Prérequis:
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Soustraction de deux nombres relatifs |
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Projections
orthogonales d'un segment sur une droite |
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BIPOINT |
ENVIRONNEMENT du
dossier:
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Index |
Tableau
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DOSSIER PROJECTION d ' un bipoint ou segment dans
un repère cartésien (deux droites sécantes)
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TEST |
COURS |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité
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Corrigé Contrôle
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Corrigé évaluation
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Voir définition du mot « direction et sens ».
Mots
utilisés dans l’objectif : le vecteur
Préambule :
La projection d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés) implique que l’on doit
connaître (ou se fixer) :
n
une direction
(c’est une droite )
n
la position du point dans un plan
( en l’occurrence la feuille) et
n
la droite support qui recevra le
« projeté du point » .
d
Rappel : Projection d’un point sur une droite:
Le point A’ est le projeté du point A par rapport a la droite d ; (le segment de
droite AA’ est parallèle à la droite
d), sur la droite orientée
« axe » . La droite d
indique la ligne direction de la projeté
A
A’
COURS
: PROJECTION ORTHOGONALE d’un point :
On fait la
« projection orthogonale »d’un point « M » lorsque la direction (delta) et la droite sur laquelle
on trace « la projetée du point « M’ » » sont
perpendiculaires
(utile pour :Obj :
symétrie orthogonale)
Rappel
2 : Projection de deux points sur une
droite:
A’ est le projeté du point A sur l’axe B’ est le projeté
du point B sur l’axe. A’ et B’ sont les projetée par rapport à la droite de direction donnée d
A B
d
A’ B’
RAPPEL
3 : Projection d’un segment de droite:
« x »
Avec A et B on construit le segment AB; Le
segment Ax Bx est le projeté du segment AB
sur la droite
« axe » ,par rapport à la droite d . XA est l’abcisse du point A; XB est
l’abcisse du point B
B
A
d
A’ B’ x
RAPPEL 4 :
Projection d’un segment sur une droite
: « y »
y
Avec A et B on
construit le segment AB . By est le projeté de B sur l’axe « y ». Ay est le projeté de A sur l’axe
« y ». Y A est l’ordonné du point A Y B est l’ordonné du point B
By
B
Ay A
d
COURS
: Projection d’un segment
sur deux droites sécantes (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant
le repère est dit « cartésien ortho
- normé » voir Objectif :....FL et F affine )
Les segments de droites
AyBy et BxAx
sont appelés les projetés du segment AB
. La norme permet
de graduer les axes. Si la norme *
sur x et y est égale
« mesure » le repère est dit « normé » *Voir [O,I]
et [ O, J ]
y
Ay A
By B
Bx Ax x
Voir : Composantes d’un vecteur
et calcul de la NORME D’UN VECTEUR
Projection
d’une surface sur deux droites:
FIN DU
RAPPEL.
GEOMETRIE DANS L’ESPACE
Voir projection d’un point
,d’un segment ,d’une surface , d’un volume dans un repère en trois
dimensions (dit dans l’espace )
EVALUATION :
A ) Montrer par un dessin ,la projection orthogonale d’un point .
D1 D delta M
I ) Soit le schéma suivant ,tracez le projeté du point M par
rapport à « delta » sur la
droite D et la droite D1.
II )
Soit un repère non orthogonal :
tracer les projetées du segment
B
III ) Soit un repère
orthonormé ( à compléter):
tracer les projections du segment
AB ; donner les coordonnées des deux points,
échelle1
Cet exercice sera repris avec Obj :
« Pythagore »
en vue de rechercher la norme d’un vecteur par le calcul
Le vecteur Vx et le vecteur Vy sont les composantes du vecteur V. Ces
composantes ont pour origine
,l’origine du vecteur V ,pour direction , les parallèles aux
droites d et d ’ et pour extrémité des parallèles aux
droites d et d ’ passant par
l’extrémité du vecteur V I
Composantes
d’un vecteur:
d’
Vy V
Vx
d
Projection
des composantes d’un vecteur:
Le vecteur Vx
et le vecteur Vy sont
les projections du vecteur V Nous avons dessiné
le cas ou les projection sont orthogonales , parce que les axes x et y sont orthogonaux
y
Vy
V
x
Vx
CALCUL
DES COMPOSANTES D’UN VECTEUR:
V
, Vx et
Vy forme un triangle « rectangle » si le repère est orthonormé
Pour trouver les caractéristiques du triangle rectangle
on fait appel : à « Pythagore » ou aux relations trigonométriques dans le
triangle rectangle (sinus, cosinus,
tangente ,cotangente)
V
V y
Vx