Pour
calculer la probabilité de trouver 6 numéros au loto, il suffit de trouver
combien il existe de séries non ordonnées de 6 nombres choisis parmi 49. On
trouve :
(44 x 45 x 46 x 47 x 48 x 49) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2)
soit 13 983 816. Ce calcul n'est
pas difficile.
Par contre, pour
savoir quelle probabilité on a de trouver 3 numéros, c'est un peu plus délicat.
Pour savoir quelle
chance on a de trouver 3 numéros d'un tirage de 6 numéros sur 49, il ne faut
pas raisonner sur les séries de trois numéros, mais sur les séries de 6 numéros
qui contiennent 3 des numéros du tirage.
6 numéros étant
choisis, il y a 20 possibilités de les organiser par trois. Pour savoir combien
de séries de 6 numéros contiennent une de ces 20 possibilités, on procède de la
façon suivante. Quand on a 3 numéros, il faut en ajouter 3 autres parmi les 42
qui ne font pas partie du tirage pour obtenir une série de 6 (42 car il faut
enlever les 6 numéros et le complémentaire (merci à Laurent Martin de m'avoir
signalé que j'avais oublié d'enlever également le complémentaire)). Le nombre
de possibilités d'avoir 3 numéros parmi 42 est de
(40 x 41 x 42) / (3 x 2) = 11 480
Comme il y a 20 choix
possibles pour les trois premiers numéros, le nombre total de combinaisons de 6
chiffres qui contiennent 3 des numéros du tirage est de 11 480 x 20 soit 229
600. Sachant qu'au total il y a 13 983 816 combinaisons de 6 numéros, la
probabilité d'avoir une combinaison contenant 3 numéros gagnant est de 229 600
/ 13 983 816 soit une chance sur 60,9.
Pour 4 numéros parmi
6, il y a (5 x 6) / 2 soit 15 combinaisons possibles. Pour obtenir 6 numéros
avec une de ces combinaisons, il faut ajouter 2 numéros à choisir parmi 42. Le
nombre de combinaisons de 6 numéros contenant 4 numéros gagnants est donc de 15
x (41 x 42) / 2 = 12 915. Avec 6 numéros, on a donc 12 915 chances sur 13 983
816 d'avoir une combinaison contenant 4 numéros gagnants soit 1 chance sur 1
082,7.
Pour 5 numéros parmi
6, il y a 6 combinaisons possibles. Pour obtenir 6 numéros avec une de ces
combinaisons, il faut ajouter 1 numéro à choisir parmi 42. Le nombre de
combinaisons de 6 numéros contenant 5 numéros gagnants est donc de 6 x 42 soit
252. Avec 6 numéros, on a donc 252 chances sur 13 983 816 d'avoir une
combinaison contenant 5 numéros gagnants soit 1 chance sur 55 491.
Le nombre de
combinaisons contenant 3 numéros gagnant + le complémentaire se calcule d'une
façon analogue. Une série de 6 numéro qui convient contient le complémentaire
(1 choix), 3 des 6 numéros gagnants (20 choix) et 2 numéros parmi les 42
restant (41 x 42 / 2). Soit au total
20 x 41 x 42 / 2 = 17 220
La probabilité
d'avoir une série de 6 numéros contenant 3 numéros gagnants et le
complémentaire est donc de 17 220 sur 13 983 816 soit une chance sur 812.
Pour 4 numéros avec
le complémentaire, le nombre de séries de 6 numéros est de
15 x 42 = 630
La probabilité
d'avoir une série de 6 numéros contenant 4 numéros gagnants et le
complémentaire est donc de 630 sur 13 983 816 soit une chance sur 22 196
Pour 5 numéros + le
complémentaire, il y a 6 séries qui conviennent soit une probabilité de 6 sur
13 983 816 soit une chance sur 2 330 636.
Une probabilité de 1
sur 1000 de gagner signifie que si vous jouez 1 000 000
de fois, vous allez certainement gagner autour de 1000 fois. La première fois
où vous allez gagner interviendra certainement dans les 1000 premiers essais.
Si vous êtes chanceux, ce sera dans les premiers essais. Si vous n'êtes pas
chanceux, cela interviendra peut être après le millième essai.
On peut gagner aux
jeux de hasard. Il peut arriver qu'une personne achète un billet pour la
première fois et qu'elle gagne. Si elle ne joue plus, elle a réellement gagné.
Les calculs statistiques sont alors complètement faux.
Les grands joueurs
sont incapables de s'arrêter de jouer. S'ils gagnent, c'est une motivation pour
continuer à jouer et même pour jouer plus. C'est alors que les calculs
statistiques deviennent vérifiables. Le hasard a moins de place et la logique
reprend le dessus.