercice

 

La puissance dissipée par un résistor s'exprime par la formule P = RI2 où P est la puissance en Watt, R la valeur de la résistance en Ohm et I la valeur de l'intensité en ampère traversant le résistor.

1°) Exprimer l'intensité I en fonction de P et de R.

2°) Calculer la valeur de l'intensité I traversant un résistor de résistance 250 W dissipant une puissance de 10 W.

 

Transformation de formules nécessitant l'emploi de carrés

 

Dans une équation d'inconnue X, on peut arriver, après transformation à ce type d'égalité :

 = nombre ou expression littérale

Pour connaître la valeur de X, il suffit de prendre le carrée des deux membres de l'équation :

 

 

Exemples


·             


·                                                                                           

 


FExercices

1°) La vitesse v (en m/s) atteinte par un objet lâché d'une hauteur h(en m) dans le vide est donnée par la formule :

a) Exprimer la hauteur h en fonction de la vitesse v.

b)Calculer la hauteur de chute h (exprimée en m et arrondie au cm) d'un objet ayant atteint la vitesse v de 15 m/s.

 

 


2°) L'intérêt I (en €) produit par un capital C(en €) placé pendant a années au taux annuel de t % est donné par la formule :

a) Calculer l'intérêt produit par un capital de 10 000 € placé 5 ans au taux de 7,5 %.

b) Donner la formule permettant de calculer C en fonction de t, a et I.

c) Calculer le capital placé qui rapporte 500 € d'intérêt au bout de 5 ans aux taux de 4 %.

d) Donner la formule permettant de calculer a en fonction de C, I et t.

e) Calculer le nombre d'années de placement d'un capital de 25 000 € placé à 6 % qui rapporte 3 000 € d'intérêt.

 

3°) Soit 3 grandeurs a, b et c reliés par la formule : 3(a+b) = 2a - c

a) Donner la formule permettant de calculer c en fonction de a et b.

b) Calculer la valeur de c pour a = 2 et b = 2/5

c) Donner la formule permettant de calculer a en fonction de b et c

d) Calculer la valeur de a pour b = -2 et c = -7/2         

 

 

 

4°) L'énergie cinétique Ec (en Joule) d'un mobile de masse m (en Kg) animée d'une vitesse v ( en m/s) se calcule à l'aide de la formule :

a) Calculer l'énergie cinétique d'une voiture roulant à 75 km/h et ayant une masse de 750 Kg.

                                   Attention aux unités !!!!

b) Donner la formule permettant de calculer v en fonction de m et Ec

c) Calculer la vitesse v (en m/s) d'une voiture de 850 Kg ayant une énergie cinétique de

100 000 J. Arrondir le résultat au centième. Donner le résultat en km/h arrondi au dixième.

 

 

5°) La vitesse v (en km/h) d'un mobile parcourant la distance d (en km) pendant le temps t (en heures(h)) est donné par la formule :

a)      Donner la vitesse d'une voiture parcourant 50 km en 25 minutes( Attention aux unités)

b)      Transformer la formule afin de donner la relation permettant de calculer le temps t en fonction de la distance d et de la vitesse v

c)      Calculer alors le temps (en minutes) mis par une voiture roulant à la vitesse de 120 km/h pour parcourir 12 km.

 

 

FIN