Problèmes sur la théorie des arrangements permutations et combinaisons

Exemples d’ énoncé de pb :

1.         De combien de manières différentes huit personnes peuvent-elles se placer autour d’une table ?

2.       Calculer le nombre des permutations qu’on peut faire avec 24 lettres ?

3.       On a 90 numéros dans une urne , et l’on en tire 1 , ou 2 , ou 3 ou 4 , ou 5 ; ou 6 , quelle chance a-t-on que les numéros sortants soient ceux qu’on aurait désignés d’avance ?

4.       On doit loger 40 personnes dans deux dortoirs différents : le premier contient 33 lits , le second 7 lits ; de combien de manières peut-on distribuer ces 40 personnes. ?

5.       Au jeu de boston on donne   13 cartes sur 52 , combien de combinaisons différentes ?

6.       Calculer le nombre de coups différents que l’on peut amener au jeu de dés .

7.       Quelle est la probabilité que tous les dés marquent le même point ? .

8.       Quelle est la probabilité  d’amener trois points égaux avec quatre dés ?

 

 

PROBLEMES :

 

Problème n°1 :

 

De combien de manières différentes huit personnes peuvent-elles se placer autour d’une table ?

 

Cette question revient à demander quelles sont les permutations dont 8 objets (personnes) sont susceptibles. Il faut donc employer la formule (2) dans laquelle on remplacera « n »  par 8, et elle donnera :

 

1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8  =  40 320 

Donc 8 personnes pourront dîner ensemble 40 320   fois pour épuiser toutes les positions diverses qu’elles peuvent prendre les unes relativement aux autres.

 

Problème n°2 :

 

Calculer le nombre des permutations qu’on peut faire avec 24 lettres ?

 

Dans ce cas , on fera avec « n » =  24  dans la formule ( 2) et elle deviendra :

1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8X…………………………………………..X 23 X 24   =

 

soit le calcul  24 !   ( lire : 24 factoriel)

 

En effectuant toutes les multiplication,on obtiendra, pour le nombre demandé : 620 448 401 733 239 439 360 000  permutations.

 

Commentaire sur ce nombre effrayant qui contient 620 sextillions, il faut se demander quelle étendue occuperaient ces permutations.

A cet effet, multiplions ce nombre par 24 pour avoir le nombre total des lettres contenues dans l’ensemble de toutes ces permutations ,et admettons que ces lettres , imprimées en caractères ordinaires,occupent chacune 4 millimètres carrés, ce qui fait 250 000 lettres par mètre carré.

Cela posé, on trouvera que toutes les permutations des 24 lettres de l’alphabet occuperaient une surface égale à 118 000 fois celle du globe terrestre.

 

Problème n°3 :

 

On a 90 numéros dans une urne , et l’on en tire 1 , ou 2 , ou 3 ou 4 , ou 5 ; ou 6 , quelle chance a-t-on que les numéros sortants soient ceux qu’on aurait désignés d’avance ?

 

Dans ce problème, on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel se trouvent les numéros sortants ; en conséquence, la chance de demandée doit être calculée d’après le nombre des combinaisons  de 90 numéros pris 1 à 1 ; 2 à 2 ; 3 à 3 ; 4 à 4 ; 5 à 5 , 6 à 6 ;  c'est-à-dire qu’il  faudra appliquer la formule (3 )  et prendre « m = 90 »  et «  n =  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 »  On aura donc. :

 

Pour 1 numéro   …………………………………………………………………..               =               90 chances.

 

Pour 2 numéros  ……………………………………………………………………        =          4005  chances

 

 

Pour 3  numéros………………………………………………………………….   =            117 480  chances

 

 

Pour 4 numéros ……………………………………………………………….  =   2 555 190  chances

 

Pour 5 numéros …………………………………………………………………. =  43 947 268  chances

 

Pour  6 numéros ……………………………………………………………………………………………………………………=  ( à vous de calculer)

 

9.       Problème : le loto   :  On a 49  numéros dans une urne , et l’on en tire 1 , ou 2 , ou 3 ou 4 , ou 5 ; ou 6 , quelle chance a-t-on que les numéros sortants soient ceux qu’on aurait désignés d’avance ?

 

Problème n° 4 :

 

On doit loger 40 personnes dans deux dortoirs différents : le premier contient 33 lits , le second 7 lits ; de combien de manières peut-on distribuer ces 40 personnes. ?

 

Commentaire : l’ordre dans lequel seront placées les 33  ou les 7 personnes dans chaque chambrée n’étant pas en ligne de compte ,on doit chercher encore  ici les combinaisons  7 à 7  ou  33 à 33 ; or , il faut observer que le nombre des unes , doit être égal à celui des autres , car chaque combinaison 7 à 7 en laisse nécessairement une 33 à 33.

D’ailleurs la formule  (3) donne le même résultat , soit qu’on fasse « n = 7 »  ou «  n = 33 » ;

 

On a en effet ,

 

 

 

Pour « n=7 »  , le nombre de manières   =       =  18 643 560

 

Pour « n=33 » , le nombre de manières  =  

 

Et ces deux expressions sont égales , parce que dans la seconde il y a aux deux termes les facteurs communs 8X 9 X ………….X 32 X 33

 

 

Problème 5.

 

Au jeu de boston on donne   13 cartes sur 52 , combien de combinaisons différentes ?

 

La formule (3) donne   =  635 013 559 600

 

 

Problème 6 :

 

Au jeu de piquet on a 32 cartes : On en donne 12 à chaque joueur ,et  l’on laisse 8 cartes au talon ; on demande le nombre de combinaisons que peut offrir ce jeu.

 

La composition du jeu de chaque joueur est réglée par les combinaisons 12 à 12 des 32 cartes ; mais chacune d’elles doit se combiner ensuite avec les chances que donnent le jeu de l’autre joueur et les cartes  du talon, c'est-à-dire avec les combinaisons 8 à 8  ou 12 à 12 des 20 cartes restantes , il faut donc multiplier ces deux résultats l’un par l’autre pour avoir les combinaissons demandées.

 

On posera donc :

 

 

ce qui donne :     28 443 124 054 800  combinaisons.

 

 

Problème 7 :

Calculer le nombre de coups différents que l’on peut amener au jeu de dés :

1°) avec un dé

2°) avec deux dés ;

3°) avec  trois dés,

etc.….. et en général avec « n » dés.

 

Info :  Un dé est un petit cube dont les six faces sont numérotées de 1 à 6 par des points noirs, et la face qui reste en haut marque le coup.

Si l’on jette un seul dé,il est évident qu’on ne peut obtenir que six coups différents.

Si l’on prend deux dés, alors que chaque numéro de l’un peut se combiner avec les six numéros de l’autre, ce qui donnera 6 X 6 = 36 coups différents.

 

Avec trois dés , on verra que chaque face  ou numéro du 3ème pourra se combiner avec chacun des  36 coups fournis par les deux premiers,et qu’ainsi l’on aura 6 X 6 X6  = 216 coups différents, et ainsi de suite.

Donc, en général, le nombre de coups possibles est exprimé par le nombre 6 des faces de chaque dé , élevé à la puissance marquée par le nombre de dés employés.

Ainsi on aura

 

Avec 1 dé …………………………………..6 chances de sortir un ………………..1 ;2 ;3 ;……….6

Avec deux dés ………………………….6 ²   chances de sortir un arrangement  ……..

Avec  3 dés ………………………………6 3   chances de sortir un arrangement……..

Etc…………………………………………………………………………

 

Avec « n » dés ………………………….6 n ……………………………. chances de sortir un arrangement……..

 

10.     Remarque : le jeu de dés offre une grande variété de chances,et donne lieu à un grand nombre de problèmes différents.

On peut se demander, par exemple, quelle est la probabilité que tous les dés marquent le même point.

Or ,quelque nombre de dés,qu’on jette, il n’y a qu’une manière d’avoir tous les as ; une pour  tous les « 2 », une pour tous les « 3 » , etc., ce qui donne six chances seulement pour les coups égaux dans tous les cas ; ainsi   c’est  le calcul     qui indique la probabilité demandée.

 

11.        En second lieu, demandons nous quelle est la probabilité  d’amener trois points égaux avec quatre dés.

 

« m = 4 »   et   « n= 3 »   ;  combinaisons = 

A cet effet, nous dirons : les quatre as,par exemple,dans ces quatre dés, peuvent donner    =  4  combinaisons  3 à 3 ; il en sera de même pour obtenir  3   « deux » , 3 « trois » , 3 « quatre » , 3 « cinq »,  les 3 « six » donneront aussi 4 combinaisons chacun,ce qui fait en tout 24 combinaisons  3 à 3 ;

 

Mais pendant que trois dés marquent le même point, le 4ème peut représenter tour à tour chacune des 5 autres faces, en sorte que les 24 combinaisons ci-dessus fourniront 24 X 5 = 120 combinaisons.,dans lesquelles trois dés marqueront le même point. 

D’un autre côté , 4 dés pouvant donner 6 4  = 1296 coups différents , on aura pour le rapport demandé : 

 

Problème XIII :

Etant donné un jeu de piquet ( 32 cartes) , calculer la chance que l’on a de tirer une quinte en prenant cinq cartes au hasard.

 

La quinte forme une des combinaisons 5 à 5 que peuvent donner les 8 cartes de chaque couleur qui entre dans un jeu de piquet, or, 8 cartes se combinent 5 à 5 de

 

Ce qui fait pour les quatre couleurs : 56 X 4  =  224  combinaisons.

 

D’un autre côté, 32 cartes forment en tout   combinaisons 5 à 5.

 

La chance demandée est donc de :

 

EXERCICES ET PROBLEMES.  (sur la théorie des combinaisons)

 

 

  ) De combien de manières 7 personnes peuvent-elles dîner ensemble en occupant toutes les places possibles ?

( réponse : 5040)

2°) Avec 100 soldats combien peut-on former de rangs de 5 hommes ?

 

( Réponse : 9 034 502 400)

 

3°) Sur un poste de 100 hommes , de combien de manières peut-on extraire une patrouille de 5 hommes. ?

 

( Réponse : 75 287 520)

 

4°) DE combien de manières peut-on distribuer 21 objets en 2 tas de 6 et de  15 ?

 

(Réponse : 54 264)

 

5°) Quelle chance a-t-on de tirer trois cartes désignées d’un jeu de 32 cartes. ?

 

(Réponse : 1 / 4960)

 

6°) On met 90 numéros dans un sac,et , après les avoirs bien agités, on les retire  l’un après l’autre. Quelle est la probabilité que ces numéros sortirons dans l’ordre naturel de leur grandeur ?

 

(Réponse : le nombre total des permutations contre 1 )

 

7°) Au jeu de wist,  ( ou de boston) quelle probabilité a – t-on  que chaque joueur ait les 13 cartes de la même couleur ?

 

Ce problème revient à demander quel est le nombre total des combinaisons que peut offrir le jeu de wist ( ou de boston) relativement aux quatre joueurs.

 

Solution :  Le jeu du premier joueur est réglé par les combinaisons données au problème n°5 ; celui du second dépend des combinaisons  13 à 13 des 39 cartes restantes ; enfin le  3ème  et le 4ème  joueur auront des jeux pris dans les combinaisons  13 à 13 des 26 autres cartes ; en sorte que la probabilité demandée dépend du produit de ces trois espèces de chances , et elle est exprimée par :

 

 

ce qui donne : 8 565 126 197 851 151 797 861 440 000

 

 

 

8°) Etant donnés les 73 caractères d’imprimerie qui compose les vers suivants.

 

Celui qui met un frein à la fureur des flots

Sait aussi des méchants arrêter les complots ;

 

On suppose que l’on jette les caractères  sans ordre dans une boîte ; qu’après les avoir mêlés , on les en retire l’un après l’autre sans choix et qu’on les assemble au hasard ; quelle probabilité y a - t- il que ces deux vers ci-dessus soient reproduits ?

 

( Réponse :  73 X 72 X 71X ………………………3X 2 X 1 =    4,4701154615126843408912571381251  e+105  ) ce qui donne un nombre énorme !!!!!!!!!!!!!!

 

9°) On demande   le nombre total des combinaisons 2 à 2 ; 3 à 3 ;etc.…. ;6 à 6 ;qu’on peut former avec les 7 couleurs primaire du spectre solaire .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

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