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Objectif précédent

Objectif suivant : « Projection » …généralités….

Pré Requis

DOSSIER LES PROJECTIONS … COURS….

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Obj : PROJECTE sur...

Voir définition du mot « direction et sens ». Mots utilisés dans l’objectif : le vecteur Préambule : La projection d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés) implique que l’on doit connaître (ou se fixer) : n une direction (c’est une droite ) n la position du point dans un plan ( en l’occurrence la feuille) et n la droite support qui recevra le « projeté du point » .
I) Projection d’un point sur une droite:
Il faut : - Une droite (d) - Une droite représentant la direction (delta) : - Les deux droites forment un angle alpha :
On place entre ces deux droites un point « A » .
On trace une droite parallèle à , cette droite coupe la droite (d) . Cette intersection est un point nommé « A’ ». On dit que l'on a effectué une projection du point « A » sur a droite (d) .
Le point A’ est le projeté du point A par rapport a la droite d ; (le segment de droite AA’ est parallèle à la droite d), sur la droite orientée « axe » . La droite d indique la ligne direction de la projeté
Projeté d’un point suivant deux directions différentes.
Projeté dans sur un axe :
Projeté d’un point sur un axe «  »
II) Projection de deux points sur une droite ( axe ) :
A’ est le projeté du point A sur l’axe B’ est le projeté du point B sur l’axe. A’ et B’ sont les projetée par rapport à la droite de direction donnée d
Projeté d’un segment sur un axe.
Projeté d’un point sur deux axes sécants.
III) Projection d’un segment de droite: « x » Avec A et B on construit le segment AB; Le segment Ax Bx est le projeté du segment AB sur la droite « axe » ,par rapport à la droite d . XA est l’abcisse du point A; XB est l’abcisse du point B
Projection d’un segment sur une droite : « y » Avec A et B on construit le segment AB . By est le projeté de B sur l’axe « y ». Ay est le projeté de A sur l’axe « y ». Y A est l’ordonné du point A Y B est l’ordonné du point B
III) Projection d’un segment de droite: « x » Avec A et B on construit le segment AB; Le segment Ax Bx est le projeté du segment AB sur la droite « axe » ,par rapport à la droite d . XA est l’abscisse du point A; XB est l’abscisse du point B
IV ) Projection d’un segment sur deux axes .
Projection orthogonale d’un point « A » puis d’un point « B » sur une droite « d ».
Projection orthogonale d’un point « A » puis d’un point « B » sur une droite « d ». "A'" et " « B' » sont les images respectives de « A » et « B » sur « d ».
Projection orthogonale du segment « » sur une droite « d ». « » est le projeté orthogonal de « » sur « »
On place « C » dans le repère …… Dessinez « C’ » l’ image de « C » .
Projection orthogonale de trois points sur une droite « d ». Qui forment un triangle … Remarque : C’ A’ B’ est un segment … il est la projection de ABC sur «  » .
V) Projection d’un segment sur deux droites sécantes (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant le repère est dit «  cartésien ortho - normé » voir Objectif :....FL et F affine ) Les segments de droites AyBy et BxAx sont appelés les projetés du segment AB . La norme permet de graduer les axes. Si la norme * sur x et y est égale « mesure » le repère est dit « normé » *Voir [O,I] et [ O, J ]

Cas particulier : PROJECTION ORTHOGONALE d’un point :

Repère orthogonal :
On fait la « projection orthogonale »d’un point « M » lorsque la direction (delta) et la droite sur laquelle on trace « la projetée du point « M’ » » sont perpendiculaires.

(utile pour :Obj : symétrie orthogonale)

y

Ay A

By B

Bx Ax x

Voir : Composantes d’un vecteur et calcul de la NORME D’UN VECTEUR

Projection d’une surface sur deux droites:

Amusez vous à nommer les points et reportez leur projection.

Remarquer l’ordre des lettres à comparer avec le sens de lecture des points d’une surface

FIN DU RAPPEL.

GEOMETRIE DANS L’ESPACE.

Voir projection d’un point ,d’un segment ,d’une surface , d’un volume dans un repère en trois dimensions (dit dans l’espace )

EVALUATION :

A ) Montrer par un dessin ,la projection orthogonale d’un point .

D1

D

delta

M

I ) Soit le schéma suivant ,tracez le projeté du point M par rapport à « delta » sur la droite D et la droite D1.
II ) Soit un repère non orthogonal : tracer les projetées du segment

B

III ) Soit un repère orthonormé ( à compléter): tracer les projections du segment AB ; donner les coordonnées des deux points,

échelle1

Cet exercice sera repris avec Obj : « Pythagore »

en vue de rechercher la norme d’un vecteur par le calcul

Composantes d’un vecteur:

Le vecteur Vx et le vecteur Vy sont les composantes du vecteur V.

Ces composantes ont pour origine ,l’origine du vecteur V ,pour direction , les parallèles aux droites d et d ’ et pour extrémité des parallèles aux droites d et d ’ passant par l’extrémité du vecteur V I

d’

Vy V

Vx

d

Projection des composantes d’un vecteur: Le vecteur Vx et le vecteur Vy sont les projections du vecteur

V

Nous avons dessiné le cas ou les projection sont orthogonales , parce que les axes x et y sont orthogonaux

y

Vy

V

x

Vx

CALCUL DES COMPOSANTES D’UN VECTEUR:

V , Vx et Vy forme un triangle « rectangle » si le repère est orthonormé

A partir des coordonnées de l’origine est l’extrémité du vecteur ,on peut donc calculer toutes les caractéristiques du triangle.

Pour trouver les caractéristiques du triangle rectangle on fait appel :

à « Pythagore »

ou aux relations trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente ,cotangente)

V

V y

Vx