CORRECTIONS DES EXERCICES SUR LES NOMBRES DERIVES-FONCTIONS DERIVEES-UTILISATION

Travaux auto formatifs

CORRECTIONS DES EXERCICES SUR LES NOMBRES DERIVES-FONCTIONS DERIVEES-UTILISATION

Exercice n°1

1°) D'après le formulaire : ¦''(x) = 2x. Ainsi ¦'(2) = 2´2 = 4

2°) 3°)

Le nombre dérivée correspond à la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 ( point de coordonnées ( 2 ; 4 ) sur la courbe.

Pour construire cette tangente, on se place au point C( 2; 4 ).

D'une manière générale, le coefficient directeur d'une droite signifie que lorsque l'abscisse d'un point situé sur la droite augmente de 1, alors son ordonnée augmente de la valeur du coefficient directeur.

Dans notre cas, la valeur du coefficient directeur de cette tangente est de ¦'(2)=4.

Pour tracer la tangente, il suffit de partir du point C de se déplacer de 1 unité vers la droite ( l'abscisse augmente de 1) et, pour trouver un autre point de la tangente il faut monter de 4 ( l'ordonnée augmente de 4 car 4 est positif). On utilise ainsi la propriété du coefficient directeur d'une droite pour la tracer rapidement.

Exercice n°2

En utilisant la propriété du coefficient directeur d'une droite, on va déterminer le coefficient directeur de chacune de ces tangentes.

Graphique de Gauche

Graphique de droite

Tangente en A : Le coefficient directeur est : -2

Tangente en B : le coefficient directeur est : -0,7

Tangente en C : C'est une tangente horizontale donc son coefficient directeur est 0.

Exercice n°3

Fonction ¦(x) = 2x²-8x-5 sur [-5 ; 5 ] ¦'(x) = 4x - 8

Etudions par exemple pour quelles valeurs de x, 4x - 8 > 0 il faut résoudre cette inéquation :

Donc, pour x >2, 4x - 8 > 0 d'où ¦'(x) > 0. Il est évident que si x < 2 alors 4x-8 < 0 d'où ¦'(x) < 0 et que pour x = 2, 4x - 8 = 0 d'où ¦'(x) = 0.

Le tableau de variation de ¦ est

Valeurs de x	-5 2 5
Signe de ¦'(x)	Négatif 0 Positif
Variation de ¦

Fonction -x²+3x+5 sur [-2 ; 2] ¦'(x)= -2x + 3

Etudions par exemple pour quelles valeurs de x, -2x + 3 > 0 il faut résoudre cette inéquation :

Zone de Texte: Attention on divise par on nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité !!!!! Donc, pour x <1,5, -2x+3 > 0 d'où ¦'(x) > 0. Il est évident que si x > 1,5 alors -2x+3 < 0 d'où ¦'(x) < 0 et que pour x = 1,5, -2x+3 = 0 d'où ¦'(x) = 0.

Le tableau de variation de ¦ est

Valeurs de x	-2 1,5 2
Signe de ¦'(x)	Positif 0 Négatif
Variation de ¦

Fonction x³+x+1 sur [-1 ; 3 ] ¦'(x) = 3x²+1

Il faut étudier le signe du polynôme du second degré 3x² + 1.

Son discriminant est D = 0²-4´3´1= -12, il n'y a pas de racines donc le polynôme est du signe de 3 donc positif ( voir le signe d'un polynôme du second degré dans le cours correspondant )

On peut également raisonner de la manière suivante : x² est toujours positif donc 3x² aussi alors 3x² + 1 est positif.

Ainsi sur [ -1 ; 3 ] ( et pour n'importe quelles valeurs de x ) , 3x² +1 > 0 donc ¦'(x) > 0

La fonction x³ + x +1 est croissante sur [-1 ; 3]

Valeurs de x	-1 3
Signe de ¦'(x)	Positif
Variation de ¦

Exercice n°4

1°) ¦'(x) = 4x-10

2°) il faut d'abord étudier le signe de ¦'(x) = 4x - 10. Résolvons l'inéquation 4x - 10 > 0 ( par exemple )

Pour x > 2,5 on a ¦'(x) > 0 donc la fonction ¦ est croissante.

En conséquence pour x < 2,5 on a ¦'(x) < 0 donc la fonction ¦ est décroissante.

Le tableau de variation est :

Valeurs de x	0 2,5 4
Signe de ¦'(x)	Négatif 0 Positif
Variation de ¦

3°) D'après le tableau de variation, on constate que ¦ admet un minimum pour x = 2,5 et que la valeur de ce minimum est -9,5.

Exercice n°5

1°) (x+1)(2x-3) = x´2x + x´(-3) + 1´2x + 1´(-3) = 2x²-3x+2x-3 = 2x²-x-3

2°) Puisque (x+1)(2x-3) = 2x²-x-3 alors ¦(x) = 2x²-x-3 donc ¦'(x) = 4x-1

Exercice n°6

1°) a) D'après le graphique le tableau de variation de ¦ est :

Valeurs de x	-2 -1 1 2,5
Variation de ¦

b) L'équation ¦(x) = 0 se résout graphiquement en allant lire la valeurs des abscisses des points de la courbe pour lesquels l'ordonnée vaut 0. Ces points ont pour abscisses -1,5 ; -0,3 ; 1,9.

2°) a) ¦'(x) = 3x²-3.

Pour vérifier que ¦'(x) = 3(x-1)(x+1) on va développer cette expression.

¦'(x) =3(x²+x-x-1) =3(x²-1) = 3x²-3

x	-2 -1 1 2,5
Signe de x-1	Négatif 0 Positif
Signe de x+1	Négatif 0 Positif
Signe de ¦'(x)	Positif 0 Négatif 0 Positif

c) D'après le tableau de signe la dérivée ¦' on en déduit que :

Sur [-2 ; -1 ] ¦ est croissante Sur [-1 ; 1] ¦ est décroissante Sur [1;2,5] ¦ est croissante

Valeurs de x	-2 -1 1 2,5
Variation de ¦

Exercice n°7

Partie A

1°) Il faut résoudre l'équation en x : b(x) = 0 0,35x - 45 = 0 d'où x = 45/0,35 ≈ 125,57

2°) Le bénéfice maximal est donc obtenu pour x = 300 il faut calculer b(300) = 0,35 ´ 300 -45 = 60

Le bénéfice maximal est de 60 €

3°) Cette fonction est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite.

Pour la tracer il suffit d'avoir les coordonnées de deux de ses points pour des valeurs de x comprises entre [150;300].

Exemple pour : x = 200 : ¦(200) = 0,35´200-45 = 25 pour x = 250 : ¦(250) = 0,35´250-45 = 42,5

4°) Il faut aller lire l'abscisse du point de la droite dont l'ordonnée est 20

Cette abscisse est donc x =185.

Partie B

1°) On veut que b(300) = 60 soit -0,005´300²+2,6´300+c = 60

330 + c = 60 alors c = -270

Si on veut que cette condition soit remplie il faut que b(x) = -0,005 x² + 2,6 x -270

2°) a)

x	150	180	210	240	260	280	300
g(x)	7,5	36	55,5	66	68	66	60

g(210) = -0,005 ´ 210²+2,6´210 -270 = 55,5 g(280) = -0,005 ´ 280²+2,6´280 -270 = 66

b) g'(x) = -0,005´2x + 2,6 = -0,01 x +2,6

c) Il faut résoudre l'équation -0,01 x + 2,6 = 0 donc x = -2,6 / -0,01 = 260. on a alors x₀ = 260

Cela signifie que g admet un maximum ou un minimum pour x₀ = 260 puisque la dérivée de g s'annule.

d) il faut donc calculer b(x₀ ) = b (260) = -0,005´260²+2,6´260 -270 = 68.

Le bénéfice maximal est de 68 €