NIVEAU IV : CORRECTION DES EXERCICES DE STATISTIQUES
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Exercice n°5 |
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1°)
G1 (2 ; 6,05) 2°)
G2 (5,45 ; 24,25) 3°)
Il faut déterminer l'équation de la droite (G1G2) de la
forme y = ax + b Calcul
du coefficient directeur a C'est
le rapport de la différence des ordonnées et de la différence des abscisses
des points. On
est obligé de garder l'écriture fractionnaire pour faire le calcul exact de
l'équation de la droite (G1G2 ) Calcul
de l'ordonnée à l'origine b L'équation
est de la forme
L'équation
de la droite (G1G2 ) est Vous
pouvez vérifier que les coordonnées de l'autre point G2 vérifie
cette équation. |
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4°)
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Exercice n°6
1°)
2°)
les coordonnées des points moyens sont :
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G1 ( 3 ; 28,7) G2 ( 8 ; 37,28) 3°)
La démarche est la même qu'à l'exercice n°5. L'équation
de la droite (G1G2) : y =1,716 x + 23,552 4°)
Le rang de cette année est x = 13 donc le nombre de nuitées sera : y
= 1,716 ´
13 + 23,552 = 45,86 5°)
Le nombre de nuitées en 1991 est 25,4 le double est donc 50,8. Dans ce cas il
faut déterminer quelle est la valeur de x correspondant à y = 50,8. On
doit résoudre l'équation : 50,8 = 1,716 x + 23,552 donc x ≈ 15,88 soit
16 années environ. |
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Exercice n°7 |
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Voici
les réponses
1°)
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2°)
a) Les coordonnées des points moyens sont : G1(1320 ; 418) G2(3200 ; 142 ) 3°)
L'équation de la droite (G1G2) est : y = -0,1468 x + 611,79 4°) il faut donc calculer y pour x = 1500 : y = -0,1468´1500+611,79 y = 391,59. Il y aurait donc 392 entreprises disposées à
acheter le logiciel à 1500 € 5°)
Il faut calculer x pour y = 300 : on doit donc résoudre l'équation : 300 =
-0,1468´x
+ 611,79 donc 6°)
Le bénéfice net de la société s'exprime par : ·
Les bénéfices liés à la vente du logiciel : x : prix proposé, y : nombre de logiciel vendus ce bénéfice est donc : y´x. Mais d'après la question 5°) y = -0,1468 x +
611,79 Ce bénéfice s'exprime donc par la relation
: (-0,1468 x + 611,79) ´ x ·
Les frais de conception et de distribution de 150 000 € Le bénéfice net B(x) est donc : B(x) =
(-0,1468 x + 611,79) ´ x - 150 000 = -0,1468 x²
+ 611,79 x - 150000 Soit
en arrondissant : B(x) = -0,147 x² + 612x - 150000. 7°)
Rappel : lorsque qu'une fonction présente un maximum ou un minimum, sa
dérivée s'annule (voir le cours sur la dérivée) Le
calcul de la dérivée B' de la fonction B est : B'(x) = -0,147´2 x + 612 = -0,294 x +
612 La
fonction B présente un maximum si B'(x) = 0 soit -0,294 x + 612 = 0. La
solution de cette équation est x = -612/-0,294 ≈ 2081,632653. La
fonction B admet donc un maximum pour x0 = 2081,632653. La
valeur de ce bénéfice est : B(2081,632653) = -0,147 ´(2081,632653)²+612´2081,632653-150000
=486979,5918 |
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Exercice n°7 |
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(Dans
l'énoncé, les chiffres d'affaires sont en k€) 1°) |
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1994 |
1995 |
Moyennes
mi |
Janvier |
171.96 k€ |
160.07 k€ |
166.02 k€ |
Février |
168.30 k€ |
173.79 k€ |
171.05 k€ |
Mars |
147.27 k€ |
152.75k€ |
150.01 k€ |
Avril |
139.03 k€ |
140.86 k€ |
139.95 k€ |
Mai |
150.92 k€ |
159.16 k€ |
155.04 k€ |
Juin |
150.92 k€ |
171.96 k€ |
161.44 k€ |
Juillet |
143.61 k€ |
132.63 k€ |
138.12 k€ |
Août |
110.68 k€ |
121.65 k€ |
116.17 k€ |
Septembre |
173.79 k€ |
181.11 k€ |
177.45 k€ |
Octobre |
170.13 k€ |
178.37 k€ |
174.25 k€ |
Novembre |
134.46 k€ |
160.99 k€ |
147.73 k€ |
Décembre |
181.11 k€ |
186.60 k€ |
183.86 k€ |
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CVS |
Janvier |
1,06 |
Février |
1,09 |
Mars |
0,96 |
Avril |
0,89 |
Mai |
0,99 |
Juin |
1,03 |
Juillet |
0,88 |
Août |
0,74 |
Septembre |
1,13 |
Octobre |
1,11 |
Novembre |
0,94 |
Décembre |
1,17 |
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2°)
Cela revient à faire la moyenne des moyennes mi : 3°)
Voir Tableau 4°)
Le tableau des données corrigées des variations saisonnières pour l'année
1995 est : |
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1995 |
Données corrigées |
Janvier |
151,00 k€ |
Février |
159,44 k€ |
Mars |
159,11k€ |
Avril |
158,27 k€ |
Mai |
160,77 k€ |
Juin |
156,74 k€ |
Juillet |
150,72 k€ |
Août |
164,39 k€ |
Septembre |
160,27 k€ |
Octobre |
160,69 k€ |
Novembre |
171,27 k€ |
Décembre |
159,49 k€ |
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5°)
Août 1996 x = 20 : y = 0,255´20 + 153,97 = 159,07 k€ Décembre 1996 x = 24 : y =
0,255´24
+ 153,97 = 160,09 k€ 6°)
D'après l'expression du n°4 on a Donnée brute = CVS ´ Donnée corrigée Donc
: Août 1996 : Donnée brute = 0,74 ´ 159,07 = 117,71 k€ Décembre 1996 : Donnée
brute: 1,17 ´160,09 = 187,31 k€ |
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Exercice n°8 |
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1°)
On va numéroter les 12 mois de 1 à 12. En abscisses on placera le n° du mois
et en ordonnée le nombre de couverts correspondant : 2°)
a) Le point M a pour coordonnées :
M ( 3 ; 90 ) Le
point S a pour coordonnées : S ( 9 ; 106 ) b) L'équation de la droite (MS) est : y = 2,667 x
+ 82 a)
Le mois de Mars de l'année suivante a pour rang x = 15. Il
faut donc à l'aide de l'équation de
la droite y = 2,667 x + 82. X = 15 ;
y = 2,667´15 + 82 = 122,005 On peut
donc espérer 122 couverts en Mars de l'année suivante. |
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Exercice n°9 |
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1°)
il y a 8 trimestres au total on va donc numéroter ces trimestres de 1 à 8. |
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2°)
Les coordonnées des points G1 et G2 sont respectivement
: (2,5 ; 8325) et ( 6,5 ; 10302,5) 3°)
L'équation de cette droite est : y
= 494,38x + 7089,1 4°)
La moyenne M trimestrielles des ventes pour les deux années est : 10 345. La
moyenne des ventes de chacun des 4 trimestres
mi est : Trimestre
1 : 7 890 Trimestre
2 : 9 365 Trimestre
3 : 9 305 Trimestre 4 : 10 695 5°)
Rappel CVS = mi/M. Donc |
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Trimestres |
CVS |
1 |
0,763 |
2 |
0,905 |
3 |
0,899 |
4 |
1,034 |
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6°)
a) Les 4 trimestres de 2001ont pour n° 9,10,11,12
donc : 1er
Trimestre : x = 9 donc y = 494,38´9 + 7089,1 = 11538,52
arrondi à la dizaine d'euros : 11540 € 2eme
Trimestre : x = 10 donc y =
494,38´10
+ 7089,1 = 12032,9 ≈ 12030 € 3eme
Trimestre : x = 11 donc : y = 12527,28 ≈ 12530 € 4eme
Trimestre : x = 12 donc y = 13021,66 ≈ 13020 € b)
Donnée brute = CVS´Donnée corrigée donc : 1er Trimestre : 0,763´11540 = 8805,2 € 2eme
Trimestre : 0,905´12030 = 10887,15 € 3eme
Trimestre : 0,899´12530 = 11264,47 € 4eme
Trimestre : 1,034´13020 = 13462,68 € |
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Exercice
n°10
1°)
a) pour calculer les pourcentages d'augmentation, on peut utiliser la formule
suivante qui est issue de la résolution d'une équation du premier degré à une
inconnue (l'inconnue étant le pourcentage x en %)
1989
- 1990 : x = 100 % 1990-1991
: x = 200 % 1991 -
1992 : x = 85,71 %
1992
- 1993 : x = 71,79 % 1993 -
1994 : x = 56,12 %
b)
L'objectif n'est pas atteint pour les années 1993 et 1994
2°)
3°)
a)
Rang
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
f(x) |
-495 |
510 |
1515 |
2520 |
3525 |
4530 |
g(x) |
173 |
402 |
1017 |
2018 |
3405 |
5178 |
b) Pour tracer les
représentations graphiques des deux fonctions f et g, il suffit pour la
première d'avoir deux points car c'est une fonction affine et la courbe
représentative est une droite d'équation y = 1 005 x - 1 500. On peut prendre
par exemple (2;540) et (4 ; 2520)
Pour
la seconde, c'est une parabole il suffit de placer tous les points de
coordonnées ( x ; g(x) ) calculées dans le tableau
précédents et de lisser la courbe obtenus au traçage.
c)
La fonctions se rapprochant le plus des ventes réelles
est g
4°) il faut donc calculer y pour x = 7
Ainsi :
y=193´7²-350´7+330
y=7337
En 1995 on peut prévoir une vente de 7337 milliers
d'appareils.
b) Dans ce cas il faut déterminer le ou les valeurs
de x pour lesquelles y = 10 000. On doit résoudre l'équation du second degré :
(voir le cours sur les équations du second degré pour les formules)
193 x²-350 x + 330 = 10 000
soit 193 x²-350 x -9670 = 0
Calculons le discriminant : ∆
= (-350)²-4´193´(-9670) = 7587740, il y a
deux solutions : x1 = 8,04297 et x2 = -6,229
La deuxième solution est à rejeter. L'année ayant
le rang 8 verra la vente d'appareils jetables égale à 10 000 miliers.
L'année au cours de laquelle cette condition sera
réalisée est donc 1996.
Exercice n°11
1°)
La moyenne journalière des locations sur les trois semaines est :
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Moyenne sur les trois semaines |
CVS |
Lundi Mercredi Samedi |
6,3 27,0 34,3 |
0,352 1,508 1,916 |
2°)