Obj : PROJECTE sur...

 

 

Voir définition du mot « direction et sens ».

Mots utilisés dans l’objectif : le vecteur

Préambule :

   La projection  d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés) implique que l’on doit connaître (ou se fixer) :

 

n  une direction  (c’est une droite )

n la position du point dans un plan ( en l’occurrence la feuille) et

n  la droite support qui recevra le « projeté du point » .

 
                                                                             d        

   I)  Projection d’un point   sur une droite:

 Le point  A’ est le projeté du point  A par rapport a la droite  d ;

 (le segment de droite AA’ est parallèle à la droite  d), sur la droite orientée  « axe » .

   La droite  d  indique la ligne direction de la projeté

 
                                                                                                                        A

                                                                                                                       

                                                                                                        A’

 

 

 

Cas particulier : PROJECTION ORTHOGONALE d’un point :

 

On fait la « projection orthogonale »d’un point « M » lorsque  la direction (delta) et la droite sur laquelle on trace « la projetée du point « M’ » » sont perpendiculaires

 

 

 

 

 

 

 

 


(utile pour :Obj : symétrie orthogonale)

 

II)Projection de deux points sur une droite:

 


A’ est le projeté du point A  sur l’axe

 

B’ est le projeté  du point  B sur l’axe.

 

  A’ et B’  sont les projetée par rapport  à la droite de direction donnée    d

 
                                                                                                            A                                B 

                                                                           d

 

 

 

 


                                                                                     A’                               B’

 

 

 

 


 

III) Projection d’un segment de droite:  « x »

 

Avec A et B on construit le segment AB;

    Le segment   Ax Bx est le projeté  du segment  AB  sur la droite  « axe » ,par rapport à la droite d .

XA est l’abcisse du point  A;

 XB est l’abcisse du point B

 
                                                                                                                      B     

                                                                                      A

 


                                                           d

 

 

 

 


                                                                   A’                    B’                x

 

IV ) Projection  d’un segment sur une droite :   « y »

                                                                     y    

Avec  A et B on construit le segment   AB .

           By  est le projeté de B sur l’axe  « y ».

           Ay   est le projeté de A sur  l’axe  « y ».

 

Y  A  est l’ordonné du point A

Y  B  est l’ordonné du point B

 

 
 

 


                                                              By                                                   B

 

 

 

 


                                               Ay                                        A    

 

 

 


                                                                                                                     d

 

 

V)  Projection  d’un segment  sur     deux droites  sécantes  (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant le repère  est dit  «  cartésien    ortho - normé »  voir Objectif :....FL  et F affine )

Les segments de droites  AyBy   et  BxAx  sont  appelés les projetés  du segment   AB  .

 

 La norme permet de graduer les axes.

  Si la norme * sur x et y  est égale « mesure » le repère est dit « normé »

 

*Voir [O,I]  et  [ O, J ]

 
                                          y

 

                                       Ay                                                       A

 

 

 

 


                                         By                          B            

 

 

 

 

 


Bx                                Ax        x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir : Composantes d’un vecteur  et calcul de la NORME D’UN VECTEUR

Zone de Texte: Amusez vous à nommer les points et  reportez leur projection.
Remarquer l’ordre des lettres à comparer avec le sens de lecture  des points d’une surface
 


Projection d’une surface sur  deux droites:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


FIN DU RAPPEL.

 

GEOMETRIE  DANS L’ESPACE

Voir projection d’un point  ,d’un segment ,d’une surface , d’un volume dans un repère en trois dimensions  (dit dans l’espace )


 

EVALUATION :

 

 

A  )  Montrer par un dessin  ,la projection orthogonale d’un point .

 

 

D1

 

D

 

delta

 

M

 
I )  Soit le schéma  suivant ,tracez le projeté du point M par rapport à   « delta » sur la droite  D et la droite D1.
II  ) Soit un repère non orthogonal :  tracer les projetées du segment

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


B

 
III ) Soit un repère  orthonormé ( à compléter):  tracer les projections du segment   AB ; donner les coordonnées des deux points,

 


échelle1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Cet exercice sera repris  avec Obj : « Pythagore »

 

en vue de rechercher la norme d’un vecteur par le calcul

 

 

Le vecteur Vx et le vecteur Vy  sont les composantes du vecteur   V.

    Ces composantes ont pour origine ,l’origine du vecteur   V ,pour direction , les parallèles aux droites  d et d ’ et pour extrémité des parallèles aux droites d et d ’ passant par  l’extrémité du vecteur V   I

 
Composantes d’un vecteur:

 

 

 

 


                 d   

                                           Vy           V

 

 

 
 

 


                                                                     Vx  

 

 

 


                                                                                 d

 

Projection des composantes d’un vecteur:

 Le vecteur  Vx   et  le vecteur Vy   sont  les projections  du vecteur

           V

 Nous avons  dessiné  le cas ou les projection sont orthogonales , parce que les axes  x et y sont orthogonaux

 
                 y

                       

 

 


               Vy

                                                          V

 

 

 


                                                                     

 

 

 


                                                                                                    x

                                                                Vx

 

CALCUL DES  COMPOSANTES D’UN VECTEUR:

 

V   ,   Vx   et    Vy          forme un triangle   « rectangle »  si le repère est orthonormé

 

 

Pour trouver les caractéristiques du triangle rectangle on fait appel :

  à  « Pythagore »

  ou  aux relations trigonométriques dans le triangle rectangle  (sinus, cosinus, tangente ,cotangente)

 
 

 


                                                      V

                                                                                   V y

 

 

 

 


                                                   Vx