LES FONCTIONS NUMERIQUES

ET LEURS APPLICATIONS

 

 

DEFINITION D' UNE FONCTION NUMERIQUE -VOCABULAIRE

 

En mathématique, une fonction numérique est un lien entre deux ensembles de nombres.

 

Exemple : On décide d'associer à tout nombre x, le double de celui-ci. Le nombre associé est fonction de x, on le note ƒ(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le diagramme précédent est appelé diagramme sagittal de la fonction ƒ

Les nombres de l'ensemble de départ sont appelés antécédents.

Les nombres de l'ensemble d'arrivé sont appelés images.

 

On note cette fonction : ƒ : x ® 2x : il faut lire : " fonction ¦ qui a tout nombre x associe le nombre 2x."

L'expression algébrique de la fonction ƒ est : ƒ(x) = 2x

 

FExercices

 

1°) Donner l'expression algébrique de la fonction g qui a tout nombre x associe la moitié de celui-ci.

2°) Construire le diagramme sagittal de la fonction g pour les antécédents : -2 ; 0 ; 7 ; 9.

3°) Soit la fonction ƒ : x ® 2x -5; calculer les images des nombres 8 ; 5 ; 7 ; 13 ; 0 ; -1 ; -2.

4°) Donnez l'expression algébrique de la fonction h suivante : "Je prends un nombre x, je le divise par 2, j'ajoute 5 au résultat.

 


Votre calculatrice regorge de fonctions numériques celles-ci sont représentées par les touches 

   

Zone de Texte: ÖZone de Texte: Log	Zone de Texte:   x²	Zone de Texte: Ln	Zone de Texte: Tan	Zone de Texte: Cos	Zone de Texte: Sin

……………

 

 

Zone de Texte: Sin	Le fonctionnement de ces touches dépend du modèle de la calculatrice.

Les deux types de fonctionnement sont illustrés à l'aide de la touche :            Cette touche représente la fonction "sinus",

 

iVérifier que votre calculatrice est réglée sur le mode DEG (affiché en haut ou en bas de l'écran)

 

On veut calculer l'image de 5 par la fonction sinus, il existe deux fonctionnements de calculatrice :

 

 


Fonctionnement  direct

 

La séquence de touches est la suivante :

Zone de Texte: SINZone de Texte: SINZone de Texte: 5

Zone de Texte: (

 

La calculatrice affiche le résultat :

 

0.087155743

 


Fonctionnement indirect

 

La séquence de touche est la suivante :

Zone de Texte: =Zone de Texte: )Zone de Texte: 5

 

 

La calculatrice affiche le résultat :

 

0.087155743

 

 


FExercices

 

En utilisant votre calculatrice, compléter le tableau suivant :

 

x

10

15

20

25

30

45

92

185

275

ƒ1(x)=Cos(x)

Arrondir à 0,001 si nécessaire

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ƒ2(x)=x²+6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ƒ3(x)=

Arrondir à 0,001 si nécessaire

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


REPRESENTATION GRAPHIQUE D' UNE FONCTION NUMERIQUE

 

Pour représenter graphiquement une fonction numérique ƒ, on construit d'abord un tableau à simple entrée regroupant les valeurs de x et de leurs images ƒ(x)

Ensuite on place les points de coordonnées (x ; y=ƒ(x)) dans un repère dont les axes sont orthogonaux.

L'ensemble de ces points forme la représentation graphique de la fonction ƒ

 

 

Exemple : On désire construire la représentation graphique de la fonction g : x ®pour des valeurs de x comprises entre -4 et 4 et variant par pas de 0,5

 

u On construit le tableau de valeurs :

 

 

 

 

 

v On construit la courbe représentative dans un repère dont l'échelle des 2 axes est adaptée aux données :

En abscisse on représente les valeurs de x

En ordonnée on représente les valeurs de g(x)

 

Les coordonnées des points sont ( x ; g(x)  ) ; dans ce cas il y a 17 points à placer sur le graphique.

 


FExercice

 

On considère la fonction g : x ® x3.

1°) Construire un tableau de valeurs pour des valeurs de x allant de -2 à 2 par pas de 0,1

2°) Construire la représentation, graphique de cette fonction en choisissant comme unité graphiques :

1 cm pour 0,5 unités en abscisse

1 cm pour 1 unité en ordonnée

 

ETUDE DE QUELQUES FONCTIONS PARTICULIERES

 

uLES FONCTIONS LINEAIRES

 

Définition Lorsque qu'à chaque nombre x, on associe le nombre ax (a est un nombre quelconque différent de zéro), on défini une fonction  linéaire de coefficient a.

On note cette fonction ƒ : x ® ax.

 

Exemple : Soit la fonction linéaire de coefficient « -3 »   . A chaque nombre « x » on associe le nombre  « -3.x »

 

Le tableau suivant regroupe quelques images de nombres pour cette fonction.

 

     x  

-1

0

2

     ƒ(x)

3

0

-6

 

Remarques :

·        Les suites de nombres x et ƒ(x) forment deux suites de nombres proportionnelles. a est le coefficient de proportionnalité.

·        Pour déterminer la valeur du coefficient a, il faut calculer le rapport ƒ(x) sur x :

 

FExercices

 

1°) Une pompe distribuant du carburant est une machine permettant de fabriquer des fonctions linéaires

Au moment où l'on prend du  GPL son prix au litre est 0,92 €.

 

a)Compléter le tableau de valeurs suivant

 

Nombre de litres( L)

1

10

25

47,5

…………

x

Prix total à payer ( € )

…………

…………

…………

…………

40

…………

 

b)On défini la fonction linéaire f telle qu'au nombre de litres x on associe le prix total à payer f(x). Donner l'expression algébrique de la fonction f.

 

c) Représenter graphiquement la fonction f


 

2°) Complétez les tableaux de valeurs et représentez graphiquement chaque fonction f et g

Tableau de valeurs

 

x

0

-1

2

3

f(x)

 

 

 

 

Tableau de valeurs

 

x

0

-3

1

1,5

g(x)

 

 

 

 


Représentation graphique

Représentation graphique

L'équation de la droite représentative de la fonction f  est :

L'équation de la droite représentative de la fonction g est :

 


D'après les exercices précédents on constate que la représentation graphique d'une fonction linéaire  ƒ : x ® ax est une droite qui passe par l'origine du repère.

L'équation de cette droite est y = ax. a est le coefficient directeur de la droite.

 

Remarque :

·        Quand deux grandeurs sont proportionnelles, l'une est une fonction linéaire de l'autre.

·        En pratique pour tracer la droite d’équation y = ax, on calcule les coordonnées d’un point pour une valeur de x que l’on choisi et on trace la droite entre ce point et l’origine du repère.

 

FExercices

1°) L'intérêt I d'un placement au taux de 4,5 % par an est proportionnel au capital C placé.

a)    Calculer les intérêts rapportés par 300 € , 500 € , 1000 € , 2000 € .

b)    Exprimez I en fonction de C.

c)    Cette situation peut-elle être représentée par une fonction linéaire ? Si oui donner le coefficient de cette fonction.

 

2°) Calculer les coefficients des fonctions linéaires f et g suivantes sachant que leur représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère et :

le point A (1 ; 3 ) pour la fonction f

le point B(-2;5) pour la fonction g

 

3°)    a) Complétez le tableau suivant :

 

Fonction

Equation de la droite représentative

Coefficient directeur de la droite

Tableau de valeurs

3

x

1

-1

2

3

H1(x)

 

 

 

 

 

 

x

1

-1

2

3

H2(x)

 

 

 

 

 

 

x

1

-1

2

3

H3(x)

 

 

 

 

 

 

x

1

-1

2

3

H4(x)

 

 

 

 

 

Zone de Texte:

b) Construire sur le même graphique les représentations graphiques de ces 4 fonctions :

 

vLES FONCTIONS AFFINES

 

Définition Lorsque qu'à chaque nombre x, on associe le nombre ax + b (a et b sont des nombres quelconques différents de zéro), on défini une fonction  affine.

On note cette fonction ƒ : x ® ax + b

 

Exemple : La fonction ƒ : x ® 2x - 3 une fonction affine. Le tableau ci-dessous regroupe quelques images de x par cette fonction :

 

x

0

-2

1

5

10

ƒ(x)

-3

-7

-1

7

17

 

La représentation graphique de cette fonction est :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'est une droite d'équation y = 2x -3, cette droite ne passe pas par l'origine du repère.

 

La représentation graphique d'une fonction affine ƒ : x ® ax + b est une droite d'équation y = ax + b.

 

FExercices

 

1°) Calculer les images des nombres 5 ; 8 ; 0 ; -2 ; 10 ; 15 ; 12 ; 13 ; -2.5 ; 4 des fonctions suivantes ; Regrouper les résultats dans un tableau à simple entrée.

ƒ : x ® 4x-2

g : x ® 10 x - 3

h : x ®

 

2°) Un garagiste ayant dépanné un véhicule sur le bord de la route établit sa facture en utilisant les éléments suivants :             

- 30 € de l'heure en main d'œuvre

- 45 € de frais de déplacement

 Complétez le tableau suivant :

 

Nombre d'heure de travail

1h

3h

……..

x

Prix de la main d'œuvre

 

 

 

 

Frais de déplacement

 

 

 

 

Total à payer

 

 

300 €

 

 

On appelle f la fonction qui à un nombre d'heures de travail x  associe le prix total à payer f(x)            

Tracez la représentation graphique de f.

 

3°) Le mouvement d’un chariot automatisé est donné par le diagramme ci-dessous, où x représente la position du chariot et t le temps :

 

 

a)    Déterminer à l’aide du graphique la vitesse du chariot dans chaque phase du mouvement.

b)    Chaque segment de droite représente une fonction x(t). Donner l’expression algébrique de chaque fonction pour chacune des phases du mouvement.

 

 

4°) Le diagramme ci-dessous est la représentation graphique de la fréquence de rotation n (tr/min) du vilebrequin en fonction de la vitesse v en km/h, pour chaque rapport de boîte

 

 

1°) Quel type de fonctions représente chaque droite ?

 

2°) Déterminer le coefficient directeur de chaque droite ; En déduire l’expression algébrique de chaque fonction n(v).

 


Ž SENS DE VARIATION, TABLEAU DE VARIATION

 

Une fonction f est croissante sur un intervalle de x donné si x augmente alors f(x) augmente.

Une fonction est décroissante sur un intervalle de x donné si x augmente alors f(x) diminue.

 

Pour une fonction donnée on représente ces variations dans un tableau à double entrées, la première ligne de ce tableau regroupe par ordre croissant les valeurs de x qui correspondent à un changement de sens de variation de f. Sur la seconde ligne du tableau on représente les variations de la fonction par des flèches montantes ( pour la croissance de f) ou descendantes ( pour la décroissance de f) ainsi que les valeurs prises par la fonctions aux valeurs de x relevées dans la première ligne du tableau.

 

Exemple : Soit la représentation graphique d’une fonction f suivante :

 

Le Tableau de variation de cette fonction est :

x

-2               -1               2                 4



Variation de f

                          3                                           4



2                                                 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

La fonction f est croissante sur [-2 ; -1 ]

La fonction f est décroissante sur [-1 ; 2]

La fonction f et croissante sur [ 2 ; 4 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FExercices

Dresser le tableau de variation de la fonction suivante dont la représentation graphique est donnée ci-dessous :

 

Sur quels intervalles de x la fonctions est-elle croissante ?

 

 

 

Quelle est la valeur de f(0) ?


 

 

 LES AUTRES FONCTIONS USUELLES

 

§     Les fonctions du second degré

 

L’expression algébrique d’une telle fonction est de la forme f(x) = a x² + bx + c (où a, b et c sont des réels et a est non nul). La représentation graphique est une parabole.

 


Cas où a > 0

On constate que lorsqu’on calcule des images pour des valeurs de x très grandes (positives ou négatives) alors f(x) devient très grand également. On dit que f tend vers plus l’infini lorsque x tend vers plus ou moins l’infini.

On note :


Cas où a < 0

 

De la même façon :

 

 

 

 

 


FExercice

 

Un restaurant a réalisé une étude théorique prévisionnelle du bénéfice rapporté pour une période donnée par les banquets.

Ce bénéfice est donnée en € par :

B(x)=-80 x²+ 2 400x – 10000 où x représente le nombre de banquets organisés.

1°) Reproduire et compléter le tableur suivant :

 

X

4

5

10

12

15

18

25

26

B(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) Représenter graphiquement la fonction B pour 4 < x < 26

Unités graphiques : abscisse : 1 cm pour 4, Ordonnée : 1 cm pour 1 000

3°) Déterminer graphiquement :

a)    Pour combien de banquets le restaurant réalise un bénéfice positif

b)    Le nombre de banquets pour lequel le bénéfice est maximal. Quel est ce bénéfice ?


§     La fonction racine carrée

 

La fonction est définie seulement pour x>0. Son expression algébrique est :

Sa représentation graphique est :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§     Les fonctions inverses

 

Ce sont des fonctions du type avec a non nul. Elles sont définies pour tous x différents de zéros ( l’image de zéro n’existe pas ).

Si a > 0

On constate que si on calcule des images pour des valeurs de x s’approchant de 0 par valeurs négatives alors f(x) devient un nombre négatif très grand. On dit que f tend vers moins l’infini ( notation « - ¥ ») lorsque x tend vers 0-. On note ceci de la façon suivante ;

Graphiquement la courbe se rapproche de l’axe des ordonnées sans jamais le toucher, on dit que l’axe des ordonnées est une asymptote.

De la même façon, on constate que si on calcule des images pou des valeurs de x s’approchant de 0 par valeurs positive alors f(x) devient un nombre positif très grand. On dit que f tend vers plus l’infini ( notation « + ¥ ») lorsque x tend vers 0+. On note :

Lorsque l’on calcule des images de f pour des valeurs de x très grandes, on constate que f(x) se rapproche de zéro par valeurs positives, on dit que f(x) tend vers zéros plus lorsque x tend vers plus l’infini.

Graphiquement, la courbe de f se rapproche de l’axe des abscisses par le dessus sans jamais le toucher.

Lorsque l’on calcule des images de f pour des valeurs de x très grandes négatives, on constate que f(x) se rapproche de zéro par valeurs négatives, on dit que f(x) tend vers zéros moins lorsque x tend vers moins l’infini.

Graphiquement, la courbe de f se rapproche de l’axe des abscisses par le dessous sans jamais le toucher.

La représentation graphique est :

Si a < 0

On constate les conclusions inverses des précédentes :

Graphiquement on obtient :

 

 

 

 

 

 

Ces types de courbes sont appelés des hyperboles.

 

 

 

 

FExercice

Etablir les tableaux de variation des fonctions précédentes.

 


FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

 

       I.      FONCTIONS LOGARITHMES

 

I.1.         Fonction logarithme népérien

 

a)    Définition

 

La fonction logarithme népérien notée "Ln" est la fonction qui a tout nombre x fait correspondre le nombre Ln(x) = Ln x.

Cette fonction n'est définie que pour x > 0.

Cette fonction s'annule pour x = 1 soit :  Ln 1 = 0.

 

Pour calculer le logarithme népérien d'un nombre, il faut utiliser la touche Ln de votre calculatrice. Suivant le modèle deux modes de fonctionnement existent :

 

Exemple :  On veut calculer le logarithme népérien de 2 soit Ln 2


Fonctionnement direct

 

La séquence de touche est la suivante :

Zone de Texte: =Zone de Texte: 2Zone de Texte: Ln

 

 

Zone de Texte: 0,6931471806La calculatrice affiche :

 

 

 


Fonctionnement indirect

 

La séquence de touche est la suivante :

Zone de Texte: LnZone de Texte: 2

 

 

La calculatrice affiche :

Zone de Texte: 0,6931471806

 

 

 


 

FExercice n°1

 

A l'aide de votre calculatrice donnez les valeurs des logarithmes népériens des nombres suivants (quand cela est possible)  Arrondir les résultats à 0,001 près.

 

x

12

15,5

-8

3,14

87

100000

3669,778

1475

0

Ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)    Propriétés opératoires

 

Pour tout nombre a et b strictement positifs on a :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ainsi, la fonction Logarithme népérien, transforme une multiplication en une addition et une division en une soustraction.


FExercice n°2

 

En utilisant les propriétés opératoires de la fonction Ln, exprimer en fonction de Ln (a) et Ln (b) les nombres suivants :

c)    Définition du nombre e

 

Le nombre e est tel que Ln e = 1. Sa valeur est e » 2,718281828…….

 

Pour avoir la valeur de e à l'aide de votre calculatrice il faut procéder à la séquence de touches suivantes :

 


Fonctionnement direct

 

 

 

 

Fonctionnement indirect

 

 

 

 

 


FExercice n°3

 

En utilisant les propriétés opératoires de Ln et celle du nombre e calculer

 

d)    Représentation graphique de la fonction Ln

La représentation graphique de la fonction Ln, constitué des points de coordonnées (x ; y=Ln x ).

 

Elle passe par le point de coordonnées ( 1 ; 0 ) , puisque Ln 1 = 0.

 

Elle passe également par le point de coordonnées ( e ; 1 ) puisque Ln e = 1.

 

Quand x devient très grand ( valeurs positives) alors Ln x devient très grand également. On dit que Ln x tend vers plus l'infini (on note + ∞) quand x tend vers plus l'infini ( On note - ∞).

 

Quand x devient très petit, (il s'approche de plus en plus de zéro ) , Ln x devient très grand  dans les valeurs négatives : On dit que Ln x tend vers moins l'infini (on note - ∞ ) quand x tend vers zéro ( car Ln 0 n'existe pas )

Le tableau de variation de cette fonction est :

 

Valeurs de x

 0                                                                                       + ∞

Sens de variation de Ln x

Zone de Texte: + ∞Zone de Texte: - ∞

On met une double barre en dessous du zéro pour montrer que la fonction Ln n'est pas définie pour x = 0.

 

 


La fonction Ln est une fonction strictement croissante donc :

Si a = b alors Ln(a) = Ln (b)

 

Si a >b alors Ln (a) > Ln (b)

 

Si a < b alors Ln (a) < Ln (b)

 

I.2. Fonction logarithme DECIMAL

 

a)    Définition

 

Elle est définie à partir de la fonction Ln par :      pour x > 0

 

Pour calculer la valeur du logarithme décimal d'un nombre, on utilise la touche Log de la calculatrice. Le principe de fonctionnement est le même que pour la fonction Ln.

 

b)    Propriétés opératoires

 

Les propriétés opératoires sont les mêmes que la fonction Ln.

Deux propriétés supplémentaires qui découlent de la définition sont : Log (10) = 1  et   Log ( 10x ) = x

 

En effet :  et      car Log 10 = 1.

 

FExercice n°4

 

Sans utiliser votre calculatrice, compléter le tableau suivant :

 

x

102

10-5

108

10-5,7

10-12,7

1099

10-37,5

103

101

Log x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)    Représentation graphique de la fonction Log

 

Puisque Ln 10 > 0, Le tableau de variation de la fonction Log est le même que celui de la fonction Ln.

 

La courbe représentative est similaire.

 

La fonction Log est une fonction croissante. Sur ce graphique sont tracées les deux représentations graphiques des deux fonctions.

 

De plus on remarque que :

 

Pour x > 1, Log (x ) > 0 et Ln (x) > 0

 

Pour x < 1, Log (x) < 0 et Ln(x) < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Le tableau de variation de la fonction Log est :

 

Valeurs de x

 0                                                                                       + ∞

Sens de variation de Log x

Zone de Texte: + ∞Zone de Texte: - ∞

 

I.3. UTILISATION DES FONCTIONS LOGARITHMES

 

On utilise ces fonctions pour résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue est un exposant.

 

Exemple La valeur acquise Cn d'un capital C placé à intérêts composés au taux t annuel pendant n années est donné par la relation :

 

Cn = C (1 + t )n

On veut déterminer au bout de combien d'années n  la valeur acquise Cn un capital de 29 400 € placé à 6 % vaudra 40 000 €.

 

La première étape consiste à remplacer dans la relation donnée les grandeurs que l'on connaît :

 

A savoir C = 29 400 €          t = 0,06               Cn = 40 000 €

 

La relation devient avec ces valeurs :

 

40 000 = 29 400 ( 1 + 0,06 )n

 

40 000 = 29 400 ´ 1,06n

 

On veut déterminer la valeur de n, il faut donc dans un premier temps isoler dans le membre de droite 1,06n en divisant les deux membres de l'équation par 29 400 :

 

 

C'est à partir de cette équation que l'on va se servir des propriétés opératoires des fonctions logarithmes.

On prend le logarithme décimal ( ou népérien peut importe car elles ont les mêmes propriétés opératoires) des deux membres :

 

 

On peut maintenant diviser les deux membres de l'équation par Log(1,06) afin d'isoler n et d'en déterminer ainsi la valeur.

 

 

 

 

 

 

Il faut donc environ 5,28 années soit 5 ans et 3 mois et 11 jours environs.

 

FExercice n°5

 

Un capital de 2 500 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %.

 

1°) Calculer la valeur acquise par le capital au bout de 4 ans.

2°) Calculer le nombre d'année de placement nécessaires pour obtenir une valeur acquise de 4 275,85 €.

 


       I.      >>FONCTIONS EXPONENTIELLES

 

II.1.        FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e

 

a)    Définition

 

On appelle fonction exponentielle de base e, la fonction qui a x fait correspondre ex. Elle est définie pour tout nombre x.

 

NB : On rencontre parfois également la notation exp(x)

 

Pour calculer la valeur de l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche ex de la calculatrice. De même que pour la fonction  Ln, il existe deux modes de fonctionnement :

 

Exemple : On veut calculer l'exponentielle de 2,5 soit e2,5

 

 


Fonctionnement direct

 

La séquence de touche est la suivante :

 

 

 

 

 

 

 

 

La calculatrice affiche le résultat :

Zone de Texte: 12,18249396 

 

 

 


Fonctionnement indirect

 

La séquence de touche est la suivante :

 

 

 

 

La calculatrice affiche le résultat :

 

12,18249396

 

 

 


FExercice n°6

 

A l'aide de votre calculatrice, calculez complétez le tableau suivant ( Arrondir à 0,001 près )

 

x

-3,5

8

-1/2

3/4

6

0

ex

 

 

 

 

 

 

rrrererererere


 

b)    Propriétés opératoires

 

Quels que soient les nombres x et y on a :

L'exponentielle transforme une somme en produit.

 

Elle transforme une différence en quotient.

 

 

Une propriété importante est que les fonctions Logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions réciproques

 

Leurs effets sur un nombre x "s'annulent" mutuellement.

 

En effet : eln 3 = 3                  Ln (e3) = 3

 

D'une manière plus générale pour tout nombre x : Ln (ex ) = x et si x > 0 eLn(x)  = x

 

c)    Représentation graphique

 

La représentation graphique de la focntion exponentielle est constituée des points de coordonnées ( x ; y = ex)

 

La réciprocité des deux fonctions logarithmes népérien et exponentielle impliquer une symétrie par rapport à la première bissectrice (droite d'équation y = x ) des courbes représentatives des deux fonctions :

 

La fonction exponentielle est également une fonction croissante.

 

Lorsque x devient très grand ( on dit qu'il tend vers + ∞ ), ex devient très grand également ( ex tend vers + ∞).

 

Lorsque x tend vers des valeurs négatives très grandes, ex devient nulle. On dit que lorsque x tend vers -∞ alors ex tend vers zéro.

 

Des constatations précédentes on peut établir le tableau de variations suivant : 

 

 

 

 

Valeurs de x

- ∞                                                                                     + ∞

Sens de variation de ex

Zone de Texte: + ∞Zone de Texte: 0

 

Puisque la fonction exponentielle est une fonction croissante on a donc les propriétés suivantes :

 

Si x = y  alors ex = ey

Si x > y alors ex > ey

Si x < y alors ex < ey

 


II.2.   FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE a

 

a)    Définition

 

On appelle fonction exponentielle de base a (a > 0 et différent de 1), la fonction qui a x fait correspondre ax. Elle est définie pour tout nombre x.

 

Exemple la fonction exponentielle de base 3 est définie par 3x.

 

Pour calculer 3x pour x = 1,5 on utilise la touche puissance de la calculatrice (en général notée yx)

Ainsi  31,5 = 5,196152…….

 

b)    Propriétés opératoires

 

Mais pourquoi dit-on "fonction exponentielle de base a" ? En effet, derrière le ax se "cache" une exponentielle :

 

Posons : y = ax de façon à avoir une égalité.

 

Prenons les logarithmes népériens des deux membres de l'égalité précédente :

Ln(y) = Ln (ax)

En utilisant dans le membre de droite une propriété opératoire de Ln on a :

 

Ln(y) = x ´ Ln (a)

 

Prenons l'exponentielle de chaque membre :

 

eLn(y) = ex´Ln(a)

Or eLn(y) = y, l'égalité devient : y = ex´Ln(a)

 

Or au départ on a posé y = ax donc ax = ex´Ln(a)

 

Il faut donc retenir que :

ax = ex ´ Ln(a)

C'est la raison pour laquelle on dit que ax est une fonction exponentielle de base a.

 

Les propriétés opératoires sont les mêmes que pour les exponentielles de base e :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FExercice n°7

 

Résolvez les équations suivantes  :

3 x = 2                  4 x = 5                  2 x = 3                  2 x+1 = 3

Indication : il faut prendre le logarithme de chaque membre et utiliser les propriétés opératoires des logarithmes

 

 

 


SOMME DE FONCTIONS-PRODUIT D’UNE FONCTION PAR UNE CONSTANTE

 

ΠSomme de deux fonctions

 

La somme de deux fonction f1 et f2 est aussi une fonction g telle que g(x)=f1(x)+f2(x).

Pour obtenir la courbe de g lorsque les courbes de f1 et f2 sont tracées sur un même graphique, il suffit pour chaque abscisse x d’additionner les ordonnées des deux fonctions f1 et f2 correspondantes.

 

Exemple

 

FExercice

 

Un responsable d’entreprise a établi que le coût total de fabrication se décompose en charges variables te en charges fixes exprimées en € par les relations :

Charges variables : C1(x)=2x²+10x

Charges fixes : C2(x)=1 500 où x représente le nombre d’articles.

 

1°) Représenter dans un repère orthogonal les fonctions f1 et f2 définies sur l’intervalle [ 0 ; 40 ] par :

f1(x)=2x²+10x                                  f2(x)= 1 500

Unités graphiques :  Abscisses : 1 cm pour 5 unités, Ordonnée : 1 cm pour 500 unités.

2°) Construire la courbe représentative de la fonctions f1 + f2 à partir des représentations précédentes .

 

 

 

 

 Produit d’une fonction par une constante

 

Le produit d’une fonction f par une constante a non nulle est une autre fonction g telle que :

Pour obtenir la courbe de g à partir de celle de f il suffit pour chaque abscisse x de multiplier l’ordonnée correspondante de f par a.

Légende encadrée 2:  Légende encadrée 2:

 

FExercice

Tracer la courbe représentative de la fonction sur l’intervalle [-10 ; 10]. En déduire la courbe représentative de la fonction  

 


RESOLUTION GRAPHIQUE DE L’ EQUATION 

 

Résoudre l’équation consiste à trouver les valeurs de x pour lesquelles cette égalité est vraie.

Lorsque les fonctions f et g sont des fonctions affine ou linéaire, l’équation est du premier degré, on peut donc la résoudre par le calcul. Voyons avec deux de ces fonctions la relation entre la solution que l’on peut calculer et le graphique :

 

Prenons par exemple  et

 


Résolution par le calcul

 

La solution exacte de l’équation   est

Vérifions que f et g sont égales pour cette valeur de x :

L’égalité est vérifiée

 

 

 

 

 

 

 

On a
Résolution graphique

 

Le problème est qu’il faut déjà avoir une idée de la valeur de la solution pour pouvoir tracer les fonctions sur un certain intervalle de x, on sait que la solution est proche de zéros donc on va tracer les deux droites pour x compris entre -1 et 0 par pas de 0,01.

On trace donc les courbes représentatives de f et g qui sont des droites. Le point d’intersection correspond au cas où .

L’abscisse du point correspond à la solution ( ici il n’y en a qu’une), l’ordonnée correspond à la valeur prise par les deux fonctions.

On a donc approximativement comme coordonnées ( -0,14 ; 2,7)

La solution approchée de l’équation est x=-0,14


 

 



Conclusion : Pour résoudre graphiquement une équation du type Il suffit de tracer les courbes représentatives des deux fonctions f et g et de relever les abscisses des points d’intersection des deux courbes

 

Remarque : L’une des deux fonctions peut être une constante, dans ce cas l’égalité est , les solutions de ce type d’équations correspondent donc aux abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f avec la droite d’équation y = a qui est une droite horizontale.

FExercice

1°)On considère la fonction :

a) En utilisant une calculatrice, compléter le tableau suivant :

x

0

1

2

3

4

5

6

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

b) Tracer la courbe représentative de cette fonction avec comme unités graphiques :

Abscisse : 1 cm pour 1 unité

Ordonnée : 1 cm pour 2 unités

Il faut recalculer des images pour avoir un tracé plus exact !!!

c) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0

 

RESOLUTION GRAPHIQUE D’UNE INEQUATION ENTRE DEUX FONCTIONS

 

Considérons deux fonctions  et , il s’agit de trouver les valeurs de x pour lesquelles . Graphiquement est réalisée lorsque la courbe représentative de f est au dessus de celle de g et lorsque les deux courbes coïncident.

Cela correspond à la partie du graphique comprise entre x=5 et x=20. L’ensemble des solutions de l’inéquation  est [ 5 ; 20 ]

 

 

NB : L’ensemble des solutions de l’inéquation  est ] 5 ; 20 [ car l’inégalité est stricte et on ne tient pas compte de l’égalité entre les deux fonctions.

 

FExercice

 

Dans cet exercice, on se propose d’étudier la rentabilité d’une production.

1°) On considère la fonction C définie sur l’intervalle [0 ;25] par :

C(x)=2x²-40x+500

a)    Calculer C(0) ; C(5) ; C(10) ; C(15) ; C(20) ; C(25)

b)    Représenter graphiquement cette fonction.(abscisses 1 cm pour 2 unités, ordonnée : 1 cm pour 50 unités)

 

2°) On considère la fonction P définie sur [ 0 ; 25 ] par

P(x)=10x+30

Représenter graphiquement cette fonction dans le repère précédent.

 

3°) Le coût de production d’un produit est donné par la relation :

C(q)=2q²-40q+500 où q est la quantité produite.

Le prix de vente est donné par la relation :

P(q)=10 q + 300

a)    En utilisant les résultats précédents, déterminer graphiquement pour quelles valeurs de q le prix de vente est égal au coût de production.

b)    Sur quel intervalle la production est-elle rentable ?

 

 


NOMBRE DERIVE-DERIVEE D’UNE FONCTION NUMERIQUE

 

Œ Nombre dérivé

 

Par définition, le nombre dérivé d’une fonction f au point d’abscisse x0, est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse ( x0 ; f(x0)).

Le nombre dérivée est noté f ’(x0). (Lire f prime de x0)

 

La tangente est une droite introduite pour caractériser la pente directrice d’une courbe (C), associée à une fonction f.

Géométriquement, la tangente à une courbe (C) au point A d'abscisse x0, est la droite « position limite » de la droite (AM) lorsque M tend vers A, M étant un point quelconque de (C).

 

Regardez la séquence de dessin ci-dessous, plus le point M se rapproche du point A, plus la droite dessinée devient la tangente à la courbe au point A :

 

 

Dans cette partie vous allez voir comment de déterminer par le calcul, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f(x)=x²

Nous allons faire ce travail au point d’abscisse A :  x0 = 3. Les coordonnées de A sont donc A(x0 ; f(x0)) soit A(2 ;4). Nous allons prendre un point M(x1 ; f(x1)) sur la courbe d’abscisse 4, les coordonnées de M sont donc((x1 ; f(x1)) soit ( 4 ; 16 ).

Le calcul du coefficient directeur de la droite (AM) est .

Le tableau suivant résume les différentes valeurs  de a lorsque M se rapproche de A :

 

Cordonnées du point A

Coordonnées du point M

Coefficient directeur de (AM) : a

x0

f(x0)

x1

f(x1)

2

4

3

9

5

2

4

2.5

6.25

4.5

2

4

2.1

4.41

4.1

2

4

2.0001

4.00040001

4.0001

2

4

2.0000001

4.0000004

4

2

4

2.00000001

4.000000004

4

2

4

2.000000001

4.000000004

4

 

On constate que lorsque les deux points sont très proches, la valeur du coefficient directeur devient constante et égale à 4. On considère alors que la droite (AM) est la tangente en A à la courbe.

Par définition, le nombre dérivé de f au point d’abscisse x0=2 est 4. On note : f ’(2) = 4.

Sur le graphique ci-dessous, sont représentées la courbe représentative de f(x) = x2 ainsi que les 4 premières droites correspondant aux 4 premiers coefficients directeurs calculés dans le tableau :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Si on avait fait le calcul du coefficient de la tangente à la courbe au point A(3 ; 9 ) on aurait trouvé 6 ; ainsi par définition f’(3) = 6

 

Pour A (2 : 4) on a f’(2) = 4 = 2 × 2

Pour A (3 ; 9 )  on a f’(3) = 6 = 2 × 3

On peut remarquer que le nombre dérivée au point d’abscisse x0 est à chaque fois le double ainsi on a alors la formule : f’(x0) = 2 x0 .

Cette formule permet de calculer en n’importe quel point de la courbe le coefficient directeur de la tangente.

Par exemple au point A(2,5 ; 6,25) : f’(2,5) = 2×2,5 = 5 ( vérifier graphiquement)

 


 Fonction dérivée

 

Par définition, la fonction dérivée de f (notée f’) est la fonction qui transforme le nombre x en nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse x.

 

Ainsi, pour la fonction f(x) = x2, la fonction dérivée est f’(x) = 2x.

 

A quoi sert la fonction dérivée d’une fonction ?

Légende encadrée 2: Pour x>0 ; f ’(x) = 2x est positif, f est croissante.Légende encadrée 2: Pour x<0 ; f ’(x) = 2x est négatif, f est décroissante.La dérivée d’une fonction sert à étudier le sens de variation d’une fonction. En effet, pour x<0, f est décroissante, et f’(x) = 2 x < 0 pour tout x <0.

Pour x > 0, f est croisante et f’(x) = 2x > 0 pour tout x > 0.

On remarque que pour x=0, f’(x) = 0, en x=0 la courbe représentative de f admet une tangente horizontale et f est minimale.

 

 

 

 

 

 

On retiendra :

 

Pour une fonction f quelconque :

Si f’(x) > 0 sur un intervalle de x donné alors  f est croissante sur cet intervalle.

Si f’(x) < 0 sur un intervalle de x donné alors f est décroissante sur cet intervalle.

Si f’(x) = 0 alors f admet une tangente horizontale et f présente un extremum ( maximum ou minimum)

 

 

Ainsi, maintenant pour connaître le sens de variation d’une fonction f on calculera sa dérivée f’, on étudiera ensuite le signe de la dérivée pour en déduire le sens de variation de f.

Pour connaître l’abscisse des extremums d’une fonction f il faut résoudre l’équation f’(x)=0.


Ž Dérivée des fonctions numériques usuelles. Calcul de dérivées

 

Les mathématiciens ont établis les correspondances suivantes :

 

Fonction f

Dérivée f’

x2

2x

x3

3x2

ax+b

a

sin(x)

cos(x)

cos(x)

-sin(x)

u(x) + v(x)

u’(x) + v’(x)

ku(x)

ku’(x)

u(x)v(x)

u’(x)v(x)+u(x)v’(x)

u(x)n

nu’(x)u(x)n-1

 

Exemple de calculs de dérivée de fonctions 

 

§     f(x)=2x+3            f’(x) = 2     

§     f(x)=4x² + 3x – 2 f’(x) = 8x + 3

§     f(x) = (10x+3)(2x-8)     f’(x) = 10(2x-8) + (10x+3)2 = 40x – 74

§     f(x) = (2x-3)2                 f’(x) = 2(2)(2x-3)1=8x - 12

§                       

 

F Exercices

 

1.    Calculer la dérivée de la fonction f dans les cas suivant :

 

2.    Déterminer les équations des tangentes aux courbes des fonctions ci-dessous au point d’abscisse x0 spécifié entre parenthèses :

3.    Soit la fonction f définie sur [1,2 ; 9] par :

a.     Calculer la dérivée f’ de f

b.    Etudier le signe de f’. En déduire le tableau de variation de f

c.     Compléter le tableau de valeurs suivant :

x

1,2

1,5

2

3

5

9

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

d.    Tracer dans un repère orthonormal ( unité graphique 1 cm) la courbe représentative de f.

e.    Tracer dans le même repère la droite D d’équation y=-2x+7. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec la droite D.

 

4.    Une entreprise fabrique des jouets qu’elle vend par lots.

Le coût de fabrication, en euros, d’un nombre x de lots est donné, pour 0≤x≤15 par :

C(x)=4x3-96x²+576x+100

On se propose de déterminer le nombre de lots à fabriquer pour obtenir le coût minimal.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 15 ] par :

f(x)= 4x3-96x²+576x+100

a.     Calculer f’(x) où f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

b.    Vérifier que f’(x)=12(x-4)(x-12)

c.     Etablir le tableau de signe de la dérivée sur [ 0 ; 15 ]

d.    En déduire le tableau de variation de f.

e.    Quel est le nombre de lots à fabriquer pour obtenir n coût minimal. Donner la valeur de ce coût minimal.

 

5.    Une entreprise d’emballages industriels veut réaliser un conteneur ayant la forme d’un parallélépipède rectangle pou un transport maritime à l’exportation.

Pour des raisons techniques, ses dimensions intérieures sont liées par les relations

a.     Exprimer h et L en fonction de .

b.    Montrer que le volume V s’exprime, en m3, en fonction de par la relation :

c.     Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 1 ; 4 ] par :

d.    Calculer la dérivée  de  f

e.    Montrer que l’équation admet deux solutions x1 et x2 que l’on calculera arrondies au centième.

f.       Déduire de l’étude précédente les dimensions intérieures ( arrondies au cm) du conteneur ayant un volume maximal.

 

6.    Le service de gestion d’une entrepris a établi que le coût annuel C de son stock, exprimé en euros est donné en fonction du nombre annuel q de commande par :

 pour q compris entre 2 et 20

 

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 2 ; 20 ] par :

a)    Faire un tableau de valeur de f pour x compris entre 2 et 20 par pas de 4. Donner les résultats approchés à 0,1 près.

b)    Déterminer la fonction f’ dérivée de la fonction f.

c)    Pour tout x de l’intervalle [ 2 ; 20 ], étudier le signe de f’(x), en,déduire le sens de variation de f.

d)    Indiquer la valeur minimale prise par f(x) pour x appartenant à l’intervalle [ 2 ; 20 ]

e)    Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, tracer la courbe représentative de f.

Unités graphiques : abscisses : 0,5 cm pour 1        ordonnée : 1 cm pour 50

f)      Indiquer le nombre annuel de commandes qui permet à l’entreprise d’avoir un coût de stock annuel minimal.

 

7.    Le circuit électrique ci-contre comprend :

 

§     Un générateur

§     Un condensateur

§     Un commutateur

§     Un voltmètre

 

 

Le condensateur étant préalablement chargé, (position Œ), on étudie sa déchargé en fonction du temps (position )

Le tableau ci-dessous donne une série de mesures :

t(s)

0

2

4

6

8

10

U(V)

4.5

3

2

1.35

0.9

0.6

 

a.                             Tracer la courbe représentative de la fonction f définie par f(t)=U dans un repère orthogonal.

La fonction est-elle linéaire ? affine ? justifier

 

b.    Afin de déterminer la nature de la fonction f représenter les points de coordonnées (t ; ln U) dans un repère orthogonal. Qu’obtenez vous ?

c.     Montrer que ln U = -0,2 t + 1,5. En déduire l’expression de U en fonction de f.