Corrigé : PROBLEMES d’algèbre du premier degré (Résolution)

CONTROLE :

Citer les 4 parties de la résolution d’un problème d’algèbre :

La résolution d'un problème par l'algèbre peut se décomposer ainsi:

1°) choix de la ou des inconnues

2°) Mise en équation

3°)résolution des équations

4°)discussion du problème

EVALUATION

1°) Un fermier porte au marché un certain nombre d'œufs , qu'il compte vendre 100 centimes pièce ; il en casse 6 , mais il trouve à vendre les autres 150 centimes pièce et rapporte ainsi chez lui 10 francs de plus qu'il ne comptait en partant. Combien avait-il d'œufs?

On désigne par "x" le nombre d'œufs qu'il avait au départ ; la somme que le fermier comptait rapporter chez lui sera désignée par 10x ,si nous choisissons le centime comme unité. L'énonce nous apprend qu'il vend x-6 œufs à 15 centimes , ce qui lui rapporte (x-6) 15 , et qu' il obtient ainsi 10 francs , c'est à dire 1000 centimes de plus qu'il ne comptait ; l'équation du problème est donc :

(x-6)150 = 100 x+1000

on en conclut :que 50x = 1900

x = 38

La réponse est donc : le fermier avait au départ 38 œufs. Il n'y a pas de discussion, cette solution convenant parfaitement à la question posée. Il est bon de vérifier le résultat ; s'il ne satisfait pas aux conditions du problème , on devrait en conclure que l'on a fait quelque erreur et chercher à la découvrir.

On voit que 38 œufs à 100 centimes donnent 38 Francs; si l'on à 6œufs de moins , c'est à dire 32 , mais qu'on les vende 150 centimes on obtient 48 francs, c'est bien 10 franc de plus. Le résultat trouvé est donc exacte.

Pb N°2 :

Un marchand de vin désire obtenir 100 litres de vin lui revenant à 5 francs le litre en mélangeant du vin qui lui coûte 3,50 francs le litre avec du vin qui lui coûte 9,50 francs le litre. Combien doit-il prendre de litres de vin de chaque espèce?

Résolution:

Désignons par "x" le nombre de litres de vin à 3,50 francs , puisqu'il faut 100 litres en tout ,le nombre de litres de vin à 9,50 francs est de 100-x .Le prix total de revient des "x" litres à 3,50 et de 100-x litres à 9,50 doit être égal au prix de 100 litres à 5 francs c'est à dire à 500 francs.

On a donc l'équation:

3,50x + 9,50(100-x)=500

Aussi : on obtient :

3,50x + 950-9,50x=500

3,50x -9,50x = 500- 950

-6 x = -450

x =

x = 75

Il faut donc prendre 75 litres à 3,50 francs et , par suite, 25 litres à 9,50 Francs

Une vérification s'impose : ……!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Pb N°3 : Un voleur s'est emparé d'une bicyclette et s'enfuit sur une route avec une vitesse de 20 km à l'heure ; on s'en aperçoit 3 minutes après son départ et un bicycliste s'élance à sa poursuite avec une vitesse de 22 km à l'heure .Au bout de combien de temps le rattrapera-t-il ? (les vitesses sont des vitesses moyennes)

Résolution:

Désignons par "x" le temps cherché , exprimé en minutes ,et compté à partir du moment où le voleur est parti ; lorsque le bicycliste le rattrape , ils ont parcouru le même chemin , le premier ayant roulé pendant "x" minutes avec une vitesse de 20 à l'heure et le deuxième ayant roulé pendant x-3 minutes avec une vitesse de 22 à l'heure .Comme le chemin parcouru pendant une minute est 60 fois plus petit que le chemin parcouru pendant une heure , l' équation du problème sera :

ou , en multipliant les deux membres par 30

10x = 11(x-3)

d'où x = 33

Le voleur est rattrapé 33 minutes après sont départ .

A vérifier …!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Pb N°4:

Un père a 40 ans et son fils en a 16 ; quand l'âge du père sera-t-il triple de celui du fils ?

Désignons par "x" le temps cherché , compté en années à partir de l'époque actuelle, et supposé positif dans l'avenir. A l' époque "x" , l'âge du père sera 40+x et l'âge du fils 16+x ; on doit donc avoir , d'après l'énoncé

40 +x = 3 ( 16+ x )

c'est à dire : -2x = 8

x= -4

Discussion: Nous trouvons comme solution un nombre négatif ; or nous avons désigné par "x" un temps compté positivement dans l'avenir ; nous devons en conclure que c'est il y a 4 ans que l'âge du père était triple de celui du fils. En effet , le père avait alors 36 ans et le fils 12.