Auteur : WARME R.  

DOSSIER  ELEVE.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 21 / 25

 

DOCUMENTS  « ELEVE »

 

 

 

THALES:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                         

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

Leçon

Titre

N°21

PROPRIETE   de  THALES.

 

CHAPITRES :

 

 I  ) Propriété  de Thalès pour deux droites sécantes .

Cd :Info plus

 

II ) Propriété de Thalès pour un triangle .

Cd :Info 1 plus et Cd :Info 2 plus

 

III ) Utilisation de la propriété de Thalès .

Cd  :Info plus

 

 

 

COURS

 

 

 

i9  

I ) PROPRIETE  de Thalès pour deux droites sécantes .

Cd :Info plus

 

Propriété de  Thalès pour deux droites sécantes :

Des droites parallèles déterminent sur des droites  sécantes des  segments  proportionnels :

Voyons :

Sur la figure ci- dessous on a tracé trois droites , parallèles à la direction "delta" (symbole :  d   )coupant deux droites  D et D' ( non parallèles ).

A  à pour image A'  ; B à pour image  B' et  C à pour image C' .

 

 

F   Activités :

Nous considérons  les segments sur D :

Mesurer A B = …… ; BC = ……….; AC = ……….

Nous considérons  les segments sur D' :

Mesurer A' B' = …… ; B'C' = ……….; A' C ' = ……….

 

Il faut vérifier si  les rapports suivants sont égaux :     

 

Première vérification :

On calcule successivement  chaque rapport :

A partir des relevés précédents :

 

 

 

Deuxième vérification :

on vérifie que les rapports suivants forment une suite de rapports égaux  :

On calcule successivement  chaque rapport : ( recherche de la valeur décimale)

A partir des relevés précédents :

 

 

 

 

Bilan :  L ' égalité  de ces rapports permet de prétendre que les segments [ A' B'] , [B' C']  et [ A' C' ]  sont proportionnels  aux segments [ A B] , [B C]  et [ A C ]  .

 

Ainsi la propriété de  Thalès pour deux droites sécantes :

Des droites parallèles déterminent sur des droites  sécantes des  segments  proportionnels :

 

 

 

 

 

 

i9

II )  Propriété de Thalès pour un triangle .

Cd :Info plus

 

Propriété :

 

 

Si   dans un triangle  A BC ,        une parallèle à un segment

     [ BC]   coupe un segment       [ AB]   en M et un segment 

   [  AC ] en  un point N  alors on a

       

F Activité :

a)       Soit un triangle rectangle ABC , quelconque . avec AB = 3 cm , AC = 4,5 cm  ,

Placer le point M à 2 cm de A .Construire  la  parallèle à [ BC ]  passant par M ; elle coupe  le segment [ AC]  en N .

 

b) Mesurer la longueur du segment  AN ( mesure est en cm .) : AN = ……cm

 

c) Vérifier que :

 

premier rapport :  

 

deuxième rapport : 

 

Ces deux rapports sont égaux  parce que :…………………………

Vérifier que le résultat   est égale aux rapports

 

 

En conclusion : les droites sécantes forment deux triangles : ANM et ACB

 

D'après  la propriété de Thalès :

On peut écrire :  ce qui peut s'écrire , par transformation :

 

 

Si   dans un triangle  A BC , une parallèle à un segment 

   [ BC]   coupe un segment       [ AB]   en M et un segment

  [ AC ] en  un point N  alors on a 

 

       

 

 

i9

III )  Utilisation de la propriété de Thalès .

Cd :Info plus

 

 

F Activité 1 : Dans un triangle  ABC , la droite ( MN ) est parallèle à la droite ( BC ).

On a : AB = 5 cm ; AC = 8 cm  et AM= 3 cm .

Il est demandé de calculer la longueur du segment AN .

Solution :

La propriété de Thalès nous permet d'écrire :  

                                             

Les données sont : AN = ……..; AM = ………;NC = ……..; MB = ……..; AC = ……..; AB = ……….

(AN = ? ; AM = 3   ;NC =  ? ; MB = 2  = ( 5 - 3 ) ; AC = 8  ; AB =  5 )

On remplace :

                                           

  On retient  que :

                                                  

 

Calcul : ( voir le produit en croix )     ; AN =  24 :  5 ; AN = 4,8

 

F Activité N° 2 :

On donne trois parallèles  coupent deux droites sécantes . On a AB = 10 cm , BC = 12 cm  et B'C' = 15 cm . On demande de  trouver par le calcul  A' B' .

Solution :

D'après la propriété de  Thalès  , on peut écrire :

                                             

Les données sont :

       AB = 10 ; A'B' = ? ; BC = 12 ; B' C' = 15 ; AC = 22  ; ( 10 +12) ; A'D' =  (A'B' + 15) ;

 

On remplace :

                                           

On  cherche A'B' , on retient deux rapports dont on connaît  3 valeurs sur 4 .

 

   ;    ;

 

A' B' = 150 : 12  ;

 

 

donc              A' B' =  12,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i9

IV )   Généralisations :

CD INFO ++

 

 

Cas n°1

 

Cas n°2

 

 

Cas n°3

 

 

 

 

Appliquons le théorème de Thalès 3 droites parallèles ( d) , (d ’)  et ( d ’’) coupées par deux droites sécantes ( D) et (D’) 

 

                                         

 

De même pour ( d) , (d ’)  et ( d ’’) coupées par deux droites sécantes ( D) et (D’) 

Et                                             

 

 cela implique que :            

 

 

Mais on a aussi :    =   

 

 

  = 

 

 

 

On retiendra  que :

 

          

    Des parallèles découpent  sur 2 sécantes des segments correspondants proportionnels .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VOIR : les travaux auto – formatifs.

 

 

 

 

 

 

 

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