Premier degré - Niveau V

Auteur : WARME R.

MATHEMATIQUES :Niveau V.

INFORMATIONS « LIVRE » .

EQUATIONS du

Premier degré à une inconnue.

RESOUDRE des PROBLEMES DU PREMIER DEGRE de la forme : a x = b ; a x + b = c

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

Classe :…………………..

Année scolaire : ………………………

Dossier pris le : ……/………/………

Validation de la formation : O - N

Le : ……………………………………..

Nom du formateur : ……………………

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

@ conseils.	Titre
N°11	RESOUDRE UNE EQUATION du premier degré à 1 inconnue et PROBLEMES DU PREMIER DEGRE.

Pré requis :

a) Pour bien réussir la formation visée dans ce cours , il faut avoir réussi les 10 premières leçons qui étaient en lien avec le calcul numérique.

b) Il faudra aussi revoir le cours de « remise à niveau » sur les théorèmes concernant la transformation des égalités .

CHAPITRES

1°) Résoudre les équations du premier degré à une inconnue .	Info plus ! ! ! !
2°) Etude des équations de la forme : ax = b et ax + b = c menant à des problèmes du premier degré.	INFO plus !!!!
3°) Résoudre un problème mathématique à l'aide d'une équation du premier degré .	INFO 1plus !!! et INFO plus 2 !!!Problèmes résolus
4° ) ARITHMETIQUE : les partages inégaux .(résolution graphiques de problèmes du premier degré.)

COURS

i19 ;i29 ;i39

I Vocabulaire : Equation ; du premier degré ; à une inconnue ; membre ; terme ; facteur .

Info plus ! ! ! !

iPré requis au chapitre 1: revoir la leçon sur les calculs numériques et algébriques.

I.1. Définition de « équation »

Une équation est une égalité ; elle peut être « numérique » ou « algébrique » . Toutes les équations algébriques sont composées de chiffre (s) et lettre (s) et au moins une lettre appelée « inconnue » .

Une égalité est une équation toujours « vraie ». Ce qu’il y a dans le premier membre est toujours égal à ce qu’il y a dans le deuxième membre !!!

Par définition : Une équation possédant une inconnue ( "x" généralement ) est une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur * donnée à cette inconnue .

(* cette valeur , remplaçant « x » dans l’équation doit vérifier « l’identité : égalité vraie »)

I.2. Définition d ’une « équation du premier degré »

Définition :

Une équation du premier degré est une égalité dont la ou les inconnues sont de puissance 1.

Condition : il ne doit y avoir qu’une inconnue par terme ! ! ! ! cette inconnue se trouvée multipliées par un nombre ( 2 x ) , elle peut se trouver dans plusieurs termes !!!

Exemples :

i On écrit pas la puissance 1

i Les inconnues sont couramment appelées x, y ou z

x¹ + 3 = 0 que l’on écrit : x + 3 = 0 ;

2x¹ + - y¹ - 4z¹ = 15 que l’on écrit : 2x + - y - 4z = 15 ;

x¹ - y¹ = 6z¹ que l’on écrit : x - y = 6 z ;

2y¹ + 5 = 0 que l’on écrit : 2y + 5 = 0 ;

Exemples d’équations du 1^er degré : à une ou deux ou trois inconnues :

x + 3 = 0 ; 2 x - y - 4z = 15 ; x - y = 6z ; 2y + 5 = 0

i Remarquer et comparer avec les équations suivantes qui sont du second degré :

x ²+ 3 = 0 ; 2y² + 5 = 0 ; 2x + - y - 4z² = 15 ; x² y = 6z pour qu’une équation soit dit « du second degré » il suffit qu’une des inconnues possède un exposant « ² ». ou qu’un terme contient un produit de deux inconnues ( exemple x y = 6z )

I.3. Définition de « équation du premier degré à une inconnue »

Condition : il ne doit y avoir qu’une inconnue par terme, l’inconnue est toujours la même ! ! ! !

Définition : Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité dont un ou plusieurs termes contient une seule et même lettre est dont l’inconnue est de puissance 1.

Exemples : 5x = 8 ; - 7 x = 14 ; x + 3 = 0 ; 2y + 5 = 0 ; ; ; 3x - x = 8 ; 3x - x = - 7x + 3 ; y +3y = 12 ;…

Résumé :

1°) Définition d ’ une « équation » algébrique .

Une équation algébrique possédant une inconnue ( "x" généralement ) est une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur donnée à cette inconnue

2°) Définition d ’ une « équation du premier degré »

Une équation du premier degré possède un ou plusieurs termes contenant une ou plusieurs inconnues dont la puissance n’ est pas supérieur à « 1 » .

3°) Définition d ’ une « équation du premier degré à une inconnue »:

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité dont un ou plusieurs termes contient une seule et même lettre est dont l’inconnue est de puissance 1 .

Remarque : « Résoudre une équation » :

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue c’est rechercher par transformation et calcul la valeur de l’inconnue qui vérifie l’égalité vraie.

I.4. Définition de « membre » ; « terme » ; « facteur » .

Ces définitions ont déjà été étudiées , lorsque vous entrez en formation , pendant la phase d’homogénéisation !!!! voir le cours N°1 sur les égalités.

iDans une égalité l’expression algébrique à gauche du signe « égal » est appelé « premier membre » .

Dans une égalité l’expression algébrique à droite du signe « égal » est appelé « deuxième membre » .

Dans une équation , le signe " = " sépare les deux "membres".

Exemple :

A gauche de = : le Premier membre 3 x = 56 A droite de = : le deuxième membre .

Exemple 1 : Dans l’équation 3 x = 56 ; Chaque membre possède un seul terme . « 3x » et « 56 »

Le premier membre n’est composé que d’un seul terme « 3x » : 3 et x sont appelés : « facteur »

Le deuxième membre est un terme : c’est un nombre « 56 ». (quand le nombre ou lettre est seul , on déclare que ce terme est aussi « facteur » , puisque l’on peut le multiplier par « 1 ».

(exemple : prenons l’écriture suivante x + 7 = …….. ; x fois 1 = x et 7 fois 1 = 7 : donc les terme « x » et « 7 » sont aussi « facteurs » parce qu’ils ne sont pas associés à d’autres facteurs autre que « 1 »)

Exemple 2 : Etudions l’équation 3 x + 7 = - 4 x + 12 - 3 ,

Pour identifier les termes il faut transformer les 2 expressions en 2 sommes algébriques.

On transforme l’expression « x + 7 » en « somme » : (+x) + ( +7) et l’expression - 4x + 12 - 3 en « somme » : (- 4 x ) + ( + 12) + ( - 3)

L’égalité 3 x + 7 = -4 x + 12 - 3 devient l’ égalité : (+3 x) + ( +7) = (- 4 x ) + ( + 12) + ( - 3)

Le premier membre est composé de deux termes qui sont : « ( +3x )» et « (+7) » : (« 3 » et « x » sont appelés : « facteur » ) et (« +7 » est un « terme » et aussi « facteur »)

Le deuxième membre est composé de trois termes qui sont : « - 4 x » ; « +12 » et « -3 »

On retiendra les définitions suivantes :

Définitions

« Terme » : Un terme est composé de un ou plusieurs facteurs ., il se situe à gauche et ou à droite du signe + dans la somme algébrique.

« Facteur » : Un facteur est un nombre ou une lettre situé à gauche et à droite du signe ´ . ( on dit qu’un terme est constitué d’un produit de facteurs )

Remarque importante : il faut toujours penser à changer l’expression algébrique en somme algébrique si l’on veut identifier sans peine les termes et les facteurs.

+ACTIVITES « recherche de la valeur qui vérifie l’égalité vraie »

En calcul ,on laisse un « trou » , on demande de trouver le nombre manquant !

En algèbre on remplace le trou par une lettre « x » ou « y » ou « z » . Et on demande de remplacer la lettre par le nombre manquant !

	En calcul		En algèbre :	Résultat ( dit aussi « solution »)
Soit l ’ opération	En primaire on pose une opération à trou	En début de collège on pose	Au collège et au lycée on bouche le trou par une lettre. ( x ou y , z…) On prend généralement la lettre « x » .	Pour trouver le résultat on devine que le nombre manquant est : (il faut vérifier ,c’est à dire : mettre en place la valeur manquante , et puis on calcule ensuite on compare le résultat avec ce qui est demandé)
On reconnaît l’addition
2 + 3 = 5	2 + …..= 5	2 + __ = 5	2 + x = 5	5 - 2 = 3 En calcul : on bouche le trou avec « 3 » , En algèbre : on écrit que x = 3 ; On dit : « ixe vaut 3 »
On reconnaît une soustraction
7 - 4 = 3	7 - …… = 3	7 - ___ = 3	7 - x = 3	7 - 3 = 4 En calcul on bouche le trou par « 4 » , En algèbre on écrit que x = 4 On dit : « ixe vaut 4 »
7 - 5 = 2	….- 5 = 2	___ - 5 = 2	x - 5 = 2	5 + 2 = 7 En calcul on bouche le trou par « 7 » , En algèbre on écrit que x = 7 On dit : « ixe vaut 7 »
On reconnaît la multiplication
3 ´ 6 = 18	3 ´ ….. = 18	3 ´ ____ = 18	3 x = 18	18 ¸ 3 = 6 En calcul : on bouche le trou par « 6 » , En algèbre : on écrit que x = 6 On dit : « ixe vaut 6 »
6 ´ 4 = 24	….. ´ 4 = 24	___ ´ 4 = 24	x ´ 4 = 24 ou 4x = 24	24¸4 = 6 En calcul : on bouche le trou par « 6 » , En algèbre : on écrit que x = 6 On dit : « ixe vaut 6 »
On reconnaît la division .
16 ¸ 2 = 8	16 ¸ …. = 8	16 ¸ ___ = 8	16 ¸ x = 8	16 ¸8 =_2 En calcul : on bouche le trou par « 2 » , En algèbre : on écrit que x = 2 On dit : « ixe vaut 2 »
14 ¸ 2 = 7	…..¸ 2 = 7	____¸ 2 = 7	x ¸ 2 = 7	2 ´ 7 = 14 En calcul : on bouche le trou par « 14 » , En algèbre : on écrit que x = 14 On dit : « ixe vaut 14 »

C’est ainsi que l’on cherche à résoudre ; par exemple : 2 x = 7 ; 2 + x = 7 ; x - 2 = 7 ; x ¸ 2= 7 ; 2 - x = 7 ; ……

II. Résoudre les principaux types d'équations du premier degré à une inconnue.

Info plus ! ! ! !

Définition : « Résoudre une équation du premier degré à une inconnue » c'est rechercher après transformation et calcul une valeur de "x" qui vérifie que l'égalité numérique est "vraie".

Il faut donc "vérifier" si la valeur proposée convient : pour cela on remplace « x » par la valeur proposée et l’on effectue un calcul ,si l’égalité est vraie ,la valeur de "x" proposée , est validée. .

Toutes les résolutions se ramènent , toujours après transformation , et calculs successifs au modèle " x = ……….."

On peut recenser 11 exercices types à savoir résoudre .

le premier exercice type est évident et il ne fait pas l'objet d'une étude parti culière .( le 1 est élément neutre de la multiplication)

Exemples d’équations	Modèles types	La solution est	Résolution de l’exemple :
Pré requis : la multiplication
1 x = 7	a x = b	donc x = b /a ou	x = ; x = 7
5 x = 45	a x = b ou x a = b	donc x = b /a ou	x = ; x = 9
Pré requis : l ’ addition
5+ x = 45	a + x = b ou x + a = b	Donc x = b - a	x = 45 - 5 x = 40
Pré requis : la soustraction
5 - x = 45	a - x = b	Si b > a impossible	Voir les nombres relatifs.
8 - x = 6	a - x = b	Si a < b	On devine que x = 2
x - 5 = 45	x – a = b	donc x = b + a	x = 5 + 45 ; x = 50
Pré requis : le produit en croix
Exemples :	On reconnaîtra la forme mathématique	Transformation de la forme mathématique.	Résolution
	.	: c x = (b a) Donc x = (b a) /c	2 x = 5´ 6 2x = 30 ; x = 15
=	=	donc x = a c / b	2 ´ 5 = 6 ´ x 10 = 6 x x = 10 / 6
=	=	donc x = b a /c	5´ 6 = 2x 30 = 2 x x = 15
=	=	donc x = c a /b	6 x = 2 ´ 5 6x = 10 x = ( 10 / 6 )
On n’oubliera pas de vérifier que la valeur de « x » trouvée, vérifie l’égalité « vraie » . On remplace, la valeur de « x » dans l’équation de départ et puis ensuite on fait le calcul . Pré requis : transformer pour se ramener au produit en croix.
= 8	= b devient	donc x = b a	= ; x ´1 = 5 ´ 8 ; x = 40
=2	=b	donc x = a / b	= ; 1 ´ 5 = x ´ 2 ;5 = 2x ; x = ( 5 : 2) ; x = 2,5

Ces 11 exercices sont traités successivement à la suite de ce chapitre .

Lorsque l’on a trouvé un nombre pour « x » qui peut être la solution de l’égalité ; il faut vérifier si l’égalité est vraie . Pour cela il suffit tout simplement de remplacer « x » de l’équation par le nombre trouvé est de faire le calcul .La conclusion s’impose d’elle même :

- si la valeur donnée à « x » vérifie l’égalité vraie «la solution est la valeur trouvée »

- si la valeur donnée à « x » ne vérifie pas l’égalité vraie , la procédure pour trouvé le nombre est fausse , il y a erreur , il faut recommencer .

exemple :

on donne =2 ; on transforme et calcul tel que = ; donc : 1 ´ 5 = x ´ 2 ;

donc 5 = 2x ; on transforme x = ( 5 : 2) ; on trouve x = 2,5

vérification : = ? si « x » = 2,5 ; on remplace = ? ; on trouve « 2 »

ainsi : = 2 ; et =2 ; donc « x » = « 2 » est solution de l’équation.

remarque cette démarche paraît longue ; mais il faut toujours vérifier avant d’annoncer un résultat .

@) Pré requis : les égalités (Théorèmes ).

II.1. Exemples de résolutions types

Equation type N°1

a x = b

Solution : x =

@ SOS cours

Exemple : 5 x = 45

5 x = 45 ;

on divise les deux membres par 5 :

= ;

x =

x = 9

vérification :

5 x = 45

avec x = 9

5 9 = 45

Equation type N°2

a + x = b ou x + a = b

Solution :

x = b -a

@ SOS cours

Exemple : 5+ x = 45

5+ x = 45

on soustrait aux deux membres de l'égalité .on dit aussi:on ajout e l'opposé de "5" ( - 5) aux deux membres de l'égalité

5 + x + ( -5) = 45 + ( -5)

0 + x = 45 -5

x = 40

Vérification :

5 + x = 45

avec " x = 40 "

5 + 40 = 45

45 = 45

"40" est solution.

Equation type N°3

x – a = b

Solution :

x = b + a

@ SOS cours

Exemple : x - 5 = 45

x - 5 = 45

on ajoute + 5 dans chaque membre; on dit aussi que l'on ajoute l'opposé de (-5) soit ( +5).

x - 5 + 5 = 45 +5

x + 0 = 50

x = 50

Vérification :

x - 5 = 45

pour "x" = 50

50 - 5 = 45

"50" est solution.

Equation type N°4 ( cas particulier)

a - x = b , avec b > a

( cette résolution d'équation n’est possible qu’avec les nombres relatifs )

Solution:

a - b = x

ou x = a - b

@ SOS cours

Exemple : 5 - x = 45

5 - x = 45

remarque : il faut changer le (- x) en (+ x) ; pour cela on ajoute ( + x) au deux membres de l'égalité;

5 - x + x = 45 + x

5 + 0 = 45 + x

ensuite on ajoute ( -45) ou on soustrait - 45 au deux membres de l'égalité . 5 ce qui revient au même!

5 + ( -45 ) = 45 -45 + x

5 + ( - 45 ) = 0 + x

on calcule: (voir le cours sur l' addition de deux nombres relatifs de nombres de signe contraire)

( +5 ) + ( -45) = x

( +5 ) + ( - 45 ) = x ;

[ - ( 45 - 5 ) ] = x

( - 40 ) = x ;

on peut écrire aussi x = ( - 40)

Vérification :

5 - x = 45

5 - ( - 40 ) =? = 45

voir le cours : sur la transformation de la soustraction en addition.

5 + ( +40) = 45

ainsi x = "-40 " est solution.

Cas des équations de deux fractions formant une proportion.

Equation type N°5

Solution :

donc x = (b a) /c

@ SOS cours

Exemple : =

on effectue le produit en croix;

2x = 56

2x = 30

voir l'équation 1;

x =

x = 15

Vérification :

pour "x" = 15

= 3 et = 3 ;

"15" est solution.

Deuxième vérification On aurait pu faire le produit en croix:

15 fois 2 = 5 fois 6

30 = 30

Equation type N°6

Solution :

donc x = a c / b

@ SOS cours

Exemple : =

on effectue le produit en croix;

52 = 6 x

10 = 6x ; ou 6x = 10

voir l'équation 1;

x = ;

soit sous forme rationnelle ou forme décimale arrondit ( au 0,01)

x = 1,67

( voir le cours expression d'un résultat d'une fraction) et "arrondir"

Vérification :

Voir leçon : "division d'un nombre par une fraction."

1^er calcul :

= = =

= 3

2^ème calcul : =3

donc solution x = ou

Equation type N°7

Solution :

donc x = b a /c

@ SOS cours

Exemple : =

Cette fois encore on se ramène au type d'équation 1 .

on effectue le produit en croix;

65 = 2 x

30 = 2x ; ou 2x = 30

voir l'équation 1;

x = 15

Vérification :

voir l'équation n° 1;

Equation type N°8

Solution :

donc x = c a /b

@ SOS cours

Exemple : =

Cette fois encore on se ramène au type d'équation 1 .

on effectue le produit en croix;

6x = 25 ou 6 x = 10

voir l'équation n°1;

x = ( pour l'expression du résultat possible voir "équation N° 6"

Vérification :

voir l'équation n°1;

Les équations dérivées des "proportions" sont de la forme = b et =b.

On doit se rappeler que b est égale à la fraction , ce qui a pour avantage de transformer les deux cas particuliers :

= b devient = et =b devient =

Equation type N°9

= b ou b =

Solution :

donc x = b a ou x = ab

@ SOS cours

Exemple : = 8

Ou 8 =

= 8

on transforme :

on effectue le produit en croix;

1 x = 58

et l'on calcule :

x = 40

Vérification :

40 / 5= ?

voir table des divisions :

Equation type N°10

= b ou b =

Solution :

donc x = a/b

@ SOS cours

Exemple : =2

Ou 2 =

= 2

on transforme :

on effectue le produit en croix;

5 1 = 2x

et l'on calcule :

5 = 2 x

ou 2 x = 5

voir l'équation 1;

soit x = 2,5

Vérification :

5 : 2,5 = ?

voir "division décimale" :

on trouve 5/ 2,5 = 2

donc "x = 2,5" est solution de l'équation.

III. Etudes particulières sur les équations du type : a x = b et a x+ b = c

INFO plus sur la résolution de problèmes!!!!

Nous nous intéressons , plus précisément ,aux deux types d'équations :

ax = b et ax + b = c qui sont les formes des équations représentant la fonction linéaire ( y = ax) et la fonction dite affine ( y = ax +b)

INFO ++ : sur les proportionnalités.

III.1. équations du type a x = b

Exemple : Considérons l'équation 40 x = 360

on en déduit que x = 9

La solution de l'équation est le nombre : 9

Résolution de l’équation du type : a x = b

L'équation du type a x = b

( "a" et "b" sont des nombres décimaux et "a" ¹ 0) admet une solution unique x =

Cette solution est obtenue par une seule opération :

On divise les deux membres de l'égalité par le même nombre "a" .

Résolution de l’équation de la forme : a x+ b = c

L'équation du type a x+ b = c

"a" , "b" et "c" sont des nombres décimaux et "a" ¹ 0) admet une solution unique

Cette solution est obtenue par deux opérations :

a) On ajoute aux deux membres l'opposé de "b" . ( on dit que si "b" change de membre il change de signe )

b) on divise les deux membres de l'égalité par le même nombre "a" .

Exemple de problème de la forme ax + b = c

On achète 3 kilogrammes de fruit , je donne un billet de 5 € , la caissière me rend 0,2 € .Quel est le prix d' un kilogramme de fruit ?

On pose "x" le prix du kilogramme de fruit.

Cela nous donne l'équation 3 x + 0,2 = 5

On joute "- 0,2" dans chaque membre :

3 x + 0,2 - 0,2 = 5 - 0,2

3 x = 4,8

On divise les deux membres par "3": =

D'où x = 1, 60

Conclusion : le prix d'un kilogramme de fruit est de 1, 60 €

IV. Résoudre un problème mathématique à l'aide d'une équation du premier degré .

Un problème posé par une situation, notamment commerciale ou professionnelle, peut se traduire par une équation .

Procédure de résolution d’un problème

¶ Choix de la ou des inconnues : recherche de l'inconnue : après avoir lu et analysé l'énoncé , choisir une inconnue.

· Mise en équation : établir l' équation traduisant la situation étudiée .

¸ Résolution de équation , ou d’un système d’équations du premier degré à 1 ou 2 inconnues .

¹ Discussion du problème : énoncer le résultat en rédigeant une phrase et vérifier si ce résultat est conforme au problème posé.

Exemples d’exercices résolus

Enoncé n°1

Solution

Un rectangle a les caractéristiques suivantes :

Son périmètre mesure 80 m ; sa longueur est le triple de sa largeur .

Calculer sa longueur et sa largeur .

Solution :

¶ Nommons "x" la largeur du rectangle . l = x

· En fonction de "x" : la longueur du rectangle est L = 3x

le demi - périmètre est : L + l = x + 3x = x ( 1 + 3) = 4 x

le périmètre est = 2 fois le demi - périmètre : P = 2 ( 4x) = 8x

¸ Equation à résoudre : 80 = 8 x ( on divise par 8 les deux membres)

on obtient x = 10

la largeur du rectangle est de 10 m ; la longueur du rectangle est de 3 fois 10 m soit 30 m.

¹ Vérification : P _rectangle = 2 ( L + l )

= 2 ( 30 + 10 ) = 2 ( 40) = 80

Enoncé n°2

Solution

Trouver 3 nombres entiers pairs consécutifs dont la somme est égale à 36 . Donner la valeur du premier nombre.

Solution :

¶ On choisi "x" le premier nombre .

· Les deux autres nombres sont "x + 2" et " (x+2) + 2 = x +4"

l'énoncer se traduit par l'équation : x + (x+2) + (x +4) = 36

soit x + x +x +2 + 4 = 36 ; 3x + 6 = 36

¸ Résolution de l'équation :

3x + 6 = 36 ; ( on ajoute -6 aux deux membres)

3x + 6 - 6 = 36 - 6 ;

3x = 30 ( on divise les deux membres par 3)

x = 10

¹ Conclusion : le premier nombre pair est " 10"

le deuxième nombre est 10 + 2 soit 12 ; le troisième nombre est 12 + 2 = 14

vérification : 10 + 12 + 14 est bien égal à 36 ; donc les trois nombres entiers pairs consécutifs sont 10 ; 12 ; 14 .

Enoncé n°3

Solution

Une ouvrière met 15 minutes pour usiner une pièce , pour aménager et préparer le poste de travail il faut prévoir 3h 45 mn. Combien de pièces peut-il usiner sur une semaine de 35 heures ?

Prendre "x" le nombre de pièces.( transformer la durée en nombre décimal)

Solution

¶ L'inconnue est le nombre de pièces usinées.

· On met le temps sous forme décimale : 15 mn = 0, 25 h : 3h 45 = 3, 75 h; 35 h ne change pas = 35 h

Mise en équation : 0,25 x + 3,75 = 35

¸ Résolution de l'équation :

0,25 x + 3,75 = 35

0,25 x = 35 - 3,75 ( un terme change de membre il change de signe )

0,25 x = 31,25 ( on divise 31,25 par 0,25 )

x =

x = 125

¹ Le nombre de pièces usiner en une semaine sera de 125 pièces

Les travaux suivants peuvent aider à la compréhension .

ARITHMETIQUE : Résolution graphique d’un problème du premier degré :

Série 1 : Partage inégal dont une part est multiple d’une autre

Problème. Deux personnes se partagent une caisse de 4,8 kg de poisson. L’une, dont la famille est nombreuse, en prend le triple de l’autre. Quelle est la masse de chaque lot ?

Ci dessous : on dessine la représentation graphique du partage .

Le graphique montre que la caisse est partagée en 4 parts égales Une personne en prend une (1^er lot); l’autre en prend 3 (2^ème lot) :

Une part pèse 4,8 kg : 4 = 1,2 kg; c’est le 1^er lot

Le 2^ème lot est triple du 1^er 1,2 kg x 3 = 3,6 kg

Vérifions ce que dit l’énoncé :

1°) le 2^ème lot est-il le triple du 1^er ? oui (3,6 kg = 1,2 kg fois 3)

2°) les 2 lots pèsent-ils ensemble 4,8 kg ? oui (1,2 + 3,6 = 4,8)

Pour chaque problème de partage :

1°) traduisez l’énoncé par un graphique complet;

2 °) vérifiez vos réponses.

CALCULS :

1. Un costume coûte 432 € . Le prix de la veste est le double du prix du pantalon. Quel est le prix de la veste ? le prix du pantalon?

2. Une oie et un poulet pèsent ensemble 6,5 kg. Le poids de l’oie est égal à 4 fois le poids du poulet. Combien pèse chacune des deux volailles ?

3. Un champ rectangu1airQ~ mesure 168 m de périmètre et sa longueur est triple de sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?

4. Deux coupons d’étoffe valant 12,50 € le mètre mesurent ensemble 27 m. La longueur de l’un est double de celle de l’autre. Quelle est la valeur de chaque coupon?

5. Une maison vaut 5 fois le prix d’un champ; ensemble, ils valent 7 722 € . Voici la solution d’un élève, pour calculer la valeur du champ, puis de la maison:

7722 € :5 = 1544,4 € ; 7722 € —1544,4 € = 6177,6 € . Quelle est son erreur ? Quelle vérification devrait la révéler ? Écrivez la solution correcte.

6. Un cinéma compte 354 places : places de parterre à 2,8 € la place et places de balcon à 3,2 € . Le nombre des places de parterre est double du nombre des places de balcon. Quel est le montant de la recette quand toutes les places sont occupées?

7. Le produit de leur pêche est ainsi partagé entre les membres de l’équipage d’un bateau : le mousse a une part, chacun des deux matelots 2 parts, le patron 5 parts. Combien chacun a-t-il touché le jour où le bateau est rentré avec 820 kg de poisson qui fut vendu à 1,35 € le kg?

8. Caroline, Claire et Gabriel héritent de leur oncle une somme de 950,4 € . La part de Caroline est triple de celle de Claire qui est elle-même la moitié de celle de Gabriel. Quelle est la part de chacun ?

SERIE 2 : Partage inégal dont la Somme et différence sont connues

Problème. Julien et Francine partagent 23 caramels, et Francine en reçoit 5 de plus que Julien . Quelle est la part de chacun ?

Graphique n°1 : il montre que : Somme - différence = le double de la petite part .

la part de Julien (23 — 5 ) 2 = 9 ; la part de Francine 9 + 5 = 14

Vérification 9 + 14 = 23

Graphique n°2 , il montre que : Somme + différence = le double de la grande part .

Explications :

La part de Francine ( 23+ 5 ) :2= 14 ; la part de Julien 14— 5 = 9

Vérification : 14 + 9 = 23

CALCULS :

1. Papa et Maman ont ensemble 57 ans. Maman a 5 ans de moins que Papa. Quel est leur âge? Comment se posera ce problème dans 8 ans ?

2. Calculez deux nombres dont la somme est 120, la différence 36. Vérifiez votre réponse en partageant un segment de 120 mm en 2 segments dont l’un mesurera 36 mm de plus que l’autre.

3. Dessinez autant que vous voulez de rectangles différents ayant pour côtés un nombre entier de cm, et 16 cm de périmètre. Quel est celui qui a une longueur dépassant la largeur de 4 cm ? Y en a-t-il d’autres ?

4. On demande de partager 240 € entre Annie et Sylvie, de façon que Sylvie ait 30 € de moins qu’Annie. Voici les réponses de trois élèves

1° Annie 150 € 2° Annie 150 € 3° Annie 135.€

Sylvie 120 € Sylvie 90 € Sylvie 105 €

Quelles vérifications prouvent que deux solutions sont fausses ?

Où est la bonne ?

Comment l’élève a-t-il compté ?

5. L’épicier a acheté pour 35,70 € deux caisses de pommes dont l’une pèse 6 kg de plus que l’autre. Les pommes valant 85 c le kg, calculez la masse , puis le prix de chaque cageot.

6. il a fallu 632 m de fil de fer pour entourer d’un double rang un terrain rectangulaire dont la longueur dépasse la largeur de 29 m . Quelles sont les dimensions du terrain?

7. Marine et Michelle ont ensemble 84 € . Si Marine donne 8 € à Michelle, elles auront autant l’une que l’autre. Combien chacune a-t-elle?

8. Deux péniches livrent ensemble 382 t de charbon à une usine à gaz. Quand on a déchargé 29 t de l’une et 48 t de l’autre, elles contiennent la même masse de charbon. Quelles questions posez-vous ? Répondez-y.

9. Un terrain à bâtir de 845 m² est partagé en deux parcelles inégales, dont l’une mesure 75 m ² de plus que l’autre,

a) Quelle est la surface de chaque parcelle ?

b) La différence de prix des deux parcelles est 1 350 € . Quelle est la valeur de chaque parcelle?

FIN DU COURS.

Activités « Elève » :en formation , demander les travaux auto- formatifs préparant le devoir formatif .