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corrigé (à venir) |
CALCUL INTEGRAL
1.
PRIMITIVE D’UNE FONCTION
La
primitive F d’une fonction f définie sur un intervalle I de l’ensemble des
nombres réels est telle que F’(x)=f(x)
Pour
calculer une primitive d’une fonction f revient à faire l’inverse du calcul de la
dérivée d’une fonction.
Exemples
Ø
Comment
calculer une primitive de la fonction g : x ® 2x ?
Lorsque
l’on regarde le tableau des fonctions et de leurs dérivées on a :
|
Fonction f |
Dérivée f’ |
|
x² |
2x |
Une
primitive de la fonction g : x® 2x est telle que G’(x) = g(x)
Donc
une primitive de g est G(x) = x² en
effet G’(x) = 2x = g(x)
Pourquoi
dit-on une primitive et non pas la primitive ?
Pour
la fonction g : x® 2x la fonction G(x)=x²+3500 est aussi une primitive,
d’une manière générale toutes les fonctions du type G(x)=x²+ k ( où k est un
nombre réel ) sont des primitives.
Pour une fonction f donnée, il
existe une infinité de primitive telle que F’(x) = f(x).
Ø
Comment
calculer une primitive de la fonction h
: x® x² ?
Lorsque
l’on regarde le tableau des fonctions et de leurs dérivées on a :
|
Fonction f |
Dérivée f’ |
|
x3 |
3x² |
Il faut lors du calcul de la primitive s’arranger pour
que le facteur « 3 » disparaisse devant le x² on prend donc comme primitive
de x² la fonction H(x)=
Vérifions en dérivant : 
Le tableau des fonctions usuelles et de leurs
primitives est :
|
fonction f(x) |
Primitive F(x) |
|
xn |
|
|
cos(x) |
sin(x)+C |
|
sin(x) |
-cos(x)+C |
|
cos(ax+b) |
|
|
sin(ax+b) |
|
|
|
Ln(x)+C |
|
|
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La primitive
d’une somme de fonctions est égle à la somme des primitives des fonctions
La
primitive d’une fonction multipliée par une constante est égale à la primitive
de cette fonction multipliée par la constante.
Exemples
·
Primitive
de
® 
·
·
Primitive
de 
®
FExercice n°1
Calculer
les primitives des fonctions suivantes :
2. INTEGRALE D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE
Par définition
l’intégrale I d’une fonction f sur l’intervalle [a ; b] de primitive F est
le nombre :
NB :
On note également 
Exemple : Comment calculer 
?
Il
faut déjà déterminer une primitive de la fonction 2x²-3. Cette primitive F
est :
D’après
la définition :
FExercice n°2
Calculer
les intégrales suivantes :
3. SIGNIFICATION GRAPHIQUE DE L’INTEGRALE
Pour
illustrer cette partie, nous allons nous intéresser à la fonction f(x)=x², la
représentation graphique de cette fonction est une parabole ( voir
ci-contre).
Calculons :
à l’unité près
Calculons
maintenant l’aire située en dessous de la courbe de f comprise entre x = 5 et x
=10. Pour cela nous allons 
utiliser une méthode approchée dite des rectangles :
On va
assimiler l’aire totale de la courbe à la somme des aires des rectangles R1,
R2, R3, R4 et R5.
L’aire
d’un rectangle est A=L´l
Dans
notre cas : 
………
L’aire
totale est donc :
Si on
recommençait ce calcul avec des rectangle de largeur 0,01 on aurait :
à l’unité près
On
constate donc que 
D’une
manière générale, graphiquement l’intégrale d’une fonction positive entre x1
et x2 est égale à l’aire de la courbe située entre l’axe des
abscisses et les droites d’équations x=x1 et x=x2 .
1.
PROPRIETES DES INTEGRALES
Ces
propriétés découlent des propriétés opératoires des fonctions dérivées :
Linéarité :
où k est un nombre
réel.
Relation
de Chasles : 
2. MOYENNE
La
valeur moyenne, notée 
, d’une fonction f, sur un intervalle [ a ; b] est donnée
par la relation :
3. VALEUR EFFICACE
La
valeur efficace d’une fonction f sur un intervalle [ a ; b ] est notée Feff
et est donnée par la relation :
4.
EXERCICES D’APPLICATION
1°)
Un sèche linge est alimenté par une tension u en fonction du temps donnée par
la relation :
Où la
tension est exprimée en volts et le temps en secondes
Calculer
la valeur moyenne de u sur l’intervalle [0 ; 0,01]
2°)
Dans le cas d’une tension alternative sinusoïdale u telle que u(t)=Umaxsin(wt) calculer Ueff.
Rappel :
La période T de cette tension
est donnée par : 
3°)
Calculer l’aire délimitée par la courbe représentative de la fonction
f(x)=3x²-5x+2 et les droites d’équations x=2 et x=4.
4°) Calculer les intégrales suivantes :
5°)Un
circuit comprenant un générateur de force contreélectromotrice E=18 V, une
bobine de résistance R=12 W et d’inductance L=0,24 H. La fermeture à
l’instant t=0 provoque l’installation d’un régime transitoire. Dans cette
phase, l’intensité du courant i(t) à l’instant t est donné par l
relation :
i est exprimée en ampères et t
en secondes
5.1°)
Montrer que 
5.2°)
Déterminer la dérivée i’ de la fonction i. Etudier le sens de variation de la
fonction i aur l’intervalle [0 ; 0,1]
5.3°)
Compléter le tableau suivant :
|
t(s) |
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0 ,04 |
0,05 |
0,08 |
0,1 |
|
i(A) arrondi au millième |
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5.4°)
Tracer la courbe C représentative de la fonction i dans un repère orthogonal
d’unités graphiques :
5.5°)
Déterminer graphiquement le temps t1 tel que l’intensité soit
5.6°)
Calculer la quantité d’électricité Q exprimée en coulombs, mise en jeu entre
les temps 0 et 0,1. on rappelle que 
6°)
La figure ci-dessous est l’oscillogramme obtenu aux bornes d’un onduleur :
6.1°)
Quelle est la période T du signal observé
6.2°)
En déduire la pulsation w
6.3°)
La fonction de base étant la fonction u définie par
Calculer
la valeur moyenne 
du signal soit : 