CALCUL LITTERAL
L’objectif de ce chapitre est de revoir tous les mécanismes opératoires et les propriétés des opérations, d’aborder la notion de variable, de gérer une formule littérale.
RAPPELS DE CALCULS NUMERIQUES
Les ensembles de nombres en mathématiques sont les suivants :
N : ensemble des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; ......etc...........
Z : ensemble des entiers relatifs : ......-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.......etc.....
D : ensemble des nombres décimaux : -1,8 ; 2,7 ; ............etc....
Q : ensemble des nombres rationnels : on peut les écrire comme le rapport de deux nombres entiers relatifs : 2/3 ; -5/6 .........
R : Ensemble des nombres réels
Avec le développement de la
géométrie est apparu le besoin de créer de nouveaux nombres. Ainsi, la longueur
de la diagonale d’un carré dont le côté mesure une unité ne peut s’exprimer à
l’aide d’une fraction. Cette longueur est égale à la racine carrée de 2 de
symbole 
,Multipliée par elle-même, cette valeur vaut 2. De même, le
quotient de la circonférence d’un cercle par son diamètre n’est pas un nombre
rationnel, mais vaut pi = 3,1415... Ces nombres sont dits irrationnels.
La réunion de l’ensemble des nombres rationnels et de l’ensemble des irrationnels constitue l’ensemble des nombres réels.
Un même nombre peut avoir plusieurs écriture possibles :
Calculs avec des nombres réels
Pour pouvoir faire du calcul littéral, il est important de savoir transformer correctement une suite d’addition et de soustraction en somme algébrique :
Exemple : 
Plusieurs règles sont à connaître avant de se lancer dans le calcul, en voici quelques rappels :
- Les écritures équivalentes de fractions :
- Règles de calculs sur les fractions :
- Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les réduire au même dénominateur
- Pour multiplier des fractions entre elles, on multiplie les numérateurs entre eux (les nombres au dessus du trait de fraction) et les dénominateurs entre eux.
- Pour diviser une fraction par un nombre on la multiplie par son inverse
D’une manière générale diviser par un nombre c’est multiplier par son inverse.
L’inverse de 
est 
,de plus 
- Pour soustraire un nombre on ajoute son opposé.
On transforme la soustraction en somme algébrique.
Revenons à l’exemple :
Passage aux écritures équivalentes des fractions :
Transformation des soustractions en sommes algébriques :
Etant donné qu’il y a des fractions, il faut tout réduire au même dénominateur :
La fraction doit être irréductible.
- Rappel sur les racines carrées a et b sont positifs :
- Les
exposants :
- Les priorités opératoires classées dans l’ordre décroissant de priorité
- Puissances et racines carrées
- Calculs entre parenthèses
- Multiplication et division
- Addition et soustraction
FExercices
- Effectuer à la main les calculs suivants et contrôlez à la calculatrice :
- Mettre les nombres suivants sous la forme d’une puissance d’un même nombre :
- Donner
l’écriture décimale et l’écriture scientifique des nombres suivants :
- Donner une écriture plus simple des nombres suivants :
LES EGALITES REMARQUABLES
Ce sont des égalités vraies quelques soient les valeurs données aux nombres a et b, les trois égalités les plus utilisées sont :
Développer une de ces égalités consiste à écrire pour la première par exemple :
Factoriser une de ces égalités consiste à écrire pour la seconde par exemple :
A la place de a et b il peut y avoir n’importe quel autre lettre ou forme littérale, mais pour développer ou factoriser, il faut bien identifier ce qui correspond à a et b.
Exemples
F Comment développer (x-7)² ?
(x-7)² correspond à (a-b)² avec a=x et b=7 ainsi :
(x-7)² = x² - 2 ×x×7 + 7 ² = x² - 14 x + 49
F Comment factoriser une égalité remarquable ?
Il faut identifier à quel développement elle correspond :
§ A²-14A+49 = A² - 2 × 7 × A + 7 ² =(A-7)²
§
4y²-x²
= (2y)² - x ² = (2y-x)(2y+x)
F Exercices
§ Développer les expressions suivantes :
a) (x-2)² b) (2y-1)(2y+1) c) (2t-1)² d) (x-y)² e) (2a-3b)(2a+3b)
§ Factoriser les expressions suivantes :
a) 16x²+8x+1 b) 4-20y+25y² c)4x²-1 d) 28x²-7 e)5+10y + (1+2y)²
DEVELOPPER, REDUIRE ET ORDONNER UNE EXPRESSION
LITTERALE
Dans le cas où le développement fait apparaître des termes de même nature, il faut les regrouper ( on dit réduire les termes de même nature) :
Exemple
2(x-7)² - 3x² + 15x(x-7)(x+7)
= 2(x²-14x+49) – 3x² + 15x(x²-49) Ü Développement des identités remarquables
= 2x² + 2×(-14x) + 2×49 – 3x² + 15x×x² + 15x×(-49) Ü Distribution des facteurs
= 2x²+(-28x)+98-3x²+15x3 + (-735x) Ü Calculs des produits
= 2x²+(-28x)+98+(-3x²)+15x3 + (-735x) Ü Transformation en somme algébrique
= 2x² + (-3x²) + (-28x)+(-735x) + 15x3 + 98 Ü Regroupement des termes de même nature
= -x² + (-763x) + 15x3 + 98 Ü Réduction
= 15x3 + (-x²) + (-763x) + 98 Ü ordonnement des termes suivant les puissances croissantes de x
= 15x3 – x² - 763x + 98 Ü Simplification d’écriture.
NB : 15x3 – x² - 763x + 98 est un polynôme de la variable x, le degré de ce polynôme est 3.
Pour réussir en calcul littéral, il faut simplement faire beaucoup d’exercices, les voici :
FExercices
§ Calculer les expressions littérales suivantes :
§ Les lettres a, b et x désignent des réels, montrer que :
§ On donne le polynôme P(x)=-x3+5x²+4x-2, déterminer les réels a,b et c pour que P(x) puisse s’écrire :
P(x)=(x+1)(ax²+bx+c)
Simplifier
ensuite la fraction suivante : 
§ Effectuer le calcul :
CALCULER LA VALEUR NUMERIQUE D’UNE EXPRESSION
LITTERALE
Pour calculer la valeur numérique d’une expression littérale, il suffit de donner une valeur à chaque lettre intervenant dans la formule, on dit que l’on fait une substitution.
On substitue à la lettre sa valeur.
Exemple de calcul
|
On
donne les dimensions du trapèze B = 8
; b = 5 et h =
4 (
l’unité de longueur est le cm) On
veut connaître son aire . L’expression
littérale donnant l’aire d’un trapèze est : A
= |
|
|
Donc
A = On
calcule dans les parenthèses :A =
On calcule (13)4 = 4 ( 13) = 4 A = On
divise : 52 :2 A
= 26 On conclue : l’aire
du trapèze est de 26 cm² |
|
13
F Exercices
Calculer le volume V (arrondi à 0,1 près) du
cylindre en m3 pour les différentes valeurs de R et h suivantes :
· R = 0,2 m h = 0,5 m V
=
· R = 1,5 m h = 1,5 m V
=
2°) La formule ci-dessus établie par Lorentz permet de calculer la masse m idéale(exprimée en Kg) d'un individu par rapport à sa taille( exprimée en cm) :
a) Calculer la "masse idéale" d'individus dont les tailles sont les suivantes :
1,50 m ; 1,75 m ; 1,80 m ; 1,95 m ; 1,65 m
b) Calculez votre propre "masse idéale".
3°) On donne B(x)=x3-x²-5x+6
a)Calculer B(2)
b) Déterminer la valeur de b pour que B(x) puisse s’écrire (x-2)(x²+bx-3)
4°) On donne l’expression C(x)=2x²-40x+500
a) Calculer C(0) ; C(5) ; C(10) ; C(15) ; C(20) ; C(25).
b) Le coût de production d’un article est donné par la relation :
C(q)=2q²-40q+500
Le prix de vente de cet article est donné par la relation :
P(q)=10q+300
Compléter le tableau suivant :
|
q |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
|
C(q) |
|
|
|
|
|
|
|
P(q) |
|
|
|
|
|
|
Sur quel intervalle la production est-elle rentable ?
TRANSFORMATIONS
D'EXPRESSIONS LITTERALES
Dans un problème ou
un exercice, la formule donnée n'est pas forcément sous la forme qui permet de faire
le calcul directement, il faut d'abord la transformer pour calculer ce qui est
demandé.
À Transformations
simples
Exemple : La loi d'OHM est une formule permettant de
calculer la tension U(en Volt) aux bornes d'un résistor en fonction de la
valeur de sa résistance R(en Ohm) et de
la valeur de l'intensité I( en Ampère) du courant qui le traverse.
Cette formule est :
U = RI. On demande de calculer I pour U = 10 V et R = 250 W.
La méthode consiste
à considérer I comme inconnue et de transformer la formule en appliquant la
règle de résolution des équations du premier degré à une inconnue : Il faut isoler l'inconnue dans un des
membres de l'équation en effectuant les opérations nécessaires sur les deux
membres de l'équation.
(a>0)
