@

Titre

N°20

CORRIGE : TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur PYTHAGORE

Le théorème ; la Propriété de PYTHAGORE et sa réciproque.

CORRIGE :TRAVAUX N° 20 d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

1°) Enoncer le théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle , la somme des carrés des longueurs des côtés formant l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse .

2°) Soit le demi carré :

a) Etablir la relation permettant de calculer : AD² = AE² + ED²

b) Donner la relation permettant de calculer A D =

3°) Enoncer la réciproque de Pythagore.

Si dans un triangle , le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des autres longueurs des deux autres côtés , alors le triangle est rectangle .

4°) Citer 3 possibilités permettant d ’ identifier un triangle rectangle .

Pour identifier un triangle rectangle , on peut :

- vérifier que ses dimensions satisfont la réciproque de la propriété de Pythagore ;

- vérifier qu'il est inscrit dans un demi - cercle dont le diamètre est l'hypoténuse du triangle .

- vérifier qu'un de ses angles est droit à l'aide d'une équerre ou un rapporteur .

CORRIGE :TRAVAUX N° 20 d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION

1°)

Soit un triangle rectangle NMP , rectangle en M .

Ecrire la relation de Pythagore.

Calculer NP .

Solution : NP² = NM² + MP²

NP² = 6,5² + 7,2² = 42,25 + 51,84 = 94,09 ; ; NP = 9,7

2°)Réciproque :

a) Le triangle BAC dont les côtés mesurent respectivement : 30 ; 40 ; 50 mm ; est - il rectangle .si 30² + 40² est égal à 50² alors BAC est rectangle ; 900 + 1600 = 2500

b) Le triangle BAC dont les côtés mesurent respectivement : 15 ; 20 ; 30 mm ; est - il ? . 15² = 225 ; 20² = 400 ;( 15² + 20² = 625 ; 30² = 900 ;donc le triangle BAC n ‘ est pas rectangle .)

4°) Calculs sur la recherche de la troisième dimension du triangle rectangle.

Faire les exercices suivants : ( voir le cours pour le corrigé)

1°) Exercice .

On donne : AC = 4 ; AB = 3 ;

Calculer CB

On donne : AC = 4 ; AB = 3 ; calculer CB .

Solution :

1°) BC² = AC² + AB ²

2°) BC² = 16 + 9 ; BC² = 25

3°) BC =

4°) BC = 5

2°) exercice .

On donne : BC = 20 ; AC = 16 ;

Calculer AB.

Résumé : BC = 20 ; AC = 16 ; calculer AB.

Calcul de AB

1°) BC² = AC² + AB ² ; 20² = 16² + AB²

2°) AB² = 400 - 256 ; AB² = 144

3°) AB =

4°) AB = 12

3°) Exercice .

On donne : BC = 42 ; AB = 21 ;

Calculer de AC.

En résumé : BC = 42 ; AB = 21 ;calculer de AC.

1°) BC² = AC² + AB ²

2°) 1 764 = AC² + 441

3°) AC² = 1 764 - 441 ; AC² = 1323

4° AC = ; AC » 36, 37 ( à 0,01 près)

4°) Compléter le tableau

« Le triangle est rectangle ! ! ! !»

	a	750 mm	37 cm	53 cm	0,65 m	295 mm
	b	450 mm	35 cm	45 cm	0,56 m	2,36 dm
	c	600 mm	12 cm	280 mm	0,33 m	72,31 mm

I ) 450² + 600² = 202500 + 360000 = 562500 ; racine carrée de 562500 = 750 mm

II) 37² -35² = c² ; c² = 1369 - 1225 = 144 ; c = 12 cm

III) 28² + 45 ² = 784 + 2025 = a² ; a = 53 cm

IV) 0,65 ² - 0,33 ² = b² ; 0,4225 - 0,1089 = 0,3136 ; b = 0,56 m

V) 295² - 236 ² = 87025 - 81796 ; c = (environ à 0,01 prés) 72,31 mm

Série II

N°1	Données :	Résolution :
	BA = 108 mm	BC² = BA² + AC²
	CA = 45 mm	BC² = 108 ² + 45 ²
	Calculer :	Donc BC = racine carrée de la somme calculée.
	« a » = ?

N°2	Données :	Résolution :
	DF = 127 mm
	DE = 156 mm
	Calculer : FE = x ; à 0,1 mm prés
		« x » = 201,2 mm

N°3	Données :	Réponse :
	CA = 74 cm
	CB = 24 cm
	Calculer AB.
		AB = 70 cm (AB² = 5476 - 576 )
	Données :	Réponse :
	NM = 13,75 cm
	NT = 11 cm
	Calculer TM
		TM = 8,25 cm

N°5	Application : Diagonale d’un rectangle	Données :	Résolution :
		AB = 170 cm	Réponse 28 900 - 9025 = S…. Racine de S….. = d = 141 cm
		BC = 95 cm
		Calculer AC = « d » ( à 0,1 cm prés.)

N°6	Triangle quelconque :	Données :	Résolution :
		CB = 114 cm	AB = 110 cm ; AC² = 43² + 83 ² = 1849 + 6889 racine de AC² = 93, 47727… Soit AC = 93
		HB = 71 cm
		« h » = 83 cm
		Calculer : AB = x ( à 1 mm prés) AC = y (à 1 mm prés)
N°7	La diagonale d’un carré	Données :	Résolution
		BC = 32 dm	BD ² = 1024 + 1024 BD² = 2048 Ou = 2 fois 1024 BD = 32 BD = 45,3 dm
		En déduire la valeur de AB ; CD ; AD. Calculer BD ( = d) à 1 cm prés.
7 b ++	Etudier le cas où AB = 1 dm : d = racine de 2		d = 1 soit
N°8	Le triangle rectangle isocèle	Données :	Réponse :
		-Calculer l’angle E : -Quelle est la nature du triangle ? -DE = 160 cm En déduire EF Calculer DF	Angle E = 90° L’angle E est un angle droit. Le triangle est rectangle isocèle, C’est un demi carré !!
			EF = DE = 160 cm


8 b ++	Calculer DE si DF est égal à 6 cm

N°9		Données :	Réponse :
		Sachant que DC = 31 m
		CB = 33 m et BA= 56 m
		Calculer AC ( à 0,1 m prés)
			CA ² = 3136 + 1089 CA = 65 m DA² = 4225 + 961 DA = 72 m
N°10		Données :	Réponse :
		En déduire l’angle C	l’angle C = 90 °
		Que peut -on dire du triangle ACB , au regard du triangle ADB ?	Le triangle ACB est un triangle rectangle et aussi un demi triangle équilatéral.
		Quelles sont les valeurs des angles : A CB = D C A = C D A = CAD =	A CB = 90 ° D C A = 90 ° C D A = 60 ° CAD = 30 °

10 b +++	On donne AC = 60 , calculer la valeur de AB puis BC

Problème 1 : La hauteur sous plafond est de 250 cm ; les dimensions d’une armoire sont de 243 cm par 72 cm par 45 cm. L’armoire est couchée, parviendra-t-on à la « redresser » ?

Problème 2 : On achète une échelle de 10 m déployée ; on l’adosse à un mur ; la législation impose que la distance entre le pied de l’échelle et le mur doit être au moins égale à H / 4 . Faire le croquis ; quelle est la hauteur que peut atteindre le haut de l’ échelle ?

NIVEAU +++ : Géométrie dans l’espace

N°11

Dimensions de cube. 5 cm de côté

Calculer :

Réponse :

BA =

AC =

BC =

Quelle est la nature du triangle ?

Quelle est l’aire du triangle ABC ?.

BA = 5 fois racine de 2

AC = 5 fois racine de 2

BC = 5 fois racine de 2

Quelle est la nature du triangle ?

C’est un triangle équilatéral

Quelle est l’aire du triangle ABC ?.

N° 12

Cube :

Données :

Réponse :

Le cube mesure 8 cm de côté .

« J » est le milieu de E F.

« I » est le milieu de AB

Calculer la longueur de I J

N° 13

Parallélépipède rectangle .

Données :

Réponse :

Les dimensions du prisme droit sont :

8 cm X 5 cm X 5 cm

Calculer CH

Calculer FH

Calculer BH

N° 14

Problème : niveau V

Parallélépipède rectangle .

Données :

Les dimensions du prisme droit sont :

6 cm X 4 cm X 3 cm

la vue de face mesure 6 cm par 3 cm.

1°) Tracer le prisme en perspective cavalière.

2°) Calculs :

Calculer ED

Calculer FH

Calculer HC

3°) calculer la surface latérale du prisme.

4°) calculer la surface totale du prisme.

5°) Calculer le volume du prisme.

6°) Calculer la masse du prisme ( masse volumique = 1,2 kg / dm³

7°) Calculer le poids du prisme.