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Titre

N°20

CORRIGE : TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur PYTHAGORE

Le théorème ; la Propriété de PYTHAGORE et sa réciproque.

 

CORRIGE :TRAVAUX  N° 20   d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

1°) Enoncer  le théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle , la somme des carrés des longueurs des côtés formant l'angle droit est  égale au carré de la longueur de l'hypoténuse .

2°) Soit le demi carré :

a)   Etablir la relation permettant de calculer : AD²  = AE² + ED²

b)   Donner la relation permettant de calculer A D = 

3°) Enoncer  la réciproque de Pythagore.

Si dans un triangle  , le carré   de la longueur  d'un côté   est égal à la somme  des carrés des autres longueurs des deux autres côtés  , alors le triangle est rectangle .

4°) Citer 3 possibilités permettant d ’ identifier un triangle rectangle .

Pour identifier un triangle rectangle  , on peut :

-          vérifier que ses dimensions  satisfont la réciproque  de la propriété de Pythagore ;

-          vérifier qu'il est inscrit dans un demi - cercle dont le diamètre est l'hypoténuse  du triangle .

-          vérifier  qu'un de ses angles est droit à l'aide  d'une équerre ou un rapporteur .

 

CORRIGE :TRAVAUX N° 20   d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

1°)

Soit un triangle rectangle NMP , rectangle en M .

Ecrire la relation de Pythagore.

Calculer NP .

 

Solution :  NP² = NM² + MP²

 NP² = 6,5² +  7,2²  =  42,25 + 51,84 = 94,09   ;   ;     NP   = 9,7

)Réciproque :

a) Le triangle BAC dont les côtés mesurent respectivement : 30 ; 40 ; 50 mm ; est - il rectangle .si 30² + 40² est égal  à 50² alors BAC est rectangle ; 900 + 1600 = 2500

b) Le triangle BAC dont les côtés mesurent respectivement : 15 ; 20  ; 30 mm ; est - il ? . 15² =  225 ; 20² = 400 ;( 15² + 20² = 625 ;  30² = 900 ;donc le triangle BAC n ‘ est pas rectangle .)

4°) Calculs  sur la recherche de la troisième dimension du triangle rectangle.

Faire les exercices suivants  : ( voir le cours pour le corrigé)

1°) Exercice .

On donne : AC = 4  ; AB = 3 ;

Calculer  CB

 

On donne  : AC = 4  ; AB = 3 ; calculer  CB .

Solution :

1°) BC²  = AC²  + AB ²

2°) BC²  = 16  +  9 ;  BC²  = 25

3°) BC =

4°) BC = 5

2°) exercice .

On donne : BC = 20 ; AC =  16 ;

Calculer AB.

 

Résumé :   BC = 20 ; AC =  16 ; calculer AB.

Calcul de AB

1°)   BC²  = AC²  + AB ² ;  20²  =  16²   + AB²

2°)   AB² = 400 - 256       ;   AB² =  144

3°)   AB  =

4°)  AB = 12

3°) Exercice .

On donne : BC = 42 ;  AB = 21 ;

Calculer  de  AC.

 

 

En résumé : BC = 42 ;  AB = 21 ;calculer  de  AC.

1°) BC²  = AC²  + AB ²

2°) 1 764  = AC²  + 441

3°) AC² = 1 764 - 441  ;  AC² =  1323

  AC =    ;   AC »  36, 37  ( à 0,01 près)

 

4°) Compléter le tableau

 « Le triangle est rectangle ! ! ! !»

 

   a

750 mm

37 cm

53 cm

0,65 m

 295 mm

    b

450 mm

35 cm

45 cm

0,56 m

2,36 dm

    c

600 mm

12 cm

280 mm

0,33 m

72,31 mm

I ) 450² + 600² = 202500 + 360000 = 562500 ;  racine carrée de 562500 = 750 mm

II) 37² -35² = c² ;  c² =  1369 -  1225 =  144 ; c = 12 cm

III)  28²  + 45 ² =  784 + 2025 = a²   ; a = 53 cm

IV)  0,65 ² - 0,33 ²  = b² ;  0,4225 - 0,1089 = 0,3136 ; b = 0,56 m

V)  295² - 236 ² = 87025 - 81796 ;   c = (environ  à 0,01 prés)  72,31 mm

Série II

N°1

Données :

Résolution  :

BA = 108 mm

BC² = BA² + AC²

CA = 45 mm

BC² = 108 ² + 45 ²

Calculer :

Donc BC = racine carrée de la somme calculée.

« a » = ?

 

 

N°2

 

Données :

Résolution  :

 

DF =  127 mm

 

DE =  156 mm

 

Calculer : FE  = x   ; à 0,1 mm prés

 

 

« x » =  201,2 mm

 

N°3

 

Données :

Réponse :

 

CA  = 74 cm

 

CB = 24 cm

 

Calculer  AB.

 

 

AB = 70 cm

 

(AB²  = 5476 - 576 )

 

 

Données :

Réponse :

 

NM  = 13,75 cm

 

NT = 11 cm

 

Calculer  TM

 

 

TM =  8,25 cm

 

 

N°5

Application : Diagonale d’un rectangle

Données :

Résolution :

 

AB = 170 cm

Réponse

 

28 900 +  9025 =  S….

 

Racine de  S…..

=  d = …………… cm

 

vérification graphique : tracer ce triangle :

AB = 170 mm ; BC= 95 mm ; reste à relever la mesure de l’hypoténuse AC

BC = 95 cm

Calculer AC = « d »  ( à 0,1 cm prés.)

 

N°6

Triangle quelconque :

Données :

Résolution :

 

CB = 114  cm

AB = 110 cm ;

 

AC² =  43² + 83 ²

     = 1849 + 6889

 

racine de AC²  =

          93, 47727…

Soit AC = 93

HB = 71 cm

« h »  =  83 cm

Calculer :

 

AB = x    ( à 1 mm prés)

 

AC = y  (à 1 mm prés)

 

N°7

La diagonale d’un carré

Données :

Résolution

 

BC =  32 dm

BD ² = 1024  + 1024

BD² = 2048

Ou  = 2 fois 1024

 

BD =  32

 

BD = 45,3 dm

 

 

En déduire  la valeur de AB ; CD ; AD.

 

Calculer BD  ( = d)  à 1 cm prés.

7 b

++

Etudier le cas où  AB = 1 dm   : d = racine de 2 

 

d   =  1   soit

N°8

Le triangle  rectangle  isocèle

Données :

Réponse :

 

-Calculer l’angle E :

 

-Quelle est la nature du triangle ?

 

-DE = 160 cm

En déduire  EF

Calculer DF

Angle E = 90°

L’angle E est un angle droit.

Le triangle  est rectangle  isocèle, C’est un demi carré !!

 

EF = DE = 160 cm

 

 

8 b

++

Calculer  DE si  DF  est égal à   6 cm 

 

 


 

N°9

 

Données :

Réponse :

 

Sachant que DC = 31 m

 

CB = 33 m   et  BA= 56 m

 

Calculer  AC  ( à 0,1 m prés)

 

 

CA ² = 3136 + 1089

CA = 65 m

 

DA² = 4225 + 961

DA = 72 m

N°10

 

Données :

Réponse :

 

 

En déduire l’angle C

l’angle C = 90 °

Que peut -on dire du triangle ACB , au regard du triangle ADB ?

Le triangle ACB est   un triangle rectangle et aussi un demi triangle équilatéral.

Quelles sont les valeurs des angles :

A CB   =

D C A  =

C D A  =

CAD    =

 

 

 

 

 

A CB  =  90 °

D C A =  90 °

C D A  = 60 °

CAD    = 30 °

 

 

 

10 b

+++

On donne AC = 60 , calculer la valeur de AB puis BC

 

 

 

Problème 1 :     La hauteur sous plafond est de 250 cm ; les dimensions d’une armoire sont de 243 cm par 72 cm  par 45 cm. L’armoire est couchée, parviendra-t-on à la « redresser » ?

 

Problème  2 : On achète une échelle de 10 m déployée ; on l’adosse à un mur ; la législation impose que la distance entre le pied de l’échelle et le mur doit être au moins égale à H / 4 . Faire le croquis ; quelle est  la hauteur que peut atteindre le haut de l’ échelle ?

 

 


NIVEAU +++ :  Géométrie dans l’espace

 

N°11

Dimensions de cube.   5 cm de côté

Calculer  :

Réponse :

BA =

 

AC =

 

BC =

 

Quelle est la nature du triangle ?

Quelle est l’aire du triangle ABC ?.

BA = 5 fois racine de 2

 

AC = 5 fois racine de 2

 

BC = 5 fois racine de 2

 

Quelle est la nature du triangle ?

C’est un triangle équilatéral

Quelle est l’aire du triangle ABC ?.

 

 

 

 

 

N° 12

Cube : 

Données :

Réponse :

Le  cube  mesure 8 cm de côté .

« J » est le milieu de E F.

 

« I »  est le milieu de AB

Calculer  la longueur de  I J  

On note :  K milieu de BC .

 

J K I est un triangle rectangle :

JK = 8 cm

  • Il faut calculer la longueur de I K :

IK =  

IB = BK = 4 cm

IB² et BK ² =  16

D’où

IK =

IK =  ;  

  • Calcul de   IK ² = (

D’où IK² = 32

 

  • Calcul de IJ ²:

 

IJ² = IK² + JK²    ;  JK ² = 8²  ; JK²= 64

IJ² =  32  + 64

IJ² =  96

Donc :

 

IJ  =

 

N° 13

Parallélépipède rectangle .

Données :

Réponse :

 

Les dimensions du prisme droit sont :

 8 cm X  5 cm X 5 cm

Calculer  CH

Calculer  FH

Calculer  BH

Pythagore :

 

  • Calcul de CH :

CH² = CG² + HG ²

 

CH =  Reste à calculer la racine carrée de CG² + HG ²

 

  • Calcul de FH :

FH² = EF² + EH²

 

FH  =  Reste à calculer la racine carrée de EF² + EH ²

 

a

CG = GH = 5

 

EF = 5 ; EH = 8

 

BF = 5 ; FH se calcul.

Calcul de BH :

 

BH ² =  BF ² + FH ²

 

BH  =  Reste à calculer la racine carrée de BF² + EH ²

 

 

 

 

 

N° 14

Problème : niveau V

Parallélépipède rectangle .

Données :

 

 

Les dimensions du prisme droit sont :

 6 cm X  4 cm X 3 cm

 

la vue de face mesure  6 cm par 3 cm.   Voir la face : ADHE

 

1°) Tracer  le prisme en perspective cavalière.

 

2°) Calculs :

Calculer  ED  =  racine carrée de ( DH² + EH² )

Calculer  FH   = racine carrée de (FE ² + EH²)

Calculer  HC  = racine carrée  de  ( CG² + HG ²)     ou  racine carrée de  ( CD² + DH²)

 

3°) Calculer la surface latérale du prisme.

( Lg de BC + lg CD + lg DA  + lg AB ) ( lg de DH ) =  

4°) Calculer la surface totale du prisme.

 

5°) Calculer le volume du prisme.

 

6°) Calculer la masse du prisme  ( masse volumique = 1,2 kg / dm3 )

0,6 x 0,4 x 0,3 x 1,2 = …………………..kg 

 

7°) Calculer le poids du prisme. ( P = m g )   ; P = 0,6 x 0,4 x 0,3 x 1,2 x 9,81=…..N