CORRIGES des devoirs
sur : LES GRANDEURS
PROPORTIONNELLES
Ce corrigé comporte 3 parties
I
) RAPPORTS ; RAPPORTS EGAUX
Corrigé :CONTROLE :
1 )Qu’est ce qu ’ « un rapport » ?
On appelle « rapport » la division d’un nombre par un autre nombre.
Le modèle mathématique d’un « rapport »
est « une fraction ».
2 )Donner un modèle mathématique d ’ un rapport.
Traduction en langage mathématique : 
3 )Qu’appelle-t-on
« rapports égaux » ? On appelle
« rapports égaux » des
divisions de deux nombres qui ont le
même quotient et dont le reste des divisions est nul .
(on dit aussi :quotient exact )
4 )Donner un modèle mathématique de « rapports égaux »
Le modèle mathématique de deux rapports
égaux est l’égalité de deux fractions
5 )Donner une suite de rapports égaux.
6 )Que peut-on former à partir d’une suite de rapports égaux ?
Lorsque nous avons plus de deux rapports
égaux nous pouvons dire que nous avons une « suite de rapports égaux » ,
le quotient de chaque rapport étant identique , c’est un nombre dit constant
appelé « k ».
7 )Traduire en langage mathématique ce que vous
avez énoncé précédemment
Traduction en langage mathématique :
8 ) Que peut - on construire avec une suite de
rapports égaux ?(donner le modèle mathématique)
Avec une suite de rapports égaux ,on
forme un autre rapport(ou fraction) égal à chacun d’eux ( de chaque rapport) qui aura
pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme
des dénominateurs .
traduction en langage mathématique :
si;
alors on a 
10 ) Pour vérifier si une suite de rapports sont
égaux ,que fait - on ?
= 
=
=
; alors on a
On fait la somme des numérateurs sur la
somme des dénominateurs et l'on effectue
la division; on compare avec le résultat d'une division d'une fraction choisie
au hasard.
11 ) Que signifie cette écriture
mathématique ?
si = =
=
; alors on a
12 ) Comment peut-on vérifier si une suite de
nombres (ou de grandeurs) est proportionnelle ?
(Donner un exemple).
On fait la somme des numérateurs sur la
somme des dénominateurs et l'on effectue
la division; on compare avec le résultat d'une division d'une fraction choisie
au hasard
1°) Les deux suites
[ 9 ;11 ;19 ;25 ;31 ;] et
[27 ; 33 ;57 ;75 ;93 ;] sont - elles des suites
de nombres proportionnelles ?
|
9 |
11 |
19 |
25 |
31 |
|
|
27 |
33 |
57 |
75 |
93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) somme des numérateurs : 9+11+19+25+31= 95
2 )somme des dénominateurs = 27+33+57+75+93= 285
3 )division des deux sommes 285:95 =3
4 )division d'un rapport : 27:9 = 3
5 )on compare les deux résultats : 3 et 3 ; les quotients sont égaux
6 ) Conclusion : la suite de rapports est
une suite de rapports égaux
A) Si
l’on paye dans un restaurant 2400 €
pour un mois (30
jours)de pension ,que paiera-t-on pour :
5jours ;
12jours ; 21 jours
|
2400 € |
X1 |
X2 |
X3 |
|
|
30 |
5 |
12 |
21 |
|
2400 :30 = X1 :5
; X1 = 2400 fois 5 :
30 = 400€
X2= 960 € X3 =
1680 €
PARTIE 2
PROPORTION et 4ème
proportionnnelle ; Interdisciplinarité :
Des connaissances en
sciences sont nécessaires pour comprendre le travail demandé ; (à vous de vous informer :
1°) Calculer la mesure de
la d.d.p. aux bornes d’un résistor dans les cas suivants :
|
calibre |
Echelle |
lecture |
corrigé |
|
3
V |
[
0 ; 30 [ |
22
divisions |
x =22,1 V |
2°) Quelle est l’intensité
du courant traversant le circuit ?
|
Calibre |
Echelle |
lecture |
|
0,1
A |
(
0 ; 100) |
57 divisions =
x = 0,057 A ou 57mA |
2°) Une voiture consomme 18,4 l d’essence pour
effectuer le trajet Paris - Caen ( 230
km) .Quelle sera sa consommation pour effectuer le trajet Paris
- Cherbourg long de 340 km ?
Que devons nous admettre
pour résoudre le problème ?
|
On pose: |
x = 27,2 l |
|
Conclusion: Nous considérons que la consommation
est constante |
La consommation pour 340 km parcourus
sera de 27,2 litres |
3°) La masse et le volume
d’un corps sont deux grandeurs directement proportionnelles .Le coefficient de
proportionnalité s’appelle la « masse volumique » du corps.
a)
Calculer le volume d’un
corps de masse 52 kg dont la masse
volumique est de 23 kg /dm3
|
On pose :
|
Calcul: 52 fois 1 :23 |
|
Volume = 2,2608696 dm3 |
|
I ) Enoncer les règles faisant intervenir les
extrêmes et les moyens.
(donner
un modèle mathématique et ensuite accompagner ces modèles d’application
numérique.)
Dans une proportion, le produit des extrêmes
est égal aux produits des moyens.
Traduction mathématique :
si = 
alors ad = cb
II ) Dans
quel cas dit-on que l’on recherche la quatrième proportionnelle ?
Lorsque l’on connaît 3 valeurs sur 4
,dans une proportion, on peut trouver la « quatrième » valeur . On
dira « rechercher la quatrième proportionnelle. »
1 ) De
l’égalité 3,4 x 7,8 = 2,4 x 11,05 ; déduire toutes les
proportions possibles.
On sait que 
est égale à
si
Extréme.1
"fois" Extréme.2 =
Moyen .2 "fois" Moyen.1 ;
a) On remplace :
3,4 "fois" 7,8
= 2,4 "fois" 11,05
b) on remplace dans :
est égale à
On sait que : Dans une proportion, on peut permuter les
« extrêmes »« ( l’égalité reste vraie)
traduction mathématique
si = alors 
= 
si = alors si
=
Dans une proportion, on peut permuter les « moyens »
,(l’égalité reste vraie)
traduction mathématique
si = alors 
= 
donc : si = alors si
=
ou 
=
Solutions
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Calculer x dans chacun
des cas suivants :
|
|
|
|
|
|
x = 2,3 fois 15 : 7,5 = |
4,6 |
|
|
x= 87,12:9,9 |
8,8 |
|
|
x= 1,76:6 |
0,88/3 = 88/300 |
PARTIE 3 :
Les SUITES
PROPORTIONNELLES
CORRIGE CONTROLE :
1
)Donner un exemple d’une suite de nombres.
« S1 » = {
2 ; 3 ;4 }
2
)Citer deux suites de nombres qui ne
forment pas une suite de rapports égaux.
« S1 »
= { 2 ; 3 ;4 } ; « S2 » = { 4 ;
6 ;9 }
3
)Citer deux suites de nombres qui forment une suite de rapports égaux.
« S1 » = { 2 ;
3 ;4 } ; « S2 » = { 4 ;
6 ;8 }
Forment la suite de rapports égaux
S ={ 
;
;
}
4
)A quoi est égale le rapport de deux suites de nombres proportionnels ? Deux suites de nombres « S1 » = { ( y1 ;
y2 ;y3 ; ....)} et « S2 »
»= {(
x1 ;x2 ;x3x ;......)}forment
une suite de nombres proportionnels si
elles forment une suite « Sproport. »
de rapports égaux .
5 )
Donner le modèle mathématique représentant le rapport de deux suites de nombres
proportionnels.
Traduction mathématique :
Sproport. = 
si 
=
=
=.........
6 )
Q’ appelle - t - on
« coefficient de proportionnalité »
On appelle « coefficient de proportionnalité » le nombre
constant représentant la valeur commune de tous les rapports de deux suites de
nombres qui forment une suite de nombres proportionnels.
7 )
par quelle lettre la désigne -t -
on ? la lettre "k"
8 ) Qu’appelle -t -o n
« grandeur » ?
Définition de « grandeur » :on appelle « grandeur »
un nombre associé à une unité de mesure.
9 )
Quand dit - on que deux grandeurs sont proportionnelles ? Lorsque deux grandeurs de nature différentes : ( exemples un
prix en fonction de la masse soit des
mesures en kg et f ); si elles
varient en même temps dans un même rapport (exemple 10 francs pour un
kilogramme , noté : 10 fr.kg-1 ) ,on dira que nous avons des
grandeurs proportionnelles.
10
) Quand dit - on que deux grandeurs ne sont pas
proportionnelles ?
11
)Que faut - il pour que deux grandeurs soient proportionnelles ?
deux grandeurs sont
« proportionnelles » si les
mesures de chacune d’elles forment une
suite de rapports égaux.
12
)On nomme : S1» = { (
y1 ; y2 ;y3 ; ....)} et S2 = {( x1 ;x2 ;x3 ;......)}
que faut - il pour que les deux
suites représentent deux suites de nombres proportionnels ?
Pour que les deux suites représentent une
suite de nombre proportionnelle il faut que
= k
13
)Que signifie l’écriture : = k
si = k alors S1 et S2 sont deux suites qui forment
une suite de rapports égaux
Les rapports étant des nombres, les résultats étant
constants , ces nombres étant des
grandeurs , nous dirons que « ces grandeurs sont proportionnelles ».
CORRIGE
EVALUATION :
1° ) Les
deux suites [
9 ;11 ;19 ;25 ;31 ;]
et [27 ; 33 ;57 ;75 ;93 ;]
sont - elles des suites de nombres proportionnelles ?
|
S1 |
9 |
11 |
19 |
25 |
31 |
|
S2 |
27 |
33 |
57 |
75 |
93 |
|
Calcul S2 sur S1 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
Conclusion : les deux suites sont
proportionnelles
2°) A et B
étant des grandeurs directement proportionnelles , compléter le tableau :
|
Mesure
de A |
.7 |
21:3,5 |
35 |
63 |
70 |
280 |
700 |
|
Mesure
de B |
2 fois 3,5 |
6 |
10 |
18fois3,5 |
20 |
80 |
200fois 3,5 |
|
Recherche
de k |
|
|
B fois 3,5 = A |
|
|
|
|
3°) Idem.
|
10 |
11 |
15 |
24 |
27 |
|
2 |
2,2 |
3 |
4,8 |
5,4 |
|
|
|
3
fois 5=15 |
|
|
4°) La suite de nombres S1 [3,5 ;5,7 ;4 ;9] est proportionnelle
à la suite de nombres S2 [a ;b ;c ;d] Le coefficient
de proportionnalité S1 sur S2 est de
3 . Calculer a ;b ;c ;d
|
|
3,5 |
5,7 |
4 |
9 |
|
K=3 |
10,5 |
17,1 |
12 |
27 |
INTERDISCIPLINARITE
PROBLEMES :
A ) La longueur (L) du cercle est donnée en
fonction du diamètre (D); compléter le
tableau suivant :
|
D |
5 |
10 |
12 |
25 |
28,2 |
|
L |
15,7 |
31,4 |
37,68 |
78,5 |
88,548 |
Les deux grandeurs sont-elles
proportionnelles ?
Les grandeurs sont proportionnelles :puisque "pi" est égal à
"k"
B ) Un cycliste parcourt 12km en 45mn .Un autre
17km en 50mn .Les distances parcourues sont-elles directement proportionnelles aux durées du
parcours ?
12: 45 =0,26666666
17:50 =0,34
Conclusion: Les distances parcourues ne
sont pas directement proportionnelles
aux durées du parcours
Partages
proportionnels:
Trois associés ont investi dans la même
entreprise :le premier :10 000 F
,le deuxième : 14 000 F
;le troisième :26 000 F. Ils ont gagné 13 680F.
Partager
le gain proportionnellement aux mises des associés .
|
Somme investie : |
14000+10000+26000=50000 |
|
|
Le premier aura : |
|
2736 |
|
Le deuxième aura |
|
3830,40 |
|
Le troisième aura |
|
7113,60 |
|
|
Total = |
13680 |
