WARMATHS mise en
application Fin 2009 début 2010
Programme du baccalauréat
professionnel - mathématiques 13/ 25
Programme
des classes de première professionnelle
1. STATISTIQUE ET NOTION DE
PROBABILITÉ
1.1 Statistique à une variable
(groupements
A, B et C)
L’objectif de ce module est de
réactiver les capacités et connaissances de seconde professionnelle en
statistique (sans révision systématique) et de les compléter par les notions
d’écart type et d’écart interquartile. Toutes les études sont menées à partir
de situations issues de la vie courante ou professionnelle.
L’usage des TICE est
privilégié pour les calculs des indicateurs et les réalisations graphiques.
Capacités Connaissances
Commentaires
Interpréter des indicateurs de
tendance centrale et de dispersion, calculés à l’aide des TICE, pour
différentes séries statistiques quantitatives.
Indicateurs de tendance
centrale : mode, classe modale, moyenne, médiane.
Indicateurs de dispersion :
étendue, écart type, écart interquartile Q3 – Q1.
Diagramme en boîtes à
moustaches.
Étudier des exemples de
distribution bimodale.
Résumer une série statistique
par le couple (moyenne, écart type), ou par le couple (médiane, écart
interquartile).
En liaison avec les
enseignements professionnels, avoir environ 95% des valeurs situées autour de
la moyenne à plus ou moins deux écarts types est présenté comme une propriété
de la courbe de Gauss.
Interpréter des diagrammes en
boîte à moustaches. La réalisation de tels diagrammes n’est pas exigible.
1.2 Fluctuation d’une
fréquence selon les échantillons (groupements A, B et C)
L’objectif de ce module est de
consolider et d’approfondir l’étude, initiée en seconde professionnelle, de la
variabilité lors d’une prise d’échantillon,
pour favoriser la prise de
décision dans un contexte aléatoire. La consolidation des notions déjà acquises
en seconde professionnelle se traite en prenant appui sur des exemples de
situations concrètes, issues de la vie courante, du domaine professionnel ou
des thématiques parues au B.O.E.N..
Capacités Connaissances
Commentaires
Expérimenter, à l’aide d’une
simulation informatique, la prise d’échantillons aléatoires de taille n fixée,
extraits d’une population où la fréquence p relative à un caractère est
connue.
Distribution d’échantillonnage
d’une fréquence.
Calculer la moyenne de la
série des fréquences fi des échantillons aléatoires de même taille n prélevés.
Comparer la fréquence p de
la population et la moyenne de la série des fréquences fi des
échantillons aléatoires de même taille n prélevés, lorsque p est
connu.
Moyenne de la distribution
d’échantillonnage d’une fréquence.
La population est suffisamment
importante pour pouvoir assimiler les prélèvements à des tirages avec remise.
La stabilisation vers p,
lorsque la taille n des échantillons augmente, de la moyenne des
fréquences est mise en évidence graphiquement à l’aide d’un outil de
simulation.
Distinguer, par leurs
notations, la fréquence p de la population et les fréquences fi des
échantillons aléatoires.
Calculer le pourcentage des
échantillons de taille n simulés, pour lesquels la fréquence relative au
caractère étudié appartient à l’intervalle donné
[p –
n
1
; p +
n
1
].
Intervalle de fluctuation.
Se restreindre au cas où n ≥ 30, np ≥ 5
et n(1– p) ≥
5 : la
connaissance de ces conditions n’est pas exigible. La formule de l’intervalle
est donnée.
Exercer un regard critique sur
les données statistiques en s'intéressant à la « variabilité naturelle » des
fréquences d'échantillon, c'est-àdire
environ 95% des échantillons fournissent une fréquence dans l’intervalle
[p –
n
1
; p +
n
1
].
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2. ALGÈBRE – ANALYSE
2.1 Suites numériques 1 (groupements A, B et C)
L’objectif de ce module est
d’entraîner les élèves à résoudre un problème concret dont la situation est
modélisée par une suite numérique. On accorde ici une place importante aux
séries chronologiques. En fin d’étude, la lecture critique de documents
commentant la croissance de certains phénomènes est proposée.
Capacités Connaissances
Commentaires
Générer expérimentalement des
suites numériques à l’aide d’un tableur.
Suites numériques :
- notation indicielle ;
- détermination de termes
particuliers.
Un tableur permet d’explorer
différentes suites numériques (arithmétiques, géométriques, autres).
Reconnaître une suite
arithmétique, une suite géométrique par le calcul ou à l’aide d’un tableur.
Reconnaître graphiquement une
suite arithmétique à l'aide d'un grapheur.
Réaliser une représentation
graphique d’une suite (un) arithmétique ou géométrique.
Suites particulières :
- définition d’une suite
arithmétique et d’une suite géométrique.
un+1 = un + r et la
donnée du premier terme,
un+1 = q ´ un (q > 0) et la donnée du
premier terme.
La représentation graphique
permet de s'intéresser au sens de variation d’une suite et à la comparaison de
deux suites.
2.2 Fonctions de la forme f
+ g et k f (groupements A, B et C)
L’objectif de ce module est
d’introduire de nouvelles fonctions de référence et d’entraîner les élèves à
mobiliser leurs connaissances et leurs compétences pour étudier et exploiter de
nouvelles fonctions qui peuvent modéliser une situation concrète. Ainsi l’étude
mathématique peut être est motivée par la réponse à apporter au problème posé.
Capacités Connaissances
Commentaires
Sur un intervalle donné,
étudier les variations et représenter graphiquement les fonctions de référence x
a
x et x
a
x3.
Sens de variation et représentation
graphique sur un intervalle donné des fonctions de référence
X a x et x a x3.
Traduire par des inégalités la
croissance ou la décroissance de ces fonctions sur les intervalles envisagés.
Construire et exploiter, avec
les TICE, sur un intervalle I donné, la représentation graphique des
fonctions de la forme f + g et k f, k étant un réel non
nul, à partir d'une représentation graphique de la fonction f et de la
fonction g.
Processus de construction de
la représentation graphique des fonctions de la forme f + g et k f,
k étant un réel non nul, à partir d’une représentation graphique de la fonction
f et de la fonction g.
Sur un intervalle donné,
déterminer les variations de fonctions de la forme f + g (f et
g de même sens de variation) et de la forme k f, k étant un réel
non nul, où f et g sont des fonctions de référence ou des
fonctions générées par le produit d’un réel par une fonction de référence.
En déduire une allure de la
représentation graphique de ces fonctions.
Représentation graphique des
fonctions :
x
a
a x + b,
x
a
c x2, x
a
d
x
,
x
a x , x
a
x3,
pour des valeurs réelles a, b,
c et d fixées.
Variations d’une somme de deux
fonctions ayant même sens de variation.
Variations d’une fonction de
la forme k f, k étant un réel donné.
En classe de première
professionnelle, les fonctions de référence sont : x a ;
a x + b (a
et b réels), x
a
x2, x
a
1
x
, x
a
x et
x
a
x3.
Les théorèmes sont admis après
des conjectures émises à partir des représentations graphiques effectuées à
l’aide des TICE.
Résoudre graphiquement des
inéquations de la forme f (x) > 0 et f (x) ≥ g (x), où f et g sont des fonctions
de référence ou des fonctions générées à partir de celles-là.
Processus de résolution
graphique d’inéquations de la forme f (x) > 0 et f (x)
≥ g (x) où f et g
sont des fonctions de référence ou des fonctions générées à partir de
celles-là.
Les TICE sont utilisées pour
faciliter les résolutions graphiques.
La détermination, à l’aide des
TICE, d’un encadrement à une précision donnée d’une solution, si elle existe,
de l’équation f (x) = c où c est un nombre réel donné, est
réalisée.
2.3 Du premier au second degré
(groupements
A, B et C)
L’objectif de ce module est
d’étudier et d’exploiter des fonctions du second degré et de résoudre des équations
du second degré pour traiter certains problèmes issus de la géométrie, d’autres
disciplines, de la vie courante ou professionnelle.
Capacités Connaissances
Commentaires
Utiliser les TICE pour
compléter un tableau de valeurs, représenter graphiquement, estimer le maximum
ou le minimum d’une fonction polynôme du second degré et conjecturer son sens
de variation sur un intervalle.
Expression algébrique, nature
et allure de la courbe représentative de la fonction f : x ; a
ax2 + bx
+ c (a réel non nul, b et c réels) en fonction du signe de a.
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Capacités Connaissances
Commentaires
Résoudre algébriquement et graphiquement,
avec ou sans TICE, une équation du second degré à une inconnue à coefficients
numériques fixés.
Déterminer le signe du
polynôme ax2 + bx + c (a réel non nul, b et c réels).
Résolution d’une équation du
second degré à une inconnue à coefficients numériques fixés.
Dans les énoncés de problèmes
ou d’exercices, les formules sont à choisir dans un formulaire spécifique donné
en annexe.
Former les élèves à la
pratique d’une démarche de résolution de problèmes.
La résolution de l’équation ax2
+ bx + c = 0 et la connaissance de l’allure de la courbe d'équation y
= ax2 + bx + c permettent de conclure sur le signe du
polynôme.
2.4 Approcher une courbe avec
des droites (groupements
A, B et C)
L’objectif de ce module est
d’utiliser les fonctions affines pour approcher localement une fonction. Cette
partie donne lieu à une expérimentation à l’aide des TICE au cours de laquelle
les élèves peuvent tester la qualité d’une approximation à l’aide des TICE et
mettre en oeuvre une démarche d’investigation.
Capacités Connaissances
Commentaires
Expérimenter à l’aide des
TICE, l’approximation affine donnée de la fonction carré, de la fonction racine
carrée, de la fonction inverse au voisinage d’un point.
La droite représentative de la
"meilleure" approximation affine d’une fonction en un point est
appelée tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.
Déterminer, par une lecture
graphique, le nombre dérivé d’une fonction f en un point.
Conjecturer une équation de la
tangente à la courbe représentative d’une fonction en ce point.
Construire en un point une
tangente à la courbe représentative d’une fonction f connaissant le
nombre dérivé en ce point.
Écrire l’équation réduite de
cette tangente.
Nombre dérivé et tangente à
une courbe en un point.
L’étude ne se limite pas aux
fonctions de référence.
Le coefficient directeur de la
tangente à la courbe représentative de la fonction f au point de
coordonnées (xA , f (xA)) est appelé nombre dérivé de f
en xA.
3. GÉOMÉTRIE
3.1 Vecteurs 1 (groupements A et B)
L'objectif de ce module est
d’aborder des notions vectorielles simples.
Capacités Connaissances
Commentaires
Reconnaître des vecteurs
égaux, des vecteurs opposés.
Construire un vecteur à partir
de ses caractéristiques.
Éléments caractéristiques d’un
vecteur : direction, sens et norme.
Vecteurs égaux, vecteurs
opposés, vecteur nul.
Construire la somme de deux
vecteurs. Somme de deux vecteurs.
Cette partie est traitée en
liaison avec l’enseignement de la mécanique.
Le parallélogramme illustre
l’égalité vectorielle et la construction du vecteur dans le cas où les vecteurs
n’ont pas même direction.
Dans le cas où et ont même
direction, la somme est construite en relation avec la mécanique.
Lire sur un graphique les
coordonnées d’un vecteur.
Représenter, dans le plan
rapporté à un repère orthogonal, un vecteur dont les coordonnées sont données.
Calculer les coordonnées d’un
vecteur connaissant les coordonnées des extrémités de l’un quelconque de ses
représentants.
Coordonnées d’un vecteur dans
le plan muni d’un repère.
Calculer les coordonnées du
vecteur somme de deux vecteurs.
Calculer les coordonnées du
milieu d’un segment.
Coordonnées du vecteur somme
de deux vecteurs donnés.
Coordonnées du milieu d’un
segment.
Calculer la norme d’un vecteur
dans le plan rapporté à un repère orthonormal.
Norme d’un vecteur dans le
plan rapporté à un repère orthonormal.
Ces différents éléments
permettent d’identifier des figures usuelles construites à partir de points
repérés dans un plan rapporté à un repère.
Construire le produit d’un
vecteur par un nombre réel.
Reconnaître, à l’aide de leurs
coordonnées, des vecteurs égaux, des vecteurs colinéaires.
Produit d’un vecteur par un
nombre réel.
Vecteurs colinéaires.
Coordonnées du produit d’un
vecteur par un nombre réel.
Deux vecteurs non nuls sont
dits colinéaires lorsqu'ils ont même direction.
L’alignement de trois points,
le parallélisme de deux droites sont démontrés en utilisant la colinéarité de
deux vecteurs.
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3.2 Trigonométrie 1 (groupements A et B)
L’objectif de ce module est
d’utiliser le cercle trigonométrique et de construire point par point la courbe
représentative de la fonction sinus.
Capacités Connaissances
Commentaires
Placer, sur le cercle
trigonométrique, le point M image d’un
nombre réel x donné.
Cercle trigonométrique.
Image d’un nombre réel x donné
sur le cercle trigonométrique.
L’enroulement de R sur
le cercle trigonométrique, mené de façon expérimentale, permet d’obtenir
l’image de quelques nombres entiers puis des nombres réels , - , ; -
2 ;
4 ;
6 ;
3 ….
Déterminer graphiquement, à l’aide
du cercle trigonométrique, le cosinus et le sinus d’un nombre réel pris parmi
les valeurs particulières.
Utiliser la calculatrice pour
déterminer une valeur approchée du cosinus et du sinus d’un nombre réel donné.
Réciproquement, déterminer,
pour tout nombre réel k compris entre - 1 et 1, le nombre réel x compris
entre 0 et p (ou compris entre -
2 et
2
) tel que cos x = k ou
sin x = k.
Cosinus et sinus d’un nombre
réel.
Propriétés :
x étant un nombre réel,
- 1 ≤
cos x ≤ 1
- 1 ≤ sin x ≤
1
sin2x + cos2x =1
Définition : pour tout nombre
réel x, cos x et sin x sont
les coordonnées du point M, image du nombre réel x sur le cercle
trigonométrique.
Les valeurs particulières sont
:
0, , - , ; -
2 ;
4 ;
6 ;
3
Faire le lien, pour certaines valeurs
particulières, entre le cosinus d'un nombre et le cosinus d'un angle défini au
collège dans un triangle rectangle.
Passer de la mesure en degré
d’un angle géométrique à sa mesure en radian, dans des cas simples, et
réciproquement.
Les mesures en degré et en
radian d’un angle sont proportionnelles (p radians valent 180 degrés).
Le point A étant l’extrémité
du vecteur unitaire de l’axe des abscisses et le point M l’image du réel x,
la mesure en radian de l’angle
géométrique ÆAOM
est :
- égale à x si 0 Â x Â
- égale à – x si - ÂxÂ0
Construire point par point, à
partir de l'enroulement de R sur le cercle trigonométrique, la
représentation graphique de la fonction
x
a
sin x.
Courbe représentative de la
fonction x a
sin x Illustrer
la construction à l'aide d'une animation informatique.