PREMIER DEGRE

 

En mathématiques, une égalité est une relation contenant un signe égal :  « = ».

Il signifie que les grandeurs situées à gauche (premier membre) ainsi qu’à droite (second membre) sont équivalentes (ou égales)

 

 

REGLES GENERALES DE TRANSFORMATIONS D’UNE EGALITE

                                                                     

Pour transformer une égalité en mathématiques on a le droit d’additionner, de soustraire, de diviser ( nombre non nul ), ou de multiplier par un même nombre les deux membres de l’égalité.

 

Exemple :                                2 = 2

J’ajoute 3 aux deux membres : 2+3=2+3

L’égalité devient :                     5 = 5  ect ............

 

 

équation du premier degré à une inconnue

 

Définition :Une équation possédant une inconnue ( "x" généralement ) est une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur donnée à cette inconnue .

Le signe " = " sépare les deux "membres"d'une équation. Elle est du premier degré lorsque la puissance de l’inconnue est 1 au maximum.

 

Exemple : 3x + 2 = 7……

 

Rappel : lorsqu’il n’y a pas de signe d’opération entre une lettre et un nombre, c’est le signe multiplié qui est sous entendu :

 

3x+2 : signifie je prends un nombre « x » je le multiplie par 3 et j’ajoute 2 au résultat.

 

Par définition, la solution d’une équation est le nombre qui substitué à la lettre permet à l’égalité d’être vérifiée.

 

Exemple x=7 est la solution de l’équation 2x-3 = -x + 18 car :

 

Pour x=7              2x-3 = 2×7 – 3 = 14 – 3 = 11

                            -x + 18 = -7 + 18 = 11

Pour x = 7 on a 2x-3 = -x + 18 qui est vérifiée, x=7 est donc solution de cette équation

 

Une équation du premier degré possède  une solution unique lorsqu’elle existe.

 

 

 

 

RESOLUTION D’UNE EQUATION DU PREMIER DEGRE

 

Pour résoudre une équation, il faut isoler l’inconnue « x » dans l’un des membres de l’égalité ( il faut que le « x » soit seul ). Pour le faire on effectue les mêmes opérations sur les deux membres de l’égalité.

 

Exemples

                         x + 5 = 12

 

Pour résoudre cette équation il faut « supprimer » le « +5 ». Pour le faire on va soustraire 5 ( ou ajouter -5) aux deux membres de l’égalité :

x+ 5 + (-5) = 12 + (-5)

Ensuite on fait les calculs dans chaque membre :

x = 7

L’équation est résolue car le « x » est isolé.

 

Vérification :         Pour x = 7 : x+5 = 7 + 5 = 12 : l’égalité est vérifiée.

                  

               3x + 8 = 4

Pour résoudre cette équation, il faut « supprimer » le +8 en ajoutant (-8) aux deux membres puis « supprimer » le 3 devant le x en divisant par 3 ( ou en multipliant par 1/3) les deux membres de l’égalité :

3x + 8 + (-8) = 4 + (-8)

 

 

L’équation devient :

                            3x = -4

On effectue ensuite la seconde opération :

 

                            (1/3)×3x = -4 ×(1/3)

Ainsi                     x = -4/3 : L’équation est résolue.

 

 

ƒ               3x – 8 = 4x – 2

 

Dans ce type d’équation, l’inconnue « x » apparaît dans les deux membres de l’égalité. Il faut donc dans un premier temps regrouper les x dans un des membres de l’égalité. Si je choisis de les supprimer à droite, il faut supprimer 4x en ajoutant (-4x) aux deux membres :

 

                            (-4x) + 3x – 8 = 4x – 2 + (-4x)

 

On obtient alors :  -x – 8 = - 2, la résolution se termine en ajoutant 8 aux deux membres et en multipliant par (-1). On trouve alors :  x = - 6.

 

 

F Exercice : En vous inspirant de ces exemples faîtes les exercices suivants :

          

  x - 2=8               x - 5 = 60               x - 15 = -20                   x - 12 = 13           x -8 = 8

 

2 – x = 8               15 - x = 60            -5-x = -20             -13 - x = 13          

 

 

 

 

 


Résoudre un  problème mathématique à l'aide d'une équation du premier degré .

 

Un problème posé par une situation, notamment commerciale ou professionnelle , peut se traduire par une équation .

 

Pour résoudre un problème, on doit respecter l'ordre de procédure suivant :

 

Œ Choix de la ou des inconnues : après avoir lu et analysé l'énoncé, choisir une inconnue.

 

 Mise en équation : établir l'équation traduisant la situation étudiée.

 

Ž Résolution de équation , ou d’un système d’équations du premier degré à 1 ou 2 inconnues .

 

Discussion du problème  :  énoncer le résultat en rédigeant  une phrase et vérifier si ce résultat est conforme au problème posé .  

 

Essayer de trouver la solution des exemples suivants seul, si vous n'y parvenez pas regarder les étapes une à une.

 

Exemple n°1 :   Un rectangle a les caractéristiques suivantes :

Son périmètre  mesure   80 m ; sa longueur est le triple de sa largeur .

Calculer  sa longueur et sa largeur .

 

Œ Nommons "x" la largeur du rectangle .  l = x

 

 En fonction de "x" : la longueur du rectangle est   L = 3x

 

Si on fait un schéma :

 

Le périmètre est donc égal en fonction de x à

P = 3x + x + 3x + x = 8x

Ž Equation à résoudre : 80 = 8 x   ( on divise par 8 les deux membres)

on obtient  x = 10

 

 La largeur du rectangle est de 10 m ; la longueur du rectangle est de 3 fois 10 m soit 30 m.

 

 

vérification : P rectangle = 2 ( L + l )  =  2 ( 30 + 10 ) = 2 ( 40) = 80

 

 

Exemple n°2 : Trouver 3 nombres entiers pairs consécutifs dont la somme est égale à 36 . Donner la valeur du premier nombre.

ΠOn choisi "x" le premier nombre .

 

 Les deux autres nombres sont  "x + 2"  et " (x+2) + 2 = x +4"

l'énoncé se traduit par l'équation : x +  (x+2)  + (x +4) = 36

soit  x + x +x +2 + 4 = 36   ;   3x + 6 = 36

 

Ž Résolution  de l'équation :

  3x + 6 = 36     ; ( on ajoute -6 aux deux membres)

  3x + 6  - 6  =   36 - 6  ;

  3x = 30    ( on divise les deux membres par 3)

   x = 10

  Conclusion : le premier nombre pair est " 10"

Le deuxième nombre est 10 + 2  soit 12 ; le troisième nombre est 12 + 2 = 14

vérification :  10 + 12 + 14 est bien égal à 36 ; donc les trois nombres entiers pairs consécutifs sont  10 ; 12 ; 14 .

 

Exemple n°3 : Un ouvrier met 15 minutes pour usiner  une pièce.Pour aménager et préparer le poste de travail en début de semaine,il faut prévoir 3h 45 mn. Combien de pièces peut-il usiner  sur une semaine de 35 heures ?

Prendre "x" le nombre de pièces.( transformer la durée en nombre décimal)

 

Œ L'inconnue "x" est le nombre de pièces usinées.

 

 On met le temps sous forme décimale : 15 mn = 0, 25 h : 3h 45 = 3,75 h; 35 h ne change pas = 35 h

Mise en équation : 0,25 x  + 3,75 = 35

Ž Résolution de l'équation :

0,25 x  + 3,75 = 35

0,25 x    = 35  - 3,75  (On ajoute -3,75 aux deux membres)

0,25 x = 31,25      ( on divise 31,25 par 0,25 )

  x  =

  x = 125

 

 Le nombre de pièces usiner en une semaine sera de 125 pièces .


EXERCICES ET PROBLEMES D’APPLICATION

 

1°) Résoudre les équations suivantes 

 

1  x   =  7    5  x  = 45    5+ x = 45    5 - x = 45    x -5 = 45     =          =

=          =               = 8               =2          

 

4(x-7) = 32           7x-4 = 8x + 2                 2(x-3) + 8x = 5( x – 2)   

 

 

Problèmes

 

+Consigne : Forcez vous à reprendre les 4 points qui permettent de mettre un problème en équation même si la solution est trouvable mentalement.

 

1°) Un rectangle a les caractéristiques suivantes :

Son périmètre  mesure   120 m ; sa longueur est le quadruple de sa largeur .

Calculer  sa longueur et sa largeur .

 

2°) Trouver 3 nombres entiers pairs consécutifs dont la somme est égale à 36 . Donner la valeur du premier nombre.

 

3°) Une ouvrier met 15 minutes pour usiner  une pièce , pour aménager et préparer le poste de travail il faut prévoir 3h 45 mn. Combien de pièces peut-il usiner  sur une semaine de 35 heures ?

Prendre "x" le nombre de pièces.

4°) Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 1884 .( prendre pour inconnue , le plus petit nombre.

 

5°) Trouver  3  nombres  multiples de 3 consécutifs  dont la somme est   27

Prendre pour inconnue le plus petit nombre .

 

6°) Trouver 5 nombres entiers impairs consécutifs dont la somme est  75.

 

7°) Trouver 13  nombres consécutifs dont la somme est 2457 .

 

8°) Quel nombre faut-il multiplier 34 pour obtenir  25 ?

 


Problèmes supplémentaires

 

1°)   Le réservoir d'une voiture est au  deux cinquièmes  rempli . Il faut ajouter 38 litres  de carburant pour le remplir entièrement . Quelle est la contenance de ce réservoir ?

 

2°)  Le réservoir  d'un voiture est vide aux deux tiers . On ajoute  30  litres de carburant pour le remplir   aux trois quarts . Quelle est la contenance du réservoir ?

 

3°) La largeur d'un rectangle  est le tiers de sa longueur et le périmètre mesure 48 m . Calculer les dimensions de ce rectangle . ( 6 et 18 m)

 

4°) La longueur d'un rectangle surpasse de   10 m sa largeur . Le périmètre est de 120 m .Calculer les dimensions de ce rectangle . ( 25 et 35 m)

 

5°) Le 1er janvier 1997 la population  de la France  a été estimée à 58 494 000 habitants  se répartissent  en 30 017 000 femmes et 28 477 000 hommes.

Quel pourcentage de la population les femmes et les hommes représentent - ils ?

 

6°)  Augmenter un nombre de x % , c'est multiplier ce nombre par  ( 1 + ) ou ( 1 + 0,01x )

Pour calculer  le pourcentage  d'augmentation du prix d'un objet qui passe de  34 à 39,5 € , on écrit : 39,5 = 34 ( 1 + 0,01 x)

Ecrire cette équation sous la forme ax + b = c , puis la résoudre ( arrondir à 0,01 près  , ou à 2 décimales).

Enoncer le résultat sous forme  d'une phrase .

 

7°) Calculer le pourcentage d'augmentation de la population d'un village qui passe de 3764 habitants à 3978 .

 

8°) Un centre de formation organise un voyage .Le transporteur propose un prix global correspondant à  160 €  par personne . Si le nombre de personnes augmente de 5 , on passe pour le même prix  global , à 120 € par personne.

Combien de personnes participent au voyage ?

 

9°)  La durée de fabrication d'une pièce est de 6,50 mn.

Au cours d'une journée de 8 h , combien peut-on fabriquer de pièces sachant qu'il faut compter 1 h 30 mn pour le réglage la machine et l'affûtage de l'outil et l'approvisionnement .

 

 

 

 

 

 

 

 

10°)

ABC est un triangle équilatéral de côté  6 cm On place sur le côté  [BC] le point M tel que BM = d.

1°) Calculer la hauteur du triangle ABC , puis l'aire du triangle .

2°) Où doit -on placer le point M pour que l'aire du triangle AMC soit égale à 10?

 

 

 

 

11°)

On veut découper dans une plaque carrée de 0 cm de côté un octogone régulier de côté "x".

a)     Sachant que chaque triangle hachuré est un triangle rectangle isocèle , déterminé la mesure de chacun de leurs angles aigus .

b)    Calculer la longueur  AB en fonction de "x" , puis la longueur "x".

 

12°)

Dans une pièce rectangulaire de 2 m de longueur et de 1 m de large , on effectue une découpe de forme rectangulaire comme l'indique la figure ci -dessous.

Donner l'expression de l'aire de la partie restante en fonction de "x".

Calculer "x" pour que l'aire de la partie restante  soit 1,25 m².

 

13°)

On considère un trapèze ABCD.

Vérifier que l'aire du trapèze peut s'écrire :A = 8,5 x

Calculer "x" pour que l'aire du trapèze soit égale à 172,2 cm² ( arrondie à deux décimales)

 

14°)

Un triangle a les dimensions ( en m) indiquées sur la figure .

Exprimer le périmètre du triangle en fonction de "x".

Calculer "x" pour que le périmètre  soit égal à 30 m . En déduire les dimensions du triangle .

 

15°)

Montrer que l'expression de l'aire du trapèze rectangle en fonction de "x" est :

 A = 4 x + 60

Calculer "x" pour que l'aire du trapèze rectangle soit égale à 200 cm² . Pour cela , résoudre l'équation : 4x + 60 = 200

 


 

Représentation graphique de deux grandeurs – Equation de droite

Pour repérer un point dans un plan, on utilise deux axes perpendiculaires sécants en O et gradués de la même façon.

O est l'origine du repère.

L'axe (OI) horizontal munit du segment unitaire [OI] est appelé "axe des abscisses"

On note également cet axe (x'Ox) ( lire "x prime O x").

L'axe vertical (OJ)  vertical munit du segment unitaire [OJ] est appelé "axe des ordonnées".

On note également cet axe (y'Oy) ( lire " y prime O y" ).

Dans ce repère  ( O,I,J )  du plan, chaque point  M tel que « M » est repéré par ses coordonnées :

·        son abscisse  notée  : x M 

·        son ordonnée notée : y M  .

(x M   et   y M  sont des nombres relatifs ).

On notera :     M (x M ; y M)


Les coordonnées  d’un point  dans un repère  du plan  sont des nombres relatifs ; ils peuvent être positifs ou négatifs.

Exemple :

 

Points

Abscisse

Ordonnée

Coordonnées

M

xM = + 3

yM  = +2,5

M ( 3; 2,5)

P

xP = -4

yP  =  +2

P ( -4 ; +2 )

N

xN = -3,5

yN = -2

N ( -3,5 ; -2)

R

xR = +2

yR =   -1,5

R ( 2 ; -1,5)


Un plan peut être divisé en quatre parties ou quadrants .

On identifie la position d'un point dans un quadrant précis grâce aux signes des valeurs des coordonnées de ce point :


 

FExercice n°1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Placer les points suivants dans le repère ci dessus :

A( 2; -2 )     B( 3 ; -3 )    C ( -1 ; 0 )   D (-1 ; -1 )   E ( 4,5 ; 8)   F (-3,5 ; -2 )

G ( 4 ; -4 )   H( 2,5 ; -6,5  )                L ( -1,5 ; 3,5 )                 M ( 1,25 ; 2)         N ( 5 ; -5 )


 

REPRESENTATION GRAPHIQUE D'UNE GRANDEUR EN FONCTION D'UNE AUTRE

 

Principe : Il s'agit de représenter dans un repère des points dont les coordonnées sont constituées des valeurs prises par chacune des deux grandeurs.

Les valeurs d'une des grandeurs constitueront les valeurs de l'abscisse de chaque point et les valeurs correspondantes de l'autre grandeur constitueront les valeurs de l'ordonnée de chaque point.

 

FExercice

 

Temps (min)

1

2

3

4

5

Quantité d'eau (L)

0,9

1,8

2,7

3,6

4,5

Ce tableau regroupe la quantité d'eau exprimée en litre qui s'écoule d'un robinet en fonction du temps exprimé en minutes

Représenter graphiquement les deux grandeurs en prenant pour abscisse du point, le temps et pour ordonnée, la quantité d'eau correspondante

 

Unités graphiques :                   Axe des abscisses :   1 cm représente 1 min

                                      Axe des ordonnées : 1 cm représente 1 L

FExercice

 

Un test d'effort sur tapis roulant permet de déterminer la consommation d'oxygène VO2 en litres par minutes en fonction de la vitesse (km/h).

Les données sont regroupées dans le tableau suivant :

 

V (km/h)

15

16

17

18

19

20

VO2(L/min)

2,9

3,2

3,5

3,8

4,1

4,4

 

Représenter ces deux grandeurs dans le repère suivant :

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FExercice

 

Dans une revue automobile, on a relevé la courbe de freinage d'un Roadster :

1°) Quelle est la vitesse à ne pas dépasser pour s'arrêter en moins de 50 m.

 

2°) Quelle est la distance de freinage à partir s'une vitesse de 40 km/h, 60 km/h, 160 km/h.

 

3°) Compléter le tableau suivant :

 

V(km/h)

 

100

 

 

125

150

Distance
d'arrêt(m)

20

 

80

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EQUATION DE DROITE

 

Dans la plupart des exercices précédents, vous pouvez constater que la représentation graphique de deux grandeurs est une droite. Lorsque tel est le cas, il existe alors une relation entre l’abscisse x et l’ordonnée y des points situés sur la droite. Cette relation est de la forme y = ax + b.

Déterminer l’équation d’une droite, c’est calculer les valeurs de a et b.

Le coefficient a est appelé le coefficient directeur de la droite car c’est ce coefficient qui donne la direction de la droite. Le coefficient b est appelé l’ordonnée à l’origine car lorsque x=0 dans y=ax+b on retrouve y = b.

 

Méthode de calcul de a et b

 

Les formules qui permettent de calculer a et b seront démontrées dans les paragraphes suivants.

 

Si une droite passe par A(xA ;yA) et B(xB ;yB) alors on a :

 

 et

 

Exemple : Quelle est l’équation de la droite passant par les points A(2 ; 3 ) et B( -1 ; 5 ) ?

 

En appliquant les formules :

L’équation de la droite (AB) est

 

Vérification : les coordonnées de A et B doivent vérifier cette relation, en remplaçant x dans l’équation o doit retrouver la valeur de y pour chacun des deux points.

 

Pour A :  , pour x = 2 on retrouve bien y = 3

Pour B :  , pour x = -1 on retrouve bien y = 5

 

Pour représenter graphiquement cette droite on place les points A er B dans un repère et on trace la droite :

Pour tracer sur un graphique une droite dont on connaît l’équation, il suffit d’utiliser l’équation de cette droite pour calculer les coordonnées de deux points.

 

FExercices

 

1°) Déterminer l’équation des droites passant par les points suivants :

o       A( 5 ; 3 )         B(-1 ; -2 )

o       C(1/2 ; -2/3)     D(0 ; 1)

o       E(0 ;0)   F(-2/5 ; 6)

 

 

 

2°) Dans un repère ayant pour unités graphiques 1 carreau pour 1 unité en abscisse, 1 carreau pour 1 unité en ordonnées et pour -10 < x < 10 , -10 < y < 10 Tracer le droites d’équations suivantes :

D1 : y = 2x   D2 : y = -x + 8                D3 : y = 5x -2                 D4 : 2y +3x -3 = 0

 

 

A retenir :

o       Deux droites dont les coefficients directeurs sont égaux sont parallèles

o       Deux droites dont le produit des coefficients directeurs est égal  -1 sont perpendiculaires.

o        

 

RESOLUTION D’UN SYSTEME DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES

 

Dans ce cours est présenté trois méthodes de résolution d'un système de deux d'équations à deux inconnues.

En général on note x et y les inconnues.

Un système d'équation sert à résoudre des problèmes du premier degré dans lesquels deux solutions sont à déterminer.

 

Résoudre le système d'équation d'inconnues x et y suivant : (par exemple) consiste à trouver les valeurs de x et y qui soient solutions des  deux équations du système en même temps. La solution du système est notée ( valeur de x ; valeur de y )

 

Il existe (entre autres) quatre méthodes de résolution :

§        Méthode dite de "substitution"

§        Méthode dite de "combinaison"

§        Méthode des déterminants

§        Méthode dite "graphique"


 

METHODE DE SUBSTITUTION

 

Reprenons l'exemple précédent :

 

 

Cette méthode consiste à exprimer à l'aide de l'équation(1) y en fonction de x et de remplacer y par son expression en fonction de x dans l'équation(2). On ramène ainsi l'équation (2) à une équation du premier degré d'inconnue x que l'on peut résoudre.

 

 Transformation de l'équation(1) :

 

2x + y = -5  ð y = - 5 - 2x  Equation(1)

 

‚Remplacement de l'équation(1) dans l'équation(2) et résolution de l'équation (2)

 

7x + 2 (-5 - 2x ) = 3

7x -10 - 4x = 3

3x - 10 = 3 donc

ƒRemplacement de la valeur de x trouvée dans l'Equation(1) transformée

 

¯

 

La solution du système est :

„Vérification de la solution

 

Vérification pour l'équation (1) :

L'équation (1) est vérifiée pour

Vérification pour l'équation (2) :

 

L'équation(2) est vérifiée pour

 

La solution du système est :


 

METHODE DE COMBINAISON

 

Cette méthode consiste à multiplier les équations par des nombres choisis de manière à ce que les coefficients d'une inconnue soient opposés, puis on additionne membre à membre les deux équations obtenues. On obtient ainsi une équation du premier degré à une inconnue que l'on résout pour trouver la valeur d'une inconnue.

Avec le système choisis au départ :

 

On choisit de déterminer x , on veut éliminer y en additionnant membre à membre les deux équations pour cela on multiplie l'équation (1) par (-2)

 

ð

 

On additionne les deux équations précédentes membre à membre, puis on résout l'équation en x :

-4x + (-2y) + 7x + 2y = 10 + 3

3x = 13

Pour déterminer la valeur de y on remplace x par dans une des deux équations.

Par exemple l'équation (1) :  donc : La solution de ce système est donc :

 

METHODE DES DETERMINANTS

 

Exemple :  

·        On calcule le déterminant principal D, il est constitué des coefficients devant x et y écris en colonne tels qu’ils se présentent dans le systèmes. Pour calculer la valeur de ce déterminant, on fait un produit en crois et on soustrait les deux valeus ( toujours en commençant par la gauche ):

·         

 

 

·        On calcule ensuite le déterminant de x,  Dx , on remplace les coefficients devant x dans D par les seconds membres :

 

 

Ensuite on calcule x de la façon suivante : 

 

·        On calcule le déterminant de y, Dy, on remplace dans D les coefficients de y par les seconds membres, le principe de calcul est le même :

 

         Ainsi                                              

Ainsi la solution du système est : .

 

METHODE GRAPHIQUE

 

On considère dans cette méthode les deux équations comme deux équations de droites.

Soit le système :

On écrit ensuite les deux équation de ce système sous la forme plus classique d'une équation de droite ( de la forme y = ax + b )

 

Ce système devient :

 

On trace ensuite ces deux droites dans un repère convenablement choisi :

 

La droite d'équation (1) passe par les points de coordonnées (0 ; 0 ) et (4 ; -2 )

La droite d'équation (2) passe par les points de coordonnées (0 ; 5 ) et ( 3 ; -4 )

 

Les coordonnées du point d'intersection des 2 droites donne ainsi la solution du système d'équation soit

 

(2 ; -1 )
Vérification :         Equation (1) : 2 + 2
´(-1) = 2 -2 = 0

                   Equation (2) : 3´2 + (-1) = 6 - 1 = 5

 

 

 

FExercices

)Résoudre les systèmes suivants par substitution ou combinaison :

 

 

)Résoudre par la méthode des déterminants les systèmes suivants

 

 

)Pour un concert de Jazz, les places valent 7 € ou 13 €.

Une association a acheté 32 places pour un montant total de 272 €

Combien de places de chaque sorte l'association a t-elle acheté ?

 

)Pour se rendre d'une ville A a une ville B, un automobiliste emprunte successivement l'autoroute et la route.

La distance totale parcourue est de 450 km.

La vitesse moyenne sur autoroute est de 120 km/h ; la vitesse moyenne sur route est de 80 km/h.

Le trajet total s'effectue en 4 heures.

a)  On désigne par x la distance parcourue en km sur autoroute. Montrer que la durée t1 ( en heure) du parcours sur autoroute est donnée par :

 On rappelle que la distance d parcourue pendant le temps t à une vitesse moyenne v est donnée par la relation :  

d =vt

 

b) On désigne par y la distance parcourue en km sur route. Déterminer l'expression de la durée t2 ( en heures) du parcours sur route.

 

c) Résoudre le système :

 

En déduire les distances parcourues sur la route et sur l'autoroute par l'automobiliste.

 

Les inéquations

 

INEQUATIONS A UNE INCONNUE DU PREMIER DEGRE

 

Définition

 

Une inéquation est une relation d'ordre mathématique qui comprend une inconnue en général notée x. Elle comprend les sigles suivants :

 

 

Elle est du premier degré lorsque la puissance de x ne dépasse pas 1

 

4x - 1

>

x + 2

premier
membre

 

second
membre

Exemple :

 

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour que l'inéquation soit vérifiée.
Ces valeurs sont les solutions de l'inéquation.

Exemple

·         Si x = 0, alors le premier membre vaut: 4 * 0 - 1 = 0 - 1 = -1
et le second membre vaut: 0 + 2 = 2.

Comme -1 > 2 est faux, alors 0 n'est pas solution de l'inéquation.

·         Si x = 3, alors le premier membre vaut: 4 * 3 - 1 = 12 - 1 = 11
et le second membre vaut: 3 + 2 = 5.

Comme 11 > 5 est vrai, alors 3 est une solution de l'inéquation.

On remarque qu'il y a une infinité de solutions possibles. On parlera donc d'ensemble de solutions.

Pour trouver les solutions d'une inéquation, la méthode suivante est utilisée.

 

· Méthode de résolution

 

Objectif :  "Isoler x" dans un membre (généralement le premier membre).

 

Procédé :  Transformer l'inéquation à l'aide des règles 1 ,2 et 3 énumérées ci après.

 

Une inéquation a les mêmes solutions que toutes les inéquations obtenues:

 

·         R1: En ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de l'inéquation:

Si   a < b   alors   a + c < b + c   (ex: a + 5 < b + 5)
              alors   a - c < b - c   (ex: a - 5 < b - 5)

·        R2: En multipliant ou en divisant par un même nombre positif non nul les deux membres de l'inéquation:

Si   a > b   et   c > 0   alors   a * c > b * c   (ex: a * 3 > b * 3)
                               alors   a / c > b / c   (ex: a / 3 > b / 3)

·        R3: En multipliant ou en divisant par un même nombre négatif non nul les deux membres de l'inéquation et en changeant le sens de l'inégalité:

Si   a > b et   c < 0   alors   a * c < b * c   (ex: a * (-4) < b * (-4))
                             alors   a / c < b / c   (ex: a / (-4) < b / (-4))

Exemple :

Résoudre l'inéquation :       4x - 1 > x + 2

 

• On regroupe les "termes en x" dans le premier membre à l'aide de R1: (on retranche x)

4x - 1 - x > x + 2 - x
On réduit :         3x - 1 > 2                               

 

• On regroupe les "termes sans x" dans le second membre à l'aide de R1: (on ajoute 1)

3x - 1 + 1 > 2 + 1
On réduit :            3x > 3                       

 

• On "isole x" à l'aide de R2: (on divise par 3 dans les deux membres)

3x / 3 > 3 / 3
On réduit :       x > 1                      

Les solutions sont tous les nombres strictement plus grand que 1.

 

On note également l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle dans ce cas cet intervalle est : ] 1 ;  + ¥ [  ( "+ ¥ " se lit "plus l'infini", ce sont tous les nombres positifs très grands ).

 

 

 

 

 

 

* Précisions sur la notations des intervalles de nombres :

 


[ 2 ; 5 ] : intervalle 2 ; 5 fermé  ce sont tous les nombres x tels que :

 

[ 2 ; 5 [ : intervalle 2 fermé ; 5 ouvert ce sont tous les nombres x tels que :

 

] 2 ; 5 [ : intervalle 2 ; 5 ouvert, ce sont tous les nombres x tels que :


] - ∞ ; 2 ] : ce sont tous les nombres x tels que

] - ∞ ; 2 [ : ce sont tous les nombres x tels que :

 

[ 2 ; + ∞ [ : ce sont tous les nombres x tels que :

 

] 2 ; + ∞ [ : ce sont tous les nombres x tels que :


 

FExercice

Donner les solutions des inéquations suivantes sous forme d'intervalle :

5x + 2 > -x -4                 3x + 8 > 5             -4x + 2 > 0           7x -4 < 18

Donner les résultats sous forme d’intervalles.

 

 

 

 

 

 

 

 


 

SYSTEMES D'INEQUATIONS A DEUX INCONNUES

 

Un systèmes d'inéquations à deux inconnues x et y est tel que :

Résoudre un tel système consiste à trouver toutes les valeurs de x et y qui vérifient à la fois les deux inéquations.

Pour résoudre un tel système on utilise une méthode graphique.

On exprime les deux inéquations en isolant y dans un membre :



 


Le système est donc équivalent à :

Dans le cas où  y = 2x - 8 l'ensemble des couples solutions (x ; y) sont  graphiquement situés sur la droite d'équation y = 2x - 8.

Ainsi l'ensemble des solutions de l'inéquation est constitué par l'ensemble des points dont les coordonnées sont situés au dessous de la droite d'équation y = 2x - 8

 

De la même façon, les solutions de l'inéquation sont situés au dessus de la droite d'équation .

Les solutions du système sont donc constituées des coordonnées (x ; y )  des points situés à l'intersection des zones énumérées ci-dessus.

Cela se traduit donc graphiquement par la zone hachurée ci-après :

 

 

 

 

On constate donc graphiquement que cette zone commence au point d'intersection des deux droites.

 

 


FExercices

 

)Résoudre graphiquement les systèmes d'inéquations proposés. Colorier les zones solutions des systèmes.

 

 

                    

 

)Une entreprise fabrique des objets de type A et des objets de type B. La réalisation d'un objet du type A demande 30 euros de matière première et 125 euros de main-d'œuvre.

La réalisation d'un objet du type B demande 70 euros de matière première et 75 euros de main-d'œuvre.

On note x le nombre d'objets du type A fa­briqués en une journée et y le nombre d'ob­jets du type B fabriqués en une journée. La dépense journalière en matière première ne doit pas dépasser 560 euros.

La dépense journalière en main-d'œuvre ne doit pas dépasser 1 250 euros.

 

          a) Écrire les inéquations que doivent satis­faire les entiers x et y.

 

          b) Le plan est rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 0,5 cm. Résoudre graphiquement le système :

          c) Est-il possible de fabriquer en une journée :

                            5 objets du type A et 5 objets du type B ?

                            8 objets du type A et 4 objets du type B ?

 

3°) Un véhicule a été affrété pour le transport de marchandises.

Les caractéristiques du véhicule sont les suivantes :

volume utile: 18 m3; charge utile : 6 tonnes.

 

On veut transporter x colis du type A (75 cm x 50 cm x 40 cm) de 60 kg et y colis du type B (60cm x 50cm x 40cm) de 30 kg gerbables.

 

         a) Montrer que les contraintes de charge et de volume se traduisent par les inéquations:

               

          b)Le plan est rapporté à un repère ortho­gonal.

Unités graphiques : en abscisse : 1 cm pour 10; en ordonnée :1 cm pour 20.

 

          Tracer les droites D1 et D2 d'équations:

D1 : y = -2x + 200 ; D2 : y = (-5/4)x + 150

 

          c)      Résoudre graphiquement le système obtenu à la question

                   Indiquer si les conditions de chargement suivantes sont possibles :

- 50 colis du type A et 80 colis du type B.

- 80 colis du type A et 50 colis du type B.

(D'après un sujet de Bac)