LES FONCTIONS NUMERIQUES

REPRESENTATION GRAPHIQUE D' UNE FONCTION NUMERIQUE

Pour représenter graphiquement une fonction numérique ƒ, on construit d'abord un tableau à simple entrée regroupant les valeurs de x et de leurs images ƒ(x)

Ensuite on place les points de coordonnées (x ; y=ƒ(x)) dans un repère dont les axes sont orthogonaux.

L'ensemble de ces points forme la représentation graphique de la fonction ƒ

Exemple : On désire construire la représentation graphique de la fonction g : x ® x² pour des valeurs de x comprises entre -4 et 4 et variant par pas de 0,5

u On construit le tableau de valeurs :

v On construit la courbe représentative dans un repère dont l'échelle des 2 axes est adaptée aux données :

En abscisse on représente les valeurs de x

En ordonnée on représente les valeurs de g(x)

Les coordonnées des points sont ( x ; g(x) ) ; dans ce cas il y a 17 points à placer sur le graphique.

FExercice

On considère la fonction g : x ® x³.

1°) Construire un tableau de valeurs pour des valeurs de x allant de -2 à 2 par pas de 0,1

2°) Construire la représentation, graphique de cette fonction en choisissant comme unité graphiques :

1 cm pour 0,5 unités en abscisse

1 cm pour 1 unité en ordonnée

ETUDE DE QUELQUES FONCTIONS PARTICULIERES

uLES FONCTIONS LINEAIRES

Définition Lorsque qu'à chaque nombre x, on associe le nombre ax (a est un nombre quelconque différent de zéro), on défini une fonction linéaire de coefficient a.

On note cette fonction ƒ : x ® ax.

Exemple : Soit la fonction linéaire de coefficient « -3 » . A chaque nombre « x » on associe le nombre « -3.x »

Le tableau suivant regroupe quelques images de nombres pour cette fonction.

x	-1	0	2
ƒ(x)	3	0	-6

Remarques :

· Les suites de nombres x et ƒ(x) forment deux suites de nombres proportionnelles. a est le coefficient de proportionnalité.

· Pour déterminer la valeur du coefficient a, il faut calculer le rapport ƒ(x) sur x :

FExercices

1°) Une pompe distribuant du carburant est une machine permettant de fabriquer des fonctions linéaires

Au moment où l'on prend du GPL son prix au litre est 0,92 €.

a)Compléter le tableau de valeurs suivant

Nombre de litres( L)	1	10	25	47,5	…………	x
Prix total à payer ( € )	…………	…………	…………	…………	40	…………

b)On défini la fonction linéaire f telle qu'au nombre de litres x on associe le prix total à payer f(x). Donner l'expression algébrique de la fonction f.

c) Représenter graphiquement la fonction f

2°) Complétez les tableaux de valeurs et représentez graphiquement chaque fonction f et g

Tableau de valeurs

x	0	-1	2	3
*f(x)*

Tableau de valeurs

x	0	-3	1	1,5
*g(x)*

Représentation graphique

L'équation de la droite représentative de la fonction f est :

L'équation de la droite représentative de la fonction g est :

D'après les exercices précédents on constate que la représentation graphique d'une fonction linéaire ƒ : x ® ax est une droite qui passe par l'origine du repère.

L'équation de cette droite est y = ax. a est le coefficient directeur de la droite.

Remarque :

· Quand deux grandeurs sont proportionnelles, l'une est une fonction linéaire de l'autre.

· En pratique pour tracer la droite d’équation y = ax, on calcule les coordonnées d’un point pour une valeur de x que l’on choisi et on trace la droite entre ce point et l’origine du repère.

FExercices

1°) L'intérêt I d'un placement au taux de 4,5 % par an est proportionnel au capital C placé.

a) Calculer les intérêts rapportés par 300 € , 500 € , 1000 € , 2000 € .

b) Exprimez I en fonction de C.

c) Cette situation peut-elle être représentée par une fonction linéaire ? Si oui donner le coefficient de cette fonction.

2°) Calculer les coefficients des fonctions linéaires f et g suivantes sachant que leur représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère et :

le point A (1 ; 3 ) pour la fonction f

le point B(-2;5) pour la fonction g

3°) a) Complétez le tableau suivant :

Fonction

Equation de la droite représentative

Coefficient directeur de la droite

Tableau de valeurs

x	1	-1	2	3
H₁(x)

x	1	-1	2	3
H₂(x)

x	1	-1	2	3
H₃(x)

x	1	-1	2	3
H_4(x)

Zone de Texte:

b) Construire sur le même graphique les représentations graphiques de ces 4 fonctions :

vLES FONCTIONS AFFINES

Définition Lorsque qu'à chaque nombre x, on associe le nombre ax + b (a et b sont des nombres quelconques différents de zéro), on défini une fonction affine.

On note cette fonction ƒ : x ® ax + b

Exemple : La fonction ƒ : x ® 2x - 3 une fonction affine. Le tableau ci-dessous regroupe quelques images de x par cette fonction :

x	0	-2	1	5	10
ƒ(x)	-3	-7	-1	7	17

La représentation graphique de cette fonction est :

C'est une droite d'équation y = 2x -3, cette droite ne passe pas par l'origine du repère.

La représentation graphique d'une fonction affine ƒ : x ® ax + b est une droite d'équation y = ax + b.

FExercices

1°) Calculer les images des nombres 5 ; 8 ; 0 ; -2 ; 10 ; 15 ; 12 ; 13 ; -2.5 ; 4 des fonctions suivantes ; Regrouper les résultats dans un tableau à simple entrée.

ƒ : x ® 4x-2

g : x ® 10 x - 3

h : x ®

2°) Un garagiste ayant dépanné un véhicule sur le bord de la route établit sa facture en utilisant les éléments suivants :

- 30 € de l'heure en main d'œuvre

- 45 € de frais de déplacement

Complétez le tableau suivant :

Nombre d'heure de travail	1h	3h	……..	x
Prix de la main d'œuvre
Frais de déplacement
Total à payer			300 €

On appelle f la fonction qui à un nombre d'heures de travail x associe le prix total à payer f(x)

Tracez la représentation graphique de f.

3°) Le mouvement d’un chariot automatisé est donné par le diagramme ci-dessous, où x représente la position du chariot et t le temps :

a) Déterminer à l’aide du graphique la vitesse du chariot dans chaque phase du mouvement.

b) Chaque segment de droite représente une fonction x(t). Donner l’expression algébrique de chaque fonction pour chacune des phases du mouvement.

4°) Le diagramme ci-dessous est la représentation graphique de la fréquence de rotation n (tr/min) du vilebrequin en fonction de la vitesse v en km/h, pour chaque rapport de boîte

1°) Quel type de fonctions représente chaque droite ?

2°) Déterminer le coefficient directeur de chaque droite ; En déduire l’expression algébrique de chaque fonction n(v).

Ž SENS DE VARIATION, TABLEAU DE VARIATION

Une fonction f est croissante sur un intervalle de x donné si x augmente alors f(x) augmente.

Une fonction est décroissante sur un intervalle de x donné si x augmente alors f(x) diminue.

Pour une fonction donnée on représente ces variations dans un tableau à double entrées, la première ligne de ce tableau regroupe par ordre croissant les valeurs de x qui correspondent à un changement de sens de variation de f. Sur la seconde ligne du tableau on représente les variations de la fonction par des flèches montantes ( pour la croissance de f) ou descendantes ( pour la décroissance de f) ainsi que les valeurs prises par la fonctions aux valeurs de x relevées dans la première ligne du tableau.

Exemple : Soit la représentation graphique d’une fonction f suivante :

Le Tableau de variation de cette fonction est :

x	-2 -1 2 4
Variation de f	3 4 2 -1

La fonction f est croissante sur [-2 ; -1 ]

La fonction f est décroissante sur [-1 ; 2]

La fonction f et croissante sur [ 2 ; 4 ]

FExercices

Dresser le tableau de variation de la fonction suivante dont la représentation graphique est donnée ci-dessous :

Sur quels intervalles de x la fonctions est-elle croissante ?

Quelle est la valeur de f(0) ?

LES AUTRES FONCTIONS USUELLES

§ Les fonctions du second degré

L’expression algébrique d’une telle fonction est de la forme f(x) = a x² + bx + c (où a, b et c sont des réels et a est non nul). La représentation graphique est une parabole.

§ La fonction racine carrée

La fonction est définie seulement pour x>0. Son expression algébrique est :

Sa représentation graphique est :

§ Les fonctions inverses

Ce sont des fonctions du type avec a non nul. Elles sont définies pour tous x différents de zéros ( l’image de zéro n’existe pas ).

Si a > 0

On constate que si on calcule des images pour des valeurs de x s’approchant de 0 par valeurs négatives alors f(x) devient un nombre négatif très grand. On dit que f tend vers moins l’infini ( notation « - ¥ ») lorsque x tend vers 0^-. On note ceci de la façon suivante ;

Graphiquement la courbe se rapproche de l’axe des ordonnées sans jamais le toucher, on dit que l’axe des ordonnées est une asymptote.

De la même façon, on constate que si on calcule des images pou des valeurs de x s’approchant de 0 par valeurs positive alors f(x) devient un nombre positif très grand. On dit que f tend vers plus l’infini ( notation « + ¥ ») lorsque x tend vers 0⁺. On note :

Lorsque l’on calcule des images de f pour des valeurs de x très grandes, on constate que f(x) se rapproche de zéro par valeurs positives, on dit que f(x) tend vers zéros plus lorsque x tend vers plus l’infini.

Graphiquement, la courbe de f se rapproche de l’axe des abscisses par le dessus sans jamais le toucher.

Lorsque l’on calcule des images de f pour des valeurs de x très grandes négatives, on constate que f(x) se rapproche de zéro par valeurs négatives, on dit que f(x) tend vers zéros moins lorsque x tend vers moins l’infini.

Graphiquement, la courbe de f se rapproche de l’axe des abscisses par le dessous sans jamais le toucher.

La représentation graphique est :

Si a < 0

On constate les conclusions inverses des précédentes :

Graphiquement on obtient :

Ces types de courbes sont appelés des hyperboles.

FExercice

Etablir les tableaux de variation des fonctions précédentes.

La fonction Ln est une fonction strictement croissante donc :

Si a = b alors Ln(a) = Ln (b)

Si a >b alors Ln (a) > Ln (b)

Si a < b alors Ln (a) < Ln (b)

I.2. Fonction logarithme DECIMAL

a) Définition

Elle est définie à partir de la fonction Ln par : pour x > 0

Pour calculer la valeur du logarithme décimal d'un nombre, on utilise la touche Log de la calculatrice. Le principe de fonctionnement est le même que pour la fonction Ln.

b) Propriétés opératoires

Les propriétés opératoires sont les mêmes que la fonction Ln.

Deux propriétés supplémentaires qui découlent de la définition sont : Log (10) = 1 et Log ( 10^x ) = x

En effet : et car Log 10 = 1.

FExercice n°4

Sans utiliser votre calculatrice, compléter le tableau suivant :

x	10²	10^-5	10⁸	10^-5,7	10^-12,7	10⁹⁹	10^-37,5	10³	10¹
Log x

c) Représentation graphique de la fonction Log

Puisque Ln 10 > 0, Le tableau de variation de la fonction Log est le même que celui de la fonction Ln.

La courbe représentative est similaire.

La fonction Log est une fonction croissante. Sur ce graphique sont tracées les deux représentations graphiques des deux fonctions.

De plus on remarque que :

Pour x > 1, Log (x ) > 0 et Ln (x) > 0

Pour x < 1, Log (x) < 0 et Ln(x) < 0

Le tableau de variation de la fonction Log est :

Valeurs de x	0 + ∞
Sens de variation de Log x

I.3. UTILISATION DES FONCTIONS LOGARITHMES

On utilise ces fonctions pour résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue est un exposant.

Exemple La valeur acquise C_n d'un capital C placé à intérêts composés au taux t annuel pendant n années est donné par la relation :

C_n = C (1 + t )ⁿ

On veut déterminer au bout de combien d'années n la valeur acquise C_n un capital de 29 400 € placé à 6 % vaudra 40 000 €.

La première étape consiste à remplacer dans la relation donnée les grandeurs que l'on connaît :

A savoir C = 29 400 € t = 0,06 C_n = 40 000 €

La relation devient avec ces valeurs :

40 000 = 29 400 ( 1 + 0,06 )ⁿ

40 000 = 29 400 ´ 1,06ⁿ

On veut déterminer la valeur de n, il faut donc dans un premier temps isoler dans le membre de droite 1,06ⁿ en divisant les deux membres de l'équation par 29 400 :

C'est à partir de cette équation que l'on va se servir des propriétés opératoires des fonctions logarithmes.

On prend le logarithme décimal ( ou népérien peut importe car elles ont les mêmes propriétés opératoires) des deux membres :

On peut maintenant diviser les deux membres de l'équation par Log(1,06) afin d'isoler n et d'en déterminer ainsi la valeur.

Il faut donc environ 5,28 années soit 5 ans et 3 mois et 11 jours environs.

FExercice n°5

Un capital de 2 500 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %.

1°) Calculer la valeur acquise par le capital au bout de 4 ans.

2°) Calculer le nombre d'année de placement nécessaires pour obtenir une valeur acquise de 4 275,85 €.

b) Propriétés opératoires

Quels que soient les nombres x et y on a :

L'exponentielle transforme une somme en produit.

Elle transforme une différence en quotient.

Une propriété importante est que les fonctions Logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions réciproques

Leurs effets sur un nombre x "s'annulent" mutuellement.

En effet : e^{ln 3} = 3 Ln (e³) = 3

D'une manière plus générale pour tout nombre x : Ln (e^x ) = x et si x > 0 e^Ln(x) = x

c) Représentation graphique

La représentation graphique de la focntion exponentielle est constituée des points de coordonnées ( x ; y = e^x)

La réciprocité des deux fonctions logarithmes népérien et exponentielle impliquer une symétrie par rapport à la première bissectrice (droite d'équation y = x ) des courbes représentatives des deux fonctions :

La fonction exponentielle est également une fonction croissante.

Lorsque x devient très grand ( on dit qu'il tend vers + ∞ ), e^x devient très grand également ( e^x tend vers + ∞).

Lorsque x tend vers des valeurs négatives très grandes, e^x devient nulle. On dit que lorsque x tend vers -∞ alors e^x tend vers zéro.

Des constatations précédentes on peut établir le tableau de variations suivant :

Valeurs de x	- ∞ + ∞
Sens de variation de e^x

Puisque la fonction exponentielle est une fonction croissante on a donc les propriétés suivantes :

Si x = y alors e^x = e^y

Si x > y alors e^x > e^y

Si x < y alors e^x < e^y

II.2. FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE a

a) Définition

On appelle fonction exponentielle de base a (a > 0 et différent de 1), la fonction qui a x fait correspondre a^x. Elle est définie pour tout nombre x.

Exemple la fonction exponentielle de base 3 est définie par 3^x.

Pour calculer 3^x pour x = 1,5 on utilise la touche puissance de la calculatrice (en général notée y^x)

Ainsi 3^1,5 = 5,196152…….

b) Propriétés opératoires

Mais pourquoi dit-on "fonction exponentielle de base a" ? En effet, derrière le a^x se "cache" une exponentielle :

Posons : y = a^x de façon à avoir une égalité.

Prenons les logarithmes népériens des deux membres de l'égalité précédente :

Ln(y) = Ln (a^x)

En utilisant dans le membre de droite une propriété opératoire de Ln on a :

Ln(y) = x ´ Ln (a)

Prenons l'exponentielle de chaque membre :

e^Ln(y) = e^x^´^Ln(a)

Or e^Ln(y)= y, l'égalité devient : y = e^x^´^Ln(a)

Or au départ on a posé y = a^x donc a^x = e^x^´^Ln(a)

Il faut donc retenir que :

a^x = e^x^´^Ln(a)

C'est la raison pour laquelle on dit que a^x est une fonction exponentielle de base a.

Les propriétés opératoires sont les mêmes que pour les exponentielles de base e :

FExercice n°7

Résolvez les équations suivantes :

3 ^x = 2 4 ^x = 5 2 ^x = 3 2 ^x+1 = 3

Indication : il faut prendre le logarithme de chaque membre et utiliser les propriétés opératoires des logarithmes

Conclusion : Pour résoudre graphiquement une équation du type Il suffit de tracer les courbes représentatives des deux fonctions f et g et de relever les abscisses des points d’intersection des deux courbes

Remarque : L’une des deux fonctions peut être une constante, dans ce cas l’égalité est , les solutions de ce type d’équations correspondent donc aux abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f avec la droite d’équation y = a qui est une droite horizontale.

FExercice

1°)On considère la fonction :

a) En utilisant une calculatrice, compléter le tableau suivant :

x	0	1	2	3	4	5	6
f(x)

b) Tracer la courbe représentative de cette fonction avec comme unités graphiques :

Abscisse : 1 cm pour 1 unité

Ordonnée : 1 cm pour 2 unités

Il faut recalculer des images pour avoir un tracé plus exact !!!

c) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0

RESOLUTION GRAPHIQUE D’UNE INEQUATION ENTRE DEUX FONCTIONS

Considérons deux fonctions et , il s’agit de trouver les valeurs de x pour lesquelles . Graphiquement est réalisée lorsque la courbe représentative de f est au dessus de celle de g et lorsque les deux courbes coïncident.

Cela correspond à la partie du graphique comprise entre x=5 et x=20. L’ensemble des solutions de l’inéquation est [ 5 ; 20 ]

NB : L’ensemble des solutions de l’inéquation est ] 5 ; 20 [ car l’inégalité est stricte et on ne tient pas compte de l’égalité entre les deux fonctions.

FExercice

Dans cet exercice, on se propose d’étudier la rentabilité d’une production.

1°) On considère la fonction C définie sur l’intervalle [0 ;25] par :

C(x)=2x²-40x+500

a) Calculer C(0) ; C(5) ; C(10) ; C(15) ; C(20) ; C(25)

b) Représenter graphiquement cette fonction.(abscisses 1 cm pour 2 unités, ordonnée : 1 cm pour 50 unités)

2°) On considère la fonction P définie sur [ 0 ; 25 ] par

P(x)=10x+30

Représenter graphiquement cette fonction dans le repère précédent.

3°) Le coût de production d’un produit est donné par la relation :

C(q)=2q²-40q+500 où q est la quantité produite.

Le prix de vente est donné par la relation :

P(q)=10 q + 300

a) En utilisant les résultats précédents, déterminer graphiquement pour quelles valeurs de q le prix de vente est égal au coût de production.

b) Sur quel intervalle la production est-elle rentable ?

NOMBRE DERIVE-DERIVEE D’UNE FONCTION NUMERIQUE

Œ Nombre dérivé

Par définition, le nombre dérivé d’une fonction f au point d’abscisse x₀, est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse ( x₀ ; f(x₀)).

Le nombre dérivée est noté f ’(x₀). (Lire f prime de x₀)

La tangente est une droite introduite pour caractériser la pente directrice d’une courbe (C), associée à une fonction f.

Géométriquement, la tangente à une courbe (C) au point A d'abscisse x₀, est la droite « position limite » de la droite (AM) lorsque M tend vers A, M étant un point quelconque de (C).

Regardez la séquence de dessin ci-dessous, plus le point M se rapproche du point A, plus la droite dessinée devient la tangente à la courbe au point A :

Dans cette partie vous allez voir comment de déterminer par le calcul, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f(x)=x²

Nous allons faire ce travail au point d’abscisse A : x₀ = 3. Les coordonnées de A sont donc A(x₀ ; f(x₀)) soit A(2 ;4). Nous allons prendre un point M(x₁ ; f(x₁)) sur la courbe d’abscisse 4, les coordonnées de M sont donc((x₁ ; f(x₁)) soit ( 4 ; 16 ).

Le calcul du coefficient directeur de la droite (AM) est .

Le tableau suivant résume les différentes valeurs de a lorsque M se rapproche de A :

Cordonnées du point A		Coordonnées du point M		Coefficient directeur de (AM) : a
x₀	f(x₀)	x₁	f(x₁)	Coefficient directeur de (AM) : a
2	4	3	9	5
2	4	2.5	6.25	4.5
2	4	2.1	4.41	4.1
2	4	2.0001	4.00040001	4.0001
2	4	2.0000001	4.0000004	4
2	4	2.00000001	4.000000004	4
2	4	2.000000001	4.000000004	4

On constate que lorsque les deux points sont très proches, la valeur du coefficient directeur devient constante et égale à 4. On considère alors que la droite (AM) est la tangente en A à la courbe.

Par définition, le nombre dérivé de f au point d’abscisse x₀=2 est 4. On note : f ’(2) = 4.

Sur le graphique ci-dessous, sont représentées la courbe représentative de f(x) = x² ainsi que les 4 premières droites correspondant aux 4 premiers coefficients directeurs calculés dans le tableau :

Si on avait fait le calcul du coefficient de la tangente à la courbe au point A(3 ; 9 ) on aurait trouvé 6 ; ainsi par définition f’(3) = 6

Pour A (2 : 4) on a f’(2) = 4 = 2 × 2

Pour A (3 ; 9 ) on a f’(3) = 6 = 2 × 3

On peut remarquer que le nombre dérivée au point d’abscisse x₀ est à chaque fois le double ainsi on a alors la formule : f’(x₀) = 2 x₀ .

Cette formule permet de calculer en n’importe quel point de la courbe le coefficient directeur de la tangente.

Par exemple au point A(2,5 ; 6,25) : f’(2,5) = 2×2,5 = 5 ( vérifier graphiquement)

Ž Dérivée des fonctions numériques usuelles. Calcul de dérivées

Les mathématiciens ont établis les correspondances suivantes :

Fonction f	Dérivée f’
x²	2x
x³	3x²
ax+b	a

sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
u(x) + v(x)	u’(x) + v’(x)
ku(x)	ku’(x)


u(x)v(x)	u’(x)v(x)+u(x)v’(x)
u(x)ⁿ	nu’(x)u(x)^n-1

Exemple de calculs de dérivée de fonctions

§ f(x)=2x+3 f’(x) = 2

§ f(x)=4x² + 3x – 2 f’(x) = 8x + 3

§ f(x) = (10x+3)(2x-8) f’(x) = 10(2x-8) + (10x+3)2 = 40x – 74

§ f(x) = (2x-3)² f’(x) = 2(2)(2x-3)¹=8x - 12

F Exercices

1. Calculer la dérivée de la fonction f dans les cas suivant :

2. Déterminer les équations des tangentes aux courbes des fonctions ci-dessous au point d’abscisse x₀ spécifié entre parenthèses :

3. Soit la fonction f définie sur [1,2 ; 9] par :

a. Calculer la dérivée f’ de f

b. Etudier le signe de f’. En déduire le tableau de variation de f

c. Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	1,2	1,5	2	3	5	9
f(x)

d. Tracer dans un repère orthonormal ( unité graphique 1 cm) la courbe représentative de f.

e. Tracer dans le même repère la droite D d’équation y=-2x+7. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec la droite D.

4. Une entreprise fabrique des jouets qu’elle vend par lots.

Le coût de fabrication, en euros, d’un nombre x de lots est donné, pour 0≤x≤15 par :

C(x)=4x³-96x²+576x+100

On se propose de déterminer le nombre de lots à fabriquer pour obtenir le coût minimal.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 15 ] par :

f(x)= 4x³-96x²+576x+100

a. Calculer f’(x) où f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

b. Vérifier que f’(x)=12(x-4)(x-12)

c. Etablir le tableau de signe de la dérivée sur [ 0 ; 15 ]

d. En déduire le tableau de variation de f.

e. Quel est le nombre de lots à fabriquer pour obtenir n coût minimal. Donner la valeur de ce coût minimal.

5. Une entreprise d’emballages industriels veut réaliser un conteneur ayant la forme d’un parallélépipède rectangle pou un transport maritime à l’exportation.

Pour des raisons techniques, ses dimensions intérieures sont liées par les relations

a. Exprimer h et L en fonction de .

b. Montrer que le volume V s’exprime, en m³, en fonction de par la relation :

c. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 1 ; 4 ] par :

d. Calculer la dérivée de f

e. Montrer que l’équation admet deux solutions x₁ et x₂ que l’on calculera arrondies au centième.

f. Déduire de l’étude précédente les dimensions intérieures ( arrondies au cm) du conteneur ayant un volume maximal.

6. Le service de gestion d’une entrepris a établi que le coût annuel C de son stock, exprimé en euros est donné en fonction du nombre annuel q de commande par :

pour q compris entre 2 et 20

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 2 ; 20 ] par :

a) Faire un tableau de valeur de f pour x compris entre 2 et 20 par pas de 4. Donner les résultats approchés à 0,1 près.

b) Déterminer la fonction f’ dérivée de la fonction f.

c) Pour tout x de l’intervalle [ 2 ; 20 ], étudier le signe de f’(x), en,déduire le sens de variation de f.

d) Indiquer la valeur minimale prise par f(x) pour x appartenant à l’intervalle [ 2 ; 20 ]

e) Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, tracer la courbe représentative de f.

Unités graphiques : abscisses : 0,5 cm pour 1 ordonnée : 1 cm pour 50

f) Indiquer le nombre annuel de commandes qui permet à l’entreprise d’avoir un coût de stock annuel minimal.

7. Le circuit électrique ci-contre comprend :

§ Un générateur

§ Un condensateur

§ Un commutateur

§ Un voltmètre

Le condensateur étant préalablement chargé, (position Œ), on étudie sa déchargé en fonction du temps (position )

Le tableau ci-dessous donne une série de mesures :

t(s)	0	2	4	6	8	10
U(V)	4.5	3	2	1.35	0.9	0.6

a. Tracer la courbe représentative de la fonction f définie par f(t)=U dans un repère orthogonal.

La fonction est-elle linéaire ? affine ? justifier

b. Afin de déterminer la nature de la fonction f représenter les points de coordonnées (t ; ln U) dans un repère orthogonal. Qu’obtenez vous ?

c. Montrer que ln U = -0,2 t + 1,5. En déduire l’expression de U en fonction de f.

x	12	15,5	-8	3,14	87	100000	3669,778	1475	0
Ln x

x	-3,5	8	-1/2	3/4	6	0
e^x

x	10	15	20	25	30	45	92	185	275
ƒ₁(x)=Cos(x) Arrondir à 0,001 si nécessaire
ƒ₂(x)=x²+6
ƒ₃(x)= Arrondir à 0,001 si nécessaire

X	4	5	10	12	15	18	25	26
B(x)