Leçon

Titre

N°19

CORRIGE TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

GEOMETRIE dans L ’ ESPACE et  AIRES  et " VOLUME  de solides usuels "

 

TRAVAUX      d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE:

 

 

1°) Compléter le tableau suivant:

 

Nom

Symbole

Correspondance en m3  en valeur décimale et sous forme de puissance de 10

Kilomètre cube

 km3       ( = 1000m)3

 1 km3  =1 000 000 000 m3 = 1 ´ 10 9   m3

Hectomètre cube

h m3       ( = 100m)3

1 h m3  =        1 000 000 m3 =  1 ´ 10 6  m3

Décamètre cube

da m3      ( = 10m)3

 1da m3 =              1 000 m3 =  1 ´ 10 3  m3

Mètre cube

m3          ( = 1m)3

                  1  m3  = 1´ 10 0  m3

Décimètre cube

d m3       ( = 0,1m)3

1 d m3  =     0 , 001 m3 =     1 ´   10 -3 m3

Centimètre cube

c m3       ( = 0,01m)3

1 c m3  =     0, 000 001 m3 =  1 ´  10 -6   m3

Millimètre cube

m m3     ( = 0,001m)3

1 m m3 =  0 , 000 000 001m3 =  1 ´  10-9 m3

 

 

2°) Compléter la phrase suivantes :

Les unités principales de mesure de volumes et de capacité sont : Le mètre cube et le litre .

Un litre a un volume  égal  à un décimètre cube .

Il  faut savoir que  1 décimètre cube  ( dm3) contient un volume équivalent à 1 litre d’eau pur à 4° Centigrade .

· mesures équivalentes :

 1dm3  = 1 l    ; Un litre = 100 cl ;  100 cl = 1 dm3 = 1000 cm3  donc 1cl = 10 cm3

et  1m3   = 1000  dm3   =  1 000  litres ;  1 cm3 = 1000 mm3 

 

3°) tracer le tableau de conversion des unités de volumes  ( et capacité ) .

 

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°) Donner la procédure permettant de transformer l ' unité de volume  en multiples ou sous multiples à partir d'une grandeur donnée.

Pour remplir le tableau en vue de faire une conversion il faut respecter la procédure  suivante:

 

1°) placer la virgule du nombre donné sur le trait vertical "droit" de l'unité donnée.(  da m3 ,  )

2°) placer les chiffres du nombre dans en respectant  l ' ordre donné :

 

3°) il faut déplacer le virgule  ; la mettre sur le trait vertical "droit" de l' unité "demandée "  (d m3 , ) compléter de "zéros" éventuellement !

4° ) il suffit de reporter le résultat  , (lu sur le tableau )

 

5°) Pour effectuer la perspective cavalière d'un cube  ,quelles sont les informations que l'on doit posséder ?

Pour effectuer la perspective cavalière du cube   il faut connaître  comme dimensions : la longueur de son côté  , le coefficient "k" , et l'angle alpha .

 

6°) Pour effectuer la perspective cavalière d'un parallélépipède rectangle   ,quelles sont les informations que l'on doit posséder ?

 

Pour effectuer la perspective cavalière du parallélépipède rectangle  il faut connaître  comme dimensions : la longueur , la hauteur  , la largeur , ( ou profondeur) , le coefficient "k" , et l'angle alpha .

7°) Donner la procédure  à appliquer pour effectuer  la perspective d’un parallélépipède rectangle.

Procédure :  tracer la face en vraie grandeur , puis les fuyantes inclinées de alpha par rapport à l' horizontal . Calculer la longueur des fuyantes , limiter la longueur des fuyantes , tracer les verticales .

 

8°) Cube :  Si  la  longueur de l'arête est notée  "a" . donner les formules permettant de calculer :

l' Aire latérale =   4 a² ;  l ' Aire totale = 6 a²  ; le Volume du cube  = a3 .    

 

9°)  Parallélépipède rectangle .

Donner la formule permettant de calculer

Aire latérale ;

Aire totale ;

Volume  ;

Compléter la phrase : pour les calculs  les dimensions doivent être exprimées dans   "…………………   "  de longueur .

 

Solution : 

1°) on convertit dans la même unité  ( cm)  les dimensions :

.

2°) Aire latérale ( somme des aires des côtés latéraux ) : 

      A l   =  2 h ( L + l ) = 

3°) Aire totale  ( somme des aires des côtés latéraux et des bases ) :

     A t  = 2 h ( L + l )  + 2  L l   =

4°)  Volume du parallélépipède rectangle  :  

            V =  L l h  =   

10° ) Cylindre :

La hauteur étant notée : "h" et le rayon : "R"

L'aire latérale :  A l = 2p R h .

L'aire de la base ( et de la face supérieure ) : A  b = 2p R ²

L'aire totale  ( l'aire latérale + l'aire des deux disques) = 2p R h  + 2 (2p R ² )

Volume  :  V  = aire d'une base  hauteur ;   V = 2p R ² h

 


 

TRAVAUX      d ’ AUTO - FORMATION : EVALUATION

 

1°)  convertir :  

32,24 dam 3  =  32 240 000 dm3  = 32 240 m3  = 0,032 24 hm3 ;

= 32 240 000 000 000 mm3

= 32 240 000 000 cm3

)Placer  1 765 , 798  m3   ; 5,3 m3  ; 78 507 dm3  ; 2854 cm3  ; 5 832 mm3 dans le tableau  ci - dessous :

km3

 

hm3

 

dam3

 

m3

 

dm3

 

cm3

 

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

solutions :

km3

 

hm3

 

dam3

 

m3

 

,

,

dm3

 

 

 

,

cm3

 

 

 

 

,

mm3

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

7

6

5

7

9

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

5

0

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

8

3

2

Suite :En utilisant le tableau ci dessous  convertir :

 1 765 , 798  m3   en   ………………………………dm3

 5,3 m3       = ………………………..dm3

 78 507 dm3 =  ……………………m 3

 2854 cm3    = ……………………m3

 5 832 mm3  = …………………….cm3

Solutions : on reprend le tableau  rempli dans  l’activité 1

On fait dans l’ordre : On complète de zéro ; on retire la virgule ; la déplacer dans la colonne de  droite de l'unité  demandée.

km3

 

hm3

 

dam3

 

m3

 

 

 

,

dm3

 

,,

 

cm3

 

 

 

 

 

,

mm3

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

7

6

5

7

9

8

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

5

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

7

8

5

0

7

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

2

8

5

4

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

0

0

5

8

3

2

1 765 , 798  m3   = 1  765  798 dm3 ;

 5,3 m3 =  53 000 dm3

 78 507 dm3 =  78, 507 m 3

 2854 cm3  = 0, 002 854 m3

 5 832 mm3  = 5 , 832 cm3

 

 

)Compléter le tableau de conversion:

 

1 m3

1 dm3

 1 cm3

1 mm3

1 m3

1

1 000

1 000 000

1 000 000 000

1 dm3

0,001

1

 1000

1 000 000

1 cm3

0,000 001

0,001

1

1 000

1 mm3

0,000 000 001

0,000 001

0,001

1

 

3°) Convertir  successivement : ( il suffit pour trouver les conversions  successives de  déplacer la virgule et de relever le résultat ).

 1 765 , 798  m3   en   ……1 765 79 8  ……dm3

1 765 , 798  m3   en   1 , 765 798  …dam3

 5,3 m3 = ………5300………..dm3  = ……5 300 000……cm3 ;

 78 507 dm3 =  ……78,507…m 3 = ……78 507 000…cm3;

 2854 cm3  =  0,002 854  m3 =2,854dm3 = 2 854 000 mm3.;

 5 832 mm3  = 5 , 832 cm3  = 0,005 832 dm3

)Convertir dans l ' unité demandée:

 

Convertir en :

Convertir en :

validation

270 dl

27

l

2,7

dal

 

1,52 l

1520

ml

0,00152

kl

 

212,33 kl

21233

dal

2123,3

hl

 

11,50 l

1150

cl

0,1150

hl

 

270 d m3

0,270

m3

0,000 270

dam3

 

1,52 m3

1520 000 000

m m3

0,000 000 00152

k m3

 

212,33 k m3

212330 000

dam3

212330

h m3

 

11,50 m3

11500000

c m3

0,00001150

h m3

 

125600 m m3

125,6

c m3

0,1256

d m3

 

6,75  d m3

6,75

l

67,5

dl

 

1419000 cm3

1,419

m3

1419

d m3

 

27900 da m3

27,90

h m3

27 900 000

m3

 

22,4 dal

0,224

m3

2240

d m3

 

119  cm3

119

ml

0,119

l

 

 

5°) Perspective cavalière :

Dessiner un cube d'arête 5 cm en perspective cavalière  avec  l'angle µ  = 30°  et k = 0,4.

 

)Le CUBE :

Description :

 

 

Citer :

-         deux arêtes  parallèles :  exemples  AB //DC //HG//EF ; ou AD//BC//FG//EH ; ou AE//FB//GC//HD…

-         deux arêtes perpendiculaires : …AB et BC ; AB et FB ………………………..

-         Deux faces parallèles :…exemples : (ABCD) et (EFGH) ; (BFGC)  et ( AEHD) ; (AEFB) et (DHGC)

Deux faces perpendiculaires: …exemples : (ABCD) et ( AEFB) ou et (BFGC)…et ainsi de suite.

Calculs :

7°) Un cube  a   une arête de  longueur   "a  = 30 mm"

Calculer :l' aire latérale ( en  mm² et cm² ) , l'aire totale  ( cm²)  , le  volume du cube ( mm3  puis cm3 ) .

Solution :

Aire latérale  ( 4 faces )  :  

   A = 4   ;  A = 4 fois 30 fois 30 = 4  30 30 =  3 600 mm²  ; ou   36 cm²

Aire totale   ( 6 faces)    : 

  A = 6 a²   ;  A = 6 fois 3 fois 3 = 6  3 3 =  54  cm²

Volume du cube  :  

  V = a3    ; V = 303030 =   27 000 mm3   ou  27 cm3

 

 

 

8°) Le parallélépipède rectangle :

Citer :

-         deux arêtes  parallèles : …exemple……EF //HG…………

-         deux arêtes perpendiculaires : …exemple……AD et  DC…………………..

-         Deux faces parallèles :…exemple……(ABFE)  et ( DCGH)

-         Deux faces perpendiculaires: ……exemple : ( ABFE ) et ( FGHE) .

 

9°) Représentation graphique du parallélépipède rectangle :

De la même façon que pour le cube , représenter en perspective cavalière un parallélépipède rectangle de longueur  7 cm  , de largeur  5 cm et de hauteur 3 cm avec un angle "alpha" =  45 °  et  "k"  = 0 , 6

 

10°)Calculs  Parallélépipède rectangle .

            Un parallélépipède rectangle  a pour dimensions :  L =  7,5 cm ; l = 50 mm ; h = 0,2 dm .

         Calculer  l'aire  latérale , l'aire totale ( exprimées en  cm² et mm² ) et le volume ( exprimé en mm 3  et cm3 ).

Solution : 

1°) on convertit dans la même unité  ( cm)  les dimensions :

L =  7,5 cm =  ; l = 50 mm = 5 cm  ; h = 0,2 dm = 2 cm .

2°) Aire latérale ( somme des aires des côtés latéraux ) : 

      A l   =  2 h ( L + l ) =  2 2 ( 7,5 + 5 ) = 50 cm²  ; =  5000 mm²

3°) Aire totale  ( somme des aires des côtés latéraux et des bases ) :

     A t  = 2 h ( L + l )  + 2  L l   =   2 2 ( 7,5 + 5 ) + 2  7,5  5 ;

       = 50 + 75 cm²  =  125 cm²

4°)  Volume du parallélépipède rectangle  :  

            V =  L l h  =  7,5 5  2 = 75 cm3

 

10°) Calculs   sur le cylindre :

Un cylindre a pour  dimensions : h = 110 mm  et     R =  52 mm  ; prendre pi = 3,14

Calculer L'aire latérale  ( en mm² et cm² ) ; L'aire de la base ( en mm² et cm² ); L'aire totale ( en mm² et cm² ); le volume ( en mm3 et cm3 ).

Solution :

a) L'aire latérale :

  A l = 2p R h .  ; A l = 2 3,14  52  110   =   35921,6 mm² ou   359 , 216 cm²

b) L'aire de la base ( et de la face supérieure ) :

 A  b = 2p R ²  ; = 2 3,14  52  52  = 16981,12  mm² soit   169 ,8112 cm²

c) L'aire totale  ( l'aire latérale + l'aire des deux disques) :

   A t = 2p R h  + 2 (2p R ² ) 

         = 35921,6 + 16981,12 =52902,72 mm²  ou 529, 0272 cm²

d)  Volume  :  V  = aire d'une base  hauteur ;

  V = 2p R ² h ;    2 3,14  52  52  110  = 1867923,2 mm3  ou 1867,9232 cm3