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Extrait du BO n°31 – 30 juillet 1992 1. Calcul littéral.,
numérique et algébrique Dans ce domaine, c'est la maîtrise des mécanismes élémentaires
indiqués par le programme qui est importante toute virtuosité technique est exclue,
notamment en ce qui concerne les factorisations et les calculs portant sur
des fractions ou des radicaux. On tiendra compte du fait que, sur ces
différents points, les exigences à l'issue de la classe -de Troisième ou de
Troisième technologique sont modestes. Il convient en outre de ne pas
multiplier gratuitement les exercices de pur calcul littéral. |
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a) Calcul sur les puissances et les racines
carrées -
Puissances d'un nombre. Formule : (ab)n = an bn ;
am+n = aman (an)m = an.m
où m et n sont des entiers relatifs -
racines carrées Formule :
= ; = b)
Valeur absolue, intervalles, approximation - Valeurs
absolue, distance -
Intervalles. Notion des divers type d’intervalle -
Pratique, sur des exemples numériques, du concernant les approximations d'un
nombre a : -
lorsque b ,
a
c, on dit que b et c encadrent a - lorsque |a – a’| 10-4,
on dit que a est une approximation (ou valeur approchée) de a à la précision
10-4. |
Il
s'agit ici de compléter les acquis du premier cycle et de s'assurer que les
élèves maîtrisent bien les puissances de 10 et savent les employer pour lire
ou écrire un nombre en notation scientifique et pouf évaluer un ordre de
grandeur. Ces
formules constituent une nouveauté pour les élèves issus de Troisième
technologique. Les valeurs absolues et les intervalles ne figurent pas au
programme de Troisième. L'essentiel est de savoir interpréter |b – a| comme
étant la distance des points a et b et dans cette perspective, des relations
telles que |x–2| l ou
|x–2| 1/100 à l'aide des intervalles de centre 2. Dans le secteur industriel on fera le lien
avec la notion de tolérance autour d'une valeur théorique. Dans le
secteur tertiaire on reliera la valeur absolue à l'écart moyen. La notion de valeur absolue ne doit pas donner lieu à des
exercices répétitifs. Ces notions ne sont pas des
objets d'étude en soi elles interviennent dans les problèmes d'approximation.
Sur quelques exemples numériques, la précision obtenue pour une somme pourra
être évaluée ; mais toute étude générale du calcul des approximations est
exclue et aucun énoncé de résultats à ce propos n'est exigible des élèves. La pratique des troncatures, déjà engagée dans les classes
antérieures, sera poursuivie sans formalisation de ces notions. |
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c) Consolidation
du calcul algébrique Usage
et transformation de formules. |
Sur
des exemples simples, développements et factorisations seront effectués sans
exagération. On fera appel aux formules courantes utilisées dans la vie
pratique (impôts, intérêts ... ), en mathématiques
(aires et volumes...), dans les sciences physiques et technologiques. |
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d) Suites
arithmétiques et géométriques -formules
reliant deux termes consécutifs, -
formules donnant le rang n e)
Exemples d'applications dans le secteur tertiaire. -
Calculs commerciaux (prix, coûts, marges, résultat, TVA ... ) relatifs à l'établissement de divers documents
(factures, bulletins de salaire...) -
Conversion des monnaies. -
Calculs d'intérêts - intérêts simples (calcul de capital, taux de
placement, taux moyen) -
intérêts composés (calcul de capital, de valeur acquise, des intérêts). -
Problèmes d'amortissement du matériel. - Escompte bancaire, taux réel de l'escompte. -
Équivalence d'un capital et d'un ensemble de capitaux, paiement à crédit. |
Ce paragraphe n'est pas au
programme des BEP hôtellerie restauration, alimentation. Il
s'agit d'une première approche de ces notions. L'objectif est de permettre
l'obtention de certains résultats numériques dans des situations simples. Pour
les suites géométriques, on se limite au cas où la raison est positive. Les
activités seront choisies dans la vie économique et professionnelle (intérêts
simples, composés...). Les formules donnant la somme de n termes d'une suite
ne sont pas exigibles. Ce paragraphe n'est pas au
programme des sections du secteur Industriel. Seuls les deux
premiers items de ce paragraphe sont au programme de mathématiques des BEP
hôtellerie restauration, alimentation. Ces
situations nécessitent l'usage de méthodes mathématiques dans un contexte
professionnel. La nécessité d'utiliser un vocabulaire technologique en
coordination avec l'enseignement professionnel s'impose, mais en se limitant
à l'essentiel. On s'attachera à dégager des situations de proportionnalité. On mettra en couvre
les outils mathématiques dont on dispose : équations et inéquations à une
inconnue, système de deux équations à deux inconnues, fonctions, suites
arithmétiques et géométriques... Ces
trois derniers points ne sont pas au programme du BEP communication
administrative et secrétariat. |
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2) Équations, Inéquations,
systèmes d'équations L'objectif
est non seulement de mettre en couvre une technique de résolution, mais
surtout d'étudier des problèmes - issus d'autres disciplines et de la vie
économique et professionnelle, en mettant en valeur les phases de mise en
équation, de traitement mathématique, de contrôle et d'interprétation des
résultats. Les exemples étudiés conduiront à des équations ou inéquations à
une inconnue ou à des systèmes d'équations linéaires à coefficients
numériques. Les
exemples trop techniques ou coupés de tout contexte seront évités. |
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a) Équations et inéquations du premier degré à
une inconnue à coefficients numériques •
résolution numérique ; •
exemples d'étude de situations conduisant à une ou plusieurs équations ou
inéquations du premier degré une inconnue. b) Système de deux équations linéaires à deux
inconnues à coefficients numériques * résolution
numérique et graphique *
exemples d'étude de situations conduisant à de tels systèmes. |
L'objectif
est de conjuguer l'étude numérique et l'étude graphique, et non d'apprendre
des formules de résolution ; en particulier la notion de déterminant et les
formules de Cramer ne sont pas au programme. |
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C –
Fonctions
Ce chapitre, à l'exception
du paragraphe 2.d) est commun à l'ensemble des spécialités. Le
programme est organisé autour de deux objectifs principaux : - familiariser
les élèves avec la description de phénomènes continus à l'aide de fonctions ; -
acquérir une bonne maîtrise des fonctions usuelles indiquées dans le
programme et un certain savoir faire toutes les indications utiles étant
fournies, pour l'étude de fonctions qui s'en déduisent simplement. On
exploitera largement des situations issues de la géométrie, des sciences
physiques, des disciplines technologiques et de la vie économique et sociale,
en marquant les différentes phases : mise en équation, traitement
mathématique, contrôle et exploitation des résultats. Le
programme combine les études qualitatives (croissance, allure des
représentations graphiques, ... ) avec les études
quantitatives (recherches d'extremums, ... ). Il ne porte que sur l'étude
d'exemples et se place dans le cadre des fonctions définies sur un intervalle
; on évitera tout exposé général sur les fonctions (statut mathématique du
concept de fonction, notion d'ensemble de définition, opérations algébriques,
composition, relation d'ordre, restriction,... ) L'intervalle
de définition sera indiqué lors de la donnée de la fonction considérée. Cet
intervalle peut aussi résulter de contraintes naturelles portant sur
l'inconnue (exprimées, dans un contexte concret, par des inégalité
portant sur cette inconnue). |
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1)
Génération et description des fonctions On exploitera des situations variées : tracés
graphiques, touches de la calculatrice, algorithmes de calcul, relations de dépendance
issues de la géométrie, des disciplines technologiques, des sciences
physiques et biologiques, de la vie économique et sociale.
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a) Exemples de modes de
génération de fonctions. Exemples de description d'une situation à l'aide
d'une fonction Représentation graphique d'une fonction dans un repère orthonormal ou orthogonal. b) Exemples simples de calculs
de valeurs d'une fonction à l'aide d'une calculatrice, c) Parité, périodicité. Maximum,
minimum d'une fonction. Fonctions croissantes, fonctions décroissantes. d)
Exemples de lecture de propriétés de fonctions à partir de leur
représentation graphique |
On
ne se limitera pas à des fonctions définies par des formules algébriques simples.
Pour que les élèves se forment une idée assez large de la notion de fonction,
on donnera quelques exemples de situations menant à des fonctions définies
différemment, par exemple par des représentations graphiques. Les
calculatrices programmables ne sont pas exigées Ces
notions sont mises en place uniquement sur des exemples, notamment pour les
fonctions figurant au paragraphe 2.a) ; on mettra en valeur leur
signification graphique. Les
notions de taux de variation, de maximum local et de minimum local ne sont
pas au programme |
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2)
Fonctions usuelles À
travers l'étude des fonctions figurant au programme et de situations menant à
des fonctions qui s'en déduisent de façon simple, on mettra en valeur la
diversité du comportement des fonctions. Dans ce cadre, il est important que
les élèves soient entraînés à mieux maîtriser les situations de
proportionnalité et en particulier de pourcentages, dont l'étude à été
abordée dans les classes antérieures, en relation avec l'étude des fonctions linéaires
et des fonctions affines. L'étude
générale des fonctions polynômes de degré deux et des fonctions
homographiques est hors programme. Pour les sections industrielles
concernées, l'introduction des fonctions circulaires constitue une simple prise
de contact de caractère expérimental : on s'appuiera sur l'étude du cercle
trigonométrique (cf. programme de géométrie) et sur l'exploitation des
touches de la calculatrice. Tout développement théorique est exclu. Le
choix de situations issues des sciences physiques et des disciplines
technologiques contribue à éclairer la signification des changements
d'origine ou d'échelles. Tout exposé général sur ces points est exclu ; on se
limitera à quelques exemples simples et toutes les indications utiles seront
fournies aux élèves |
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a) Variations et représentation
graphique des fonctions : x ax + b ; x ax 2 ; x x3 x ; x 1/x b) Exemples simples d'étude de
comportements de fonctions tels que : signe, variations, recherche de
maximums et de minimums, représentations graphiques dans un repère (orthonormal ou orthogonal). c) Exemples simples d'étude graphique
d'équation de
la forme f(x) =
où
a une valeur numérique donnée. d) Étude
des fonctions cosinus et sinus périodicité, symétries, sens de variation.
Courbes représentatives. |
Le sens de variation de ces fonctions de référence
sur des intervalles à préciser est admis. Pour ces fonctions on pourra
traduire la croissance ou la décroissance sur les intervalles envisagés par
des inégalités. On
sera amené à effectuer une exploration numérique du comportement de ces
fonctions pour les grandes valeurs de x et, dans le cas de x 1/x , pour les petites
valeurs de x ; mais toute mise en forme de la notion de limite est hors programme On entraînera les élèves à utiliser le sens de
variation des
fonctions du paragraphe 2.a) pour l'étude du comportement de fonctions telles
que x 2x 2 ; x –1/4x 2 ; x 2x 2 +1 toutes
les indications utiles étant fournies. L'étude des fonctions faisant
intervenir des valeurs absolues est hors programme. On
étudiera des situations décrites au moyen de fonctions issues de la géométrie,
des disciplines technologiques, des sciences physiques et biologiques, de la
vie économique et sociale. On s'attachera à mettre en évidence, à travers les
exemples étudiés, la signification des propriétés des fonctions concernées
(parité, croissance, maximums, minimums, .). L'utilisation de logiciels de type imagiciel ou utilisés dans les disciplines citées
ci-dessus peut contribuer efficacement à la réalisation de ces objectifs En
liaison avec les sciences physiques ou la technologie, on pourra être amené à
étudier des situations nécessitant la résolution d'une équation du second
degré qui s'effectue alors graphiquement. Ce
paragraphe ne figure au programme que des sections du secteur industriel. On
entraînera les élèves à retrouver sur le cercle trigonométrique des
propriétés des fonctions cosinus et sinus telles que cos (p + x)= -cos x,
sin (p – x) = sin x, sin (p/2 - x)=cos x, ... Les élèves n'ont pas à mémoriser ces formules,
l'étude de la fonction tangente et les formules d'addition sont hors
programme. Dans
les sections industrielles concernées, on pourra être amené à étudier, en
liaison avec d'autres disciplines, des fonctions telles que t sin (t
+ )où
et sont numériquement
fixés, mais aucune connaissance n'est exigible sur ce sujet en mathématiques |
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D-
Statistiques Ce
chapitre, à l'exception des notions de médiane et d'écart moyen, est commun à
l'ensemble des spécialités de BEP. Il
complète les acquis des classes antérieures. Il présente un triple intérêt.
D'abord la lecture pertinente de tableaux statistiques est nécessaire à la
compréhension des phénomènes économiques, sociaux, physiques et technologiques.
Ensuite, c'est un excellent terrain pour des activités interdisciplinaires où
les élèves peuvent tire preuve d'initiative et développer leurs méthodes, de
travail. En outre, savoir organiser, représenter et traiter es données
fournies à l'état brut, savoir apprécier l'intérêt et les limites d'un
processus de mathématisation d'une situation est un élément majeur de
formation. On
entraînera les élèves à la pratique de la démarche propre à la statistique en
tirant parti des possibilités offertes par les outils informatiques
(calculatrice, ordinateur) -
lecture de données recueillies sur les individus d'une
population -
choix des résumés (regroupements en classe, indicateurs, ... ) à mettre en œuvre pour décrire cette population , -
exécution des calculs à la machine ; -
présentation des résultats (histogrammes, graphiques, ... -
contrôle et analyse Critique de ces résultats, On
insistera sur le choix du mode de représentation, des unités, des amplitudes
de classe et, sur quelques exemples, on observera les conséquences de ces
choix quant à l'interprétation que l'on peut faire de données statistiques. Organisation,
gestion et exploitation de données statistiques
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1)
Séries statistiques à une variable ·
répartition d'une population en classes * effectifs, fréquences. 2) Séries statistiques à une variable
quantitative * effectifs cumulés, fréquences cumulées ; *
caractéristiques de position : moyenne, médiane (détermination graphique) ; ·
caractéristiques de dispersion écart type, écart moyen. 3)
Séries chronologiques 4) Indices |
Ces
notions, ainsi que les suivantes, ne doivent pas faire l'objet d'un exposé
général mais être mises en place à travers l'étude de situations propices à
leur approche. Grâce
à l'étude d'exemples bien choisis, on montrera l'intérêt d'un regroupement en
Classes pour le calcul de moyenne et d'écart type et on mettra en valeur la
signification de la moyenne x et de l'écart type .
On observera, par exemple que, pour de nombreux phénomènes, le pourcentage
d'éléments n'appartenant pas à l'intervalle [ Les notions de médiane et
d'écart moyen ne sont pas au programme des sections du secteur industriel. On
se limitera à tracer et exploiter des représentations graphiques diverses. À partir
de la définition d'un indice simple et de sa signification, il s'agit de
montrer l'intérêt d'un indice dans certaines situations de proportionnalité
et de l'utiliser dans des exemples concrets. |
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E – Géométrie
Pour le BEP « sanitaire et social », seuls
les paragraphes 1 à 4 sont au programme. Pour les BEP du secteur tertiaire,
seul le paragraphe 1 est au programme. Tout
point de vue axiomatique est exclu ; il ne s'agit pas de s'étendre sur les
aspects théoriques, mais de développer chez les élèves une bonne connaissance
des objets du plan et de l'espace. La
pratique des figures doit tenir une place centrale, car elle joue un rôle
décisif pour la maîtrise des notions mathématiques mises en jeu. De même,
l'exploitation des écrans graphiques d'ordinateur peut aider efficacement les
élèves à développer leur perception des objets -du plan et de l'espace. Toute
reprise systématique des notions vues dans les classes antérieures est
exclue. Cependant, certains points (théorème de Thalès, notion de vecteurs)
qui figurent au programme de Troisième mais non à celui de Troisième
technologique, sont repris dans ce texte. L'enseignement de ces points devra
être adapté à cette situation. |
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1)
Exemples de tracés de figures planes usuelles. 2) Énoncé de Thalès relatif au
triangle Application
à des constructions : construire les 7/5 (ou 2/3... )
d'un segment agrandir ou réduire une figure. |
La
pratique des tracés géométriques, l'étude de configurations liées aux figures
usuelles doivent permettre d'utiliser et de consolider les notions acquises
dans les classes antérieures :constructions
élémentaires, théorème de Pythagore et sa réciproque, relations
trigonométriques dans le triangle rectangle. Des
activités expérimentales permettront de dégager le théorème de Thalès relatif
au triangle et sa réciproque ; cette réciproque sera formulée en précisant
dans l'énoncé la position relative des points. L'objectif est de connaître et
d'utiliser dans une- situation donnée le théorème de Thalès relatif au
triangle : = et sa réciproque Ainsi
que la relation = = L'énoncé
général du théorème de Thalès est hors programme. Toute intervention de mesure
algébrique est exclue. |
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.3)
Géométrie vectorielle plane Les
vecteurs ne doivent pas être considérés comme un objet d'étude en eux-mêmes
mais comme un outil en géométrie et en sciences physiques. Le calcul
vectoriel ne doit donc pas constituer un terrain d'activités purement
algébriques l'important étant que les élèves apprennent à manipuler
correctement les vecteurs et à s'en servir dans des problèmes simples |
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Représentation géométrique d'un vecteur -
Norme d'un vecteur ; notation . -
addition ; multiplication par un réel , vecteurs
colinéaires. |
La
notation et le vecteur nul n'ont pas
été introduits au collège. Une
exploitation des connaissances antérieures en géométrie et en sciences
physiques peut permettre, de dégager la notion de vecteur ; l'égalité
vectorielle = et la construction de + seront
reliées au parallélogramme. On évitera toute étude théorique à ce sujet ; on
s'appuiera sur l'expérimentation en sciences physiques pour introduire les
opérations sur les vecteurs. |
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4) Repères -
repères de la droite ; abscisse d'un point. -
Repères du plan coordonnées d'un vecteur
; coordonnées de + ; de k
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En
ce qui concerne l'équation d'une droite, on conserve le point de vue des classes
antérieures la forme générale ax + b + c = 0 est hors programme. La seule nouveauté est,
en repère orthonormal, pour les élèves issus de
Troisième technologique, la condition d'orthogonalité de deux droites
exprimée à l'aide des coefficients directeurs. |
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5) Étude
expérimentale de droites et de plans de l'espace : observation de
solides usuels dans le but de préciser des positions relatives et en
particulier de mettre en évidence des situations de parallélisme et
d'orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans. |
Les
objets usuels étudiés dans les classes 'antérieures (cube, parallélépipède
rectangle,. prisme droite, pyramide, sphère,
cylindre et cône de révolution) constituent un terrain privilégié pour les
activités. L'objectif,
n'est pas de mettre en place des résultats théoriques mais de familiariser
les élèves avec des configurations courantes |
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6) Description
de solides usuels en utilisant des projections orthogonales, sections planes,
développement. |
La
recherche de sections planes de solides doit se limiter à des cas très
simples ; elle permettra de préciser la forme du solide dans l'espace et sera
le support d'activités numériques. Les élèves seront alors amenés à choisir
certaines sections planes de solides mais, pour les travaux non encadrés par
le professeur, les « plans de coupe » seront indiqués, Les activités
exploiteront conjointement des maquettes des objets étudiés et des
représentations de ces objets effectuées, selon les problèmes posés, à main
levée ou à l'aide des Instruments de dessin. |
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7) Exemples
de calculs de distances, d'angles, d'aires et de volumes dans les
configurations usuelles du plan et de l'espace. |
Les
formules donnant les aires et volumes des solides usuels sont admises. Des
activités expérimentales dégageront l'effet d'un agrandissement, ou d'une
réduction sur les longueurs, les aires et les volumes. |
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8) Pas
de Trigonométrie Ce paragraphe ne
figure qu'au "programme des sections du secteur industriel
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