Pré requis:

Soustraction de deux nombres relatifs

BIPOINT   

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent

Objectif suivant

   Tableau 

 

DOSSIER  PROJECTION d ' un point  dans un repère cartésien (deux droites sécantes)

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

COURS

 

 

 

 

Voir définition du mot « direction et sens ».

Mots utilisés dans l’objectif : le vecteur

Préambule :

   La projection  d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés) implique que l’on doit connaître (ou se fixer) :

 

n      une direction  (c’est une droite )

n     la position du point dans un plan ( en l’occurrence la feuille) et

n      la droite support qui recevra le « projeté du point » .

 

Rappel :   Projection d’un segment de droite:  « x » :

 

Avec A et B on construit le segment AB;

    Le segment   Ax Bx est le projeté  du segment  AB  sur la droite  « axe » ,par rapport à la droite d .

XA est l’abcisse du point  A;

 XB est l’abcisse du point B

 

 

                                                                                                                      B     

                                                                                      A

 


                                                           d

 

 

 

 


                                                                   A’                    B’                x

 

Projection  d’un segment sur un repère  (cas général)

 

Avec  A et B on construit le segment   AB .

Sur  l' axe "x" et sur l ' axe "y"   :

           By  est le projeté de B sur l’axe  « y ».

           Ay   est le projeté de A sur  l’axe  « y ».

 

            Y  A  est l’ordonné du point A

            Y  B  est l’ordonné du point B

Les segments de droites  [Ay By]   et  [B x A x]  sont  appelés les projetés  du segment   AB  .

 

 La norme permet de graduer les axes.

  Si la norme *  sur  x et  y  est égale « mesure » le repère est dit « normé »

 

*Voir la signification de [O,I]  et  [ O, J ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


II)  Projection  d’un segment  sur     deux droites  sécantes perpendiculaire :

 

 

(appelé aussi repère  cartésien    orthogonal - normé    (cliquer ici pour en savoir plus 

 

 Objectif important pour  :.représentation graphique des ...FL  et F affine ; les relations trigonométriques;  vecteurs et ses composantes ;……. )

 

                                          y

 

                                       Ay                                                       A

 

 

 


                                       By                                 B        

                                                                  Bx                                Ax        x

 

 

 

 

 

 

 

 

GEOMETRIE  DANS L’ESPACE

Voir projection d’un point  ,d’un segment ,d’une surface , d’un volume dans un repère en trois dimensions  (dit dans l’espace )

 

 

 


 

 

EVALUATION :

 

 

A  )  Montrer par un dessin  ,la projection orthogonale d’un point .

 

 

D

 

D1

 

delta

 

M

 
I )  Soit le schéma  suivant ,tracez le projeté du point M par rapport à   « delta » sur la droite  D et la droite D1.
II  ) Soit un repère non orthogonal :  tracer les projetées du segment

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


B

 
III ) Soit un repère  orthonormé ( à compléter):  tracer les projections du segment   AB ; donner les coordonnées des deux points,

 


échelle1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Cet exercice sera repris  avec Obj : « Pythagore »

 

en vue de rechercher la norme d’un vecteur par le calcul

Le vecteur Vx et le vecteur Vy  sont les composantes du vecteur   V.

    Ces composantes ont pour origine ,l’origine du vecteur   V ,pour direction , les parallèles aux droites  d et d ’ et pour extrémité des parallèles aux droites d et d ’ passant par  l’extrémité du vecteur V   I

 

 

 
Composantes d’un vecteur:

 

 

 

 


                 d’   

                                           Vy           V

 

 

 
 

 


                                                                     Vx  

 

 

 


                                                                                 d

 

Projection des composantes d’un vecteur:

 Le vecteur  Vx   et  le vecteur Vy   sont  les projections  du vecteur

           V

 Nous avons  dessiné  le cas ou les projection sont orthogonales , parce que les axes  x et y sont orthogonaux

 
                 y

                       

 

 


               Vy

                                                          V

 

 

 


                                                                     

 

 

 


                                                                                                    x

                                                                Vx

 

CALCUL DES  COMPOSANTES D’UN VECTEUR:

 

V   ,   Vx   et    Vy          forme un triangle   « rectangle »  si le repère est orthonormé

 

 

A partir des coordonnées de l’origine est l’extrémité du vecteur ,on peut donc calculer toutes les caractéristiques du triangle.

 

 

 

Pour trouver les caractéristiques du triangle rectangle on fait appel :

  à  « Pythagore »

  ou  aux relations trigonométriques dans le triangle rectangle  (sinus, cosinus, tangente ,cotangente)

 
 

 


                                                      V

                                                                                   V y

 

 

 

 


                                                   Vx 

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