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Les Fonctions (généralités)

Chapitres :
	Variables et constantes.
	Qu'est ce qu'une fonction?
	Notation fonctionnelle
	Variation d'une fonction numérique
	Exemples de fonctions

Voir aussi: repères , fonctions linéaires , fonctions affines , proportionnalité .

I Variables et constantes:

** Une variable peut prendre toutes les valeurs d'un ensemble d'objets donné. Dans l'ensemble des nombres décimaux, l'expression numérique A = 2x²-1 la lettre x représente n'importe quel nombre décimal. Cette expression peut être notée A = 2y²-1, dans ce cas la variable est y...

A la valeur choisie pour x correspond alors une valeur de l'expression A. Par exemple pour x=3, A = 2*3²-1 et A = 17. Si nous changeons la valeur de x, alors nous avons de fortes chances d'obtenir une autre valeur de A. par exemple pour x = -2 nous obtenons A = 2*(-2)²-1 = 7.

- Dans notre exemple, si nous choisissons x = -3 alors :
A = 2*(-3)² - 1=17...
Ce qui prouve que, bien que x varie, une expression peut prendre la même valeur plusieurs fois.
- D'autre part, pour certaines expressions et pour certaines valeurs de la variable, il est possible que nous n'obtenions pas de valeur.
Exemple:
pour B=1/(x-1), si x=1 alors B n'a pas de valeur car B=1/(1-1) et B=1/0 ce qui n'est pas possible (division par zéro interdite).

** Une constante est une valeur qui reste toujours la même, qui ne varie pas dès qu'elle est fixée. Dans l'expression C = 2(x-a) où x est la variable, nous devons définir une fois pour toute la valeur de la constante a. Une fois cette valeur définie, nous ne pouvons plus la modifier, sinon nous changeons d'expression: pour a=1, a=-5 nous obtenons les expressions 2(x-1) et 2(x+5).

Le choix du nom de la variable ou de la constante, est soit imposé par l'énoncé du problème, soit par vous. Les symboles choisis pour les représenter peuvent être des caractères de notre alphabet (minuscules ou majuscules), des caractères grecs (tels que a, b, m, p,... ) ou d'autres signes encore.

II Qu'est ce qu'une fonction ?

Une fonction est une relation entre un ensemble d'objets de départ et un ensemble d'objets d'arrivée,
qui, à tout élément de l'ensemble de départ associe au plus un élément de l'ensemble d'arrivée.

Le "au plus" de la définition ci dessus signifie qu'un objet x du départ est:

· soit en relation avec un seul objet de l'arrivée.

· soit en relation avec aucun objet de l'arrivée.

Ces objets peuvent être des points, des nombres,.. Les ensembles de départ et d'arrivée peuvent être le même ensemble d'objets ou des ensembles d'objets différents.

Par exemple, nous pouvons mettre en relation tous les points d'un plan avec les points du même plan. C'est ce qui se passe lorsque nous parlons de translation plane, de symétrie, de rotation : à tout point d'un plan nous associons un point de ce plan en respectant certaines conditions. Le point de départ est appelé antécédent et le point d'arrivée est appelé image. Nous disons que l'image est fonction de l'antécédent, ce qui signifie que le point image dépend du point antécédent. Ce n'est qu'une question de vocabulaire...

Un autre exemple va vous montrer que les fonctions sont très courantes dans notre quotidien. Il y a sûrement plusieurs serrures dans votre habitation, pour lesquelles vous possédez un trousseau de clés. Chaque clé est en relation avec au plus une serrure. Vous ne pourrez ouvrir (ou fermer) telle ou telle serrure que si elle est fonction d'au moins une clé de votre trousseau... Nous considérons ici que l'ensemble de départ est le trousseau de clés, l'ensemble d'arrivée étant l'ensemble des serrures de votre habitation. Ces deux ensembles sont, cette fois, différents.
Un exemple de représentation est donné ci contre.

Remarque: L'une des clés n'ouvre aucune serrure alors que deux clés ouvrent la même serrure (c'est ce que signifie "fonction d' au moins une clé ")mais aucune clé (pas de "passe-partout"...) n'ouvre plusieurs serrures. D'autre part il peut arriver qu'une ou plusieurs serrures ne puissent être ouverte (ou fermée) avec l'une des clés du trousseau.

Lorsque les ensembles de départ et d'arrivée sont finis (c'est à dire qu'ils comportent un nombre connu d'éléments) nous pouvons les représenter graphiquement à l'aide de flèches (représentation sagittale). Par exemples:

- La fig. 1 représente le même ensemble deux fois: il s'agit de la représentation d'une fonction dans un ensemble (le départ est aussi l'arrivée) : celui des caractères minuscules de l'alphabet. L'image de a est d, celle de b est e,etc. Cette fonction est une façon simple de coder un message (le rendre incompréhensible pour un lecteur non averti). Le mot 'fonction' serait codé 'irqfwlrq' (il suffit de "sauter" les deux lettres qui suivent celle que l'on veut coder: n o p q , donc n est codé avec la lettre q.
Remarque: nous pouvons ne dessiner qu'un seul ensemble A, mais dans ce cas le dessin est moins lisible.
- La fig. 2 représente une fonction qui fait le même travail, mais au lieu de coder avec des lettres, nous codons avec des nombres. L'ensemble de départ est l'alphabet des minuscules, celui d'arrivée les nombres entiers de 1 à 26 (il y a 26 lettres dans l'alphabet). Chaque entier est le rang de la lettre de code. Par exemple,l'image de a est 4, rang de d. Le mot 'fonction' serait codé '9 18 17 6 25 12 18 17' (les espaces entre chaque nombre sont nécessaires). Cette fois les deux ensembles sont différents.

Notez que dans ces exemples, chaque élément de l'ensemble de départ a une image, et chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent. Ce qui n'est pas toujours le cas.

III Notation fonctionnelle:

Pour simplifier les écritures, nous utilisons ce que nous appelons la notation fonctionnelle. Elle consiste à:
- donner un nom à la fonction: par exemple f, g, t,...
- choisir un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée.
- mettre en relation un élément quelconque x (qui est donc une variable) de l'ensemble de départ avec un élément y de l'ensemble d'arrivée.

Par exemple, nous pouvons décider que f désignera le fait que tout nombre x de l'ensemble A = {1,2,3,4,-1,-2,-3}a pour image y=x² dans l'ensemble B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}. C'est à dire qu'à chaque nombre x de A on associe le nombre y de B qui est égal au carré de x. Ce qui est représenté sur la figure suivante:

Dans le cadre la première ligne indique les ensembles concernés, ainsi que le sens d'application (de A vers B) de la fonction de nom f. La seconde ligne expose comment obtenir l'image y dans B, d'un élément x de A. Nous pouvons noter que y=x²=f(x) ou y=f(x).

Dans les calculs, par commodités, la notation f(x) = x² ou y=x² est très souvent utilisée. Elle se lit "f de x égale x²" et signifie que l'image de x par f est x² (ou y).

Dans cet exemple, x² est l'image de x. Autrement dit: x est l'antécédent de x².. Vous pouvez remarquer qu'un élément de B (ensemble d'arrivée) peut avoir plusieurs antécédents (nous sommes dans le cas où "plusieurs clés peuvent ouvrir la même serrure" voir plus haut)

V Variation d'une fonction numérique:

Une fonction est dite numérique lorsque les ensembles de départ et d'arrivée sont des ensembles de nombres.

Si nous chauffons une tige de métal, sa longueur augmente avec sa température: la longueur est fonction de la température. Lorsque la température augmente, la longueur de la tige augmente (et lorsque la température diminue, la longueur diminue) : cette fonction est croissante.
Soit une corde d'un cercle. La longueur de cette corde augmente lorsque sa distance au centre du cercle diminue et la longueur de la corde diminue lorsque sa distance au centre augmente : cette fonction est décroissante.

Une fonction f est croissante lorsque x et f(x) varient dans le même sens.
Une fonction f est décroissante lorsque x et f(x) varient en sens contraire.
Lorsque la valeur de la variable x passe de la valeur initiale x₁ à la valeur finale x₂, l'accroissement de la variable x est x₂-x₁ (valeur finale moins valeur initiale) et la valeur de f(x) passe de f(x₁) à f(x₂) ce qui correspond à un accroissement de la fonction de f(x₂)-f(x₁).

Croissance d'une fonction:

Si nous choisissons x₂ plus grand que x₁ alors l'accroissement x₂-x₁de la variable est positif.

Dans ce cas si f(x₂)>f(x₁) alors f(x₂)-f(x₁) est aussi positif alors la fonction considérée est croissante car les accroissements de x et f(x) sont de même signe (une augmentation correspond à une augmentation). Si f(x₂)<f(x₁) alors f(x₂)-f(x₁) est négatif : la fonction est décroissante (à une augmentation correspond une diminution).

Les résultats sont similaires si nous choisissons x₂ plus petit que x₁ : alors x₂-x₁est négatif.

Dans ce cas si f(x₂)>f(x₁) alors f(x₂)-f(x₁) est positif : la fonction considérée est décroissante. Si f(x₂)<f(x₁) alors f(x₂)-f(x₁) est négatif : la fonction considérée est croissante.
Considérons le signe du rapport: . Si ce rapport est positif alors la fonction est croissante (le numérateur et le dénominateur sont de même signe), sinon elle est décroissante.

Récapitulons:

Fonction croissante

Fonction décroissante

x₂>x₁ et f(x₂) > f(x₁) ou x₂- x₁ et f(x₂) - f(x₁) positifs

x₂< x₁ et f(x₂) < f(x₁) ou x₂-x₁ et f(x₂) - f(x₁) négatifs

est positif.

x₂>x₁ et f(x₂)< f(x₁) ou x₂>x₁ et f(x₂) < f(x₁)

soit : x₂- x₁ et f(x₂) - f(x₁) de signes différents

est négatif.

V Exemples de fonctions:

1. Fonctions géométriques:

- Dans le plan : les ensembles de départ et d'arrivée sont les mêmes; il s'agit d'ensembles de points. Nous en connaissons quelques unes: les symétries centrales et orthogonales, les translations. Nous les avons appelées transformations dans le plan.

- Dans l'espace : nous pouvons définir des symétries, des translations,... mais cette fois les ensembles de départ sont l'espace. Ces notions dépassent largement les programmes de géométrie du collège. Cependant, nous donnerons ici un exemple concernant l'établissement d'une carte du globe terrestre.
Une carte terrestre est un morceau de plan (rectangulaire le plus souvent) alors que le globe terrestre peut être assimilé à une sphère. Nous allons établir une relation entre les points d'une sphère et les points d'un plan de la manière suivante :

Une sphère de centre O est placé dans un cylindre de même diamètre. L'image d'un point S de la sphère est le point P de la face latérale du cylindre, obtenu par l'intersection de la demi droite [OS) avec la face latérale du cylindre.

Le point S est sur le parallèle, son image P est sur la face latérale du cylindre. Lorsque le point S parcourt le parallèle, son image P parcourt le cercle bleu tracé sur cette face du cylindre.

Après découpage et "mise à plat" de la face latérale du cylindre, le cercle bleu sur la face latérale du cylindre devient une droite sur le plan de la carte (figure ci dessus à droite). Il s'agit d'une projection cylindrique peu utilisée en cartographie car elle déforme beaucoup et de plus en plus après les parallèles de 40° Nord(représenté sur la figure par un petit "cercle" noir) et Sud.

2. Fonctions numériques:

Les ensembles de départ et d'arrivée sont des ensembles de nombres (entiers naturels ou relatifs, décimaux, rationnels, réels...).
Il est souvent impossible de représenter les ensembles de départ et d'arrivée comme au II et au III : les ensembles de nombres contiennent souvent une infinité d'éléments. C'est le cas dans les exemples suivants. Nous utilisons alors un système d'axes gradués: voir le document sur les repères

Exemple 1:

ensemble de départ : ensemble des nombres réels
ensemble d'arrivée : ensemble des nombres réels
La fonction est:

Il s'agit d'une fonction linéaire.

Ce type de fonction représente une proportionnalité, le coefficient (1/2 dans notre exemple) est un coefficient de proportionnalité. Pour plus d'infos sur les proportionnalités, voir le Répertoire.
La représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère . Il n'est donc nécessaire que de calculer la position d'un seul point de la droite représentative. Voir aussi le document sur les fonctions linéaires.

Exemple 2:

ensemble de départ : ensemble des nombres réels
ensemble d'arrivée : ensemble des nombres réels
La fonction est:
Il s'agit d'une fonction affine. Il nous faut calculer la position de deux points de la droite représentative. Voir aussi le document sur les fonctions affines.

Exemple 3 :

ensemble de départ : les nombres réels de 0 à 90.
ensemble d'arrivée : les nombres réels de 0 à 1.
La fonction est:

.
Nous utilisons ici un repère orthogonal gradué pour les abscisses, en degrés (1cm pour 10 degrés) et pour les ordonnées, les valeurs du cosinus (4cm pour 1):

Le cosinus de 60° (cos 60) est égal à 0,5 : ce qui est représenté par les lignes en pointillés rouges.