NIVEAU  IV :   CORRECTION DES EXERCICES DE STATISTIQUES

 

Exercice n°1

 

a)       il y a 8 carreaux au total don 8 ´ 5 = 40 bus ont roulé entre 140 000 km et 220 000 km

b)      Ce sont des données regroupées en classe, on les regroupe dans un tableau :

 

Classe représentant le nombre de kms

Nombre de Bus

Centre de la classe

[20 000 ; 60 000[

[60 000 ; 100 000 [

[100 000 ; 140 000 [

[140 000 ; 220 000]

30

60

40

40

40 000

80 000

120 000

180 000

Total

170

 

 

On veut calculer le kilométrage moyen ( noté . Comme les données sont regroupées en classes, les x1, x2….xp sont les valeurs du centre de chaque classe :

 

 kms.

 

Exercice n°2

 

1°) Calcul du mode

Le mode est dans ce cas une classe modale car les données sont à variable continue ( la distance peut avoir n’importe quelle valeur).

 

La classe modale correspond à l'effectif maximal donc : [ 6 000 ; 8 000 [.

 

Calcul de la moyenne

Etant donné que les données sont regroupes en classe, il faut calculer chaque centre de classe afin d'avoir la distance moyenne parcourue par les voitures. Le calcul est le même qu'à l'exercice n°1 :

 

 kms.

 

Calcul de la médiane

La médiane est la valeur de la variable ( la distance ici) qui sépare l'effectif total en deux.

 

L'effectif est 62, la médiane sera donc la valeur de la variable correspondant au véhicule n°31.

Le 31eme véhicule est dans la classe [ 6000 ; 8000 [ et c'est le 11eme de cette classe. Si on considère que les 11 véhicules de cette classe se répartissent de manière égale, à ce véhicule correspondra

8 000 km.

 

La valeur de la médiane est donc de 8000 km

 

2°) Le polygone des effectifs cumulés croissant confirme la valeur de 8000 pour la médiane car au point d'ordonnée 31 correspond 8000 en abscisse.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice n°3

 

1°) La moyenne est :

 

 

Pour calculer l'écart type, vous pouvez utiliser les fonctions statistiques de votre calculatrice ou dans le cas contraire et, afin d'éviter les erreurs on procède par étape pour calculer σ. Avant de calculer σ, il faut calculer V, la variance puisque σ = √V.

 

Or :

Etant donné que les valeurs sont regroupées en classe, il faut prendre la valeur du centre de chaque classe pour les x i, les ni étant l'effectif de chaque classe.

 

Longueur (en cm)

Effectif ni

Valeur centrale xi

Valeur nixi2

[150,4 ; 150,5[

[150,5 ; 150,6[

[150,6 ; 150,7[

[150,7 ; 150,8[

[150,8 ; 150,9 [

7

18

41

28

6

150,45

150,55

150,65

150,75

150,85

158446,4175

407975,445

930512,3225

636315,75

136534,335

Total

100

 

2269784,27

 

 

On donc :

 

Ainsi

 

2°) L'intervalle est : [ 150,658 - 0,09867 ; 150,658 + 0,09867 ] = [ 150,55933 ; 150,75667] soit en arrondissant au dixième : [ 150,6 ; 150,8] .

 

Cet intervalle englobe les deux intervalles [150,6 ; 150,7[ et [150,7 ; 150,8[ soit 41 +28 = 69 valeurs.

Etant donné qu'il y a 100 valeurs, 69 % des pièces ont une longueur appartenant à l'intervalle [150,8 ; 150,8].

 

Exercice n°4

Les calculs ne seront pas détaillés car ils sont similaires à l'exercice n°3

 

1°)

 

2°)

 

3°) Rappel : la fréquence est le rapport de l'effectif par l'effectif total. On l'exprime en % en multipliant ce rapport par 100. Dans cet exercice ce n'est pas demandé.

La somme des fréquence doit faire 1 ou 100 si elles sont exprimées en %

 

Prix (en €)

Effectif

Fréquences

FCC

FCD

[ 150 ; 250 [

[ 250 ; 350 [

[ 350 ; 450 [

[ 450 ; 550 [

[ 550 ; 850 [

320

500

700

280

200

0,16

0,25

0,35

0,14

0,10

0,16

0,41

0,76

0,90

1

1

0;84

0,59

0,24

0,10

Total

2 000

1

 

 

 

 


4°) La médiane est la valeur de la variable qui correspond 50 % de l'effectif total.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour le calcul, il faut regarder dans quel intervalle se trouve la fréquence ayant pour valeur 0,5.(50%)

 

Cet intervalle est [350 ; 450 [. Or 41 % des valeurs sont comprises les intervalles précédents. Il reste donc pour cet intervalle 9%.

Dan l'intervalle [350 ; 450[, il y 35 % des valeurs. Il faut donc connaître la "place" de ces 9% en considérant que les valeurs se répartissent de manière uniforme.

 

35 % correspondent à 100 €

donc 1 % correspond à 100/35 = 2,85714…..€

Alors 9 % correspondent alors à 9 ´ 2,85714…=25,7142…. €

La valeur de la médiane est donc 350 + 25,7142 = 375, 7142 €

 

5°) Cet intervalle est : [ 387-138 ; 387 + 138 ]= [249 ; 525]

 

Comment déterminer quel est le nombre de valeurs contenus dans cet intervalle ?

 

Cet intervalle empiète sur plusieurs classes à savoir : [150 ; 250 [ ; [250 ; 350 [ ; [350 ; 450 [ ; [ 450 ; 550 [.

 

En fait on va considérer que l'effectif de chaque classes se répartit  de manière uniforme.

 

Dans l'intervalle [150 ; 250 [ il y a 320 valeurs; 320 valeurs vont se répartir sur 100 €; les valeurs seront donc espacées de 100 /  320 = 0,3125 €

 

Il faut donc calculer combien de valeurs seront dans l'intervalle [249 ; 250 [.

Il y a 1 € d'écart donc il y aura 1 / 0,3125 = 3,2 valeurs soit 3 valeurs.

 

Pour les intervalles suivant :  [250 ; 350[   et [350 ; 450 [ il y a 1 200 valeurs au total.

 

Pour l'intervalle [450 ; 550[ il faut calculer combien de valeurs il y aura jusqu' à 525.

 Dans l'intervalle [450 ; 550[, il y a 280 valeurs. Chaque valeur sera donc séparée de 280 / 100 = 0,28 €.

 

De 450 à 525 il y aura donc 75/0,28 = 267,857….soit 268 valeurs.

 

Au total on aura donc dans l'intervalle [ 249 ; 525 ] : 3 + 1200 + 268 = 1471 valeurs soit un pourcentage de (1471/2000) ´ 100 = 73,55 %

 

 

 

Exercice n°5

 

 

 

1°) G1 (2 ; 6,05)       

 

2°) G2 (5,45 ; 24,25)

 

3°) Il faut déterminer l'équation de la droite (G1G2) de la forme y = ax + b

 

Calcul du coefficient directeur a         C'est le rapport de la différence des ordonnées et de la différence des abscisses des points.    .

On est obligé de garder l'écriture fractionnaire pour faire le calcul exact de l'équation de la droite (G1G2 )

 

Calcul de l'ordonnée à l'origine b

 

L'équation est de la forme . Pour déterminer b on écrit de G1 appartient à cette droite c'est à dire que ses coordonnées vérifie l'équation : soit :

donc

 

L'équation de la droite (G1G2 ) est  soit avec des valeurs approchées :  y = 5,2754 x + 4,5007

 

Vous pouvez vérifier que les coordonnées de l'autre point G2 vérifie cette équation.

 

 

 

 

4°)

 

 

 

 

Exercice n°6

 

1°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


2°) les coordonnées des points moyens sont :

 

 

 

 

 

G1 ( 3 ; 28,7)

G2 ( 8 ; 37,28)

3°) La démarche est la même qu'à l'exercice n°5.

L'équation de la droite (G1G2) :

 

y =1,716 x + 23,552

 

4°) Le rang de cette année est x = 13 donc le nombre de nuitées sera :

y = 1,716 ´ 13 + 23,552 = 45,86

 

5°) Le nombre de nuitées en 1991 est 25,4 le double est donc 50,8. Dans ce cas il faut déterminer quelle est la valeur de x correspondant à y = 50,8.

On doit résoudre l'équation :

50,8 = 1,716 x + 23,552 donc x ≈ 15,88 soit 16 années environ.

 

 

 

 

 

 

Exercice n°7

 

 

 

 

 

Voici les réponses

1°)

 

2°) a) Les coordonnées des points moyens sont :

 

G1(1320 ; 418)

G2(3200 ; 142 )

 

3°) L'équation de la droite (G1G2) est :

 

y = -0,1468 x + 611,79

 

4°) il faut donc calculer y pour x = 1500 :

 

y = -0,1468´1500+611,79

y = 391,59.

 

Il y aurait donc 392 entreprises disposées à acheter le logiciel à 1500 €

 

5°) Il faut calculer x pour y = 300 : on doit donc résoudre l'équation : 300 = -0,1468´x + 611,79

 

donc . Le prix à proposer serait donc de 2130 € environ.

 

6°) Le bénéfice net de la société s'exprime par :

 

·        Les bénéfices liés à la vente du logiciel :

x : prix proposé, y : nombre de logiciel vendus

ce bénéfice est donc : y´x.

 

Mais d'après la question 5°) y = -0,1468 x + 611,79

 

Ce bénéfice s'exprime donc par la relation :

 (-0,1468 x + 611,79) ´ x

·        Les frais de conception et de distribution de 150 000 €

 

Le bénéfice net B(x) est donc : B(x) = (-0,1468 x + 611,79) ´ x - 150 000 = -0,1468 x² + 611,79 x - 150000

 

Soit en arrondissant : B(x) = -0,147 x² + 612x - 150000.

 

7°) Rappel : lorsque qu'une fonction présente un maximum ou un minimum, sa dérivée s'annule (voir le cours sur la dérivée)

 

Le calcul de la dérivée B' de la fonction B est :

 

B'(x) = -0,147´2 x + 612 = -0,294 x + 612

 

La fonction B présente un maximum si B'(x) = 0 soit -0,294 x + 612 = 0.

La solution de cette équation est x = -612/-0,294 ≈ 2081,632653.

 

La fonction B admet donc un maximum pour x0 = 2081,632653.

La valeur de ce bénéfice est :

B(2081,632653) =  -0,147 ´(2081,632653)²+612´2081,632653-150000 =486979,5918

 

 

 

 

 

 

Exercice n°8

 

 

(Dans l'énoncé, les chiffres d'affaires sont en k€)

 

1°)

 

 

 

 

 

 

 

 

1994

1995

Moyennes mi

Janvier

 171.96 k€

 160.07 k€

 166.02 k€

Février

 168.30 k€

 173.79 k€

 171.05 k€

Mars

 147.27 k€

 152.75k€

 150.01 k€

Avril

 139.03 k€

 140.86 k€

 139.95 k€

Mai

 150.92 k€

 159.16 k€

 155.04 k€

Juin

 150.92 k€

 171.96 k€

 161.44 k€

Juillet

 143.61 k€

 132.63 k€

 138.12 k€

Août

 110.68 k€

 121.65 k€

 116.17 k€

Septembre

 173.79 k€

 181.11 k€

 177.45 k€

Octobre

 170.13 k€

 178.37 k€

 174.25 k€

Novembre

 134.46 k€

 160.99 k€

 147.73 k€

Décembre

 181.11 k€

 186.60 k€

 183.86 k€

 

CVS

Janvier

1,06

Février

1,09

Mars

0,96

Avril

0,89

Mai

0,99

Juin

1,03

Juillet

0,88

Août

0,74

Septembre

1,13

Octobre

1,11

Novembre

0,94

Décembre

1,17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) Cela revient à faire la moyenne des moyennes mi :

 

 

3°) Voir Tableau

 

 

 

4°) Le tableau des données corrigées des variations saisonnières pour l'année 1995 est :

 

 

 

1995

Données

corrigées

Janvier

151,00 k€

Février

159,44 k€

Mars

159,11k€

Avril

158,27 k€

Mai

160,77 k€

Juin

156,74 k€

Juillet

150,72 k€

Août

164,39 k€

Septembre

160,27 k€

Octobre

160,69 k€

Novembre

171,27 k€

Décembre

159,49 k€

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°)      Août 1996 x = 20 : y = 0,255´20 + 153,97 = 159,07 k€

            Décembre 1996 x = 24 : y = 0,255´24 + 153,97 = 160,09 k€

 

6°) D'après l'expression du n°4 on a Donnée brute = CVS ´ Donnée corrigée

 

Donc :             Août 1996 : Donnée brute = 0,74 ´ 159,07 = 117,71 k€

            Décembre 1996 : Donnée brute: 1,17 ´160,09 = 187,31 k€

 

 

 

 

Exercice n°9

 

 

1°) On va numéroter les 12 mois de 1 à 12. En abscisses on placera le n° du mois et en ordonnée le nombre de couverts correspondant :

 

2°)      a) Le point M a pour coordonnées : M ( 3 ; 90 )  Le point S a pour coordonnées : S ( 9 ; 106 )

           

b) L'équation de la droite (MS) est : y = 2,667 x + 82

 

c)      Le mois de Mars de l'année suivante a pour rang x = 15. Il faut donc à l'aide de l'équation

de la droite y = 2,667 x + 82.

 

                         X = 15           ;           y = 2,667´15 + 82 = 122,005 On peut donc espérer 122 couverts en Mars de l'année suivante.

 

 

 

 

 

 

Exercice n°10

 

 

 

1°) il y a 8 trimestres au total on va donc numéroter ces trimestres de 1 à 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

2°) Les coordonnées des points G1 et G2 sont respectivement : (2,5 ; 8325) et ( 6,5 ; 10302,5)

 

3°) L'équation de cette droite est :

 

y = 494,38x + 7089,1

 

4°) La moyenne M trimestrielles des ventes pour les deux années est : 10 345.

 

La moyenne des ventes de chacun des 4 trimestres  mi est :

Trimestre 1 : 7 890

Trimestre 2 : 9 365

Trimestre 3 : 9 305

Trimestre 4 : 10 695

 

5°) Rappel CVS = mi/M. Donc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trimestres

CVS

 1

0,763

2

0,905

3

0,899

4

1,034

 


 

6°) a) Les 4 trimestres de 2001ont pour n° 9,10,11,12 donc :

 

1er Trimestre : x = 9 donc  y = 494,38´9 + 7089,1 = 11538,52 arrondi à la dizaine d'euros : 11540 €

2eme Trimestre : x = 10 donc  y = 494,38´10 + 7089,1 = 12032,9 ≈ 12030 €

3eme Trimestre : x = 11 donc : y = 12527,28 ≈ 12530 €

4eme Trimestre : x = 12 donc y = 13021,66 ≈ 13020 €

 

b) Donnée brute = CVS´Donnée corrigée donc :          1er Trimestre :  0,763´11540 = 8805,2 €

                                                                       2eme Trimestre : 0,905´12030 = 10887,15 €

                                                                       3eme Trimestre : 0,899´12530 = 11264,47 €

                                                                       4eme Trimestre : 1,034´13020 = 13462,68 €

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice n°11

 

1°) a) pour calculer les pourcentages d'augmentation, on peut utiliser la formule suivante qui est issue de la résolution d'une équation du premier degré à une inconnue (l'inconnue étant le pourcentage x en %)

 

1989 - 1990 : x = 100 %                    1990-1991 : x = 200 %                      1991 - 1992 : x = 85,71 %

1992 - 1993 : x = 71,79 %                1993 - 1994 : x = 56,12 %

 

b) L'objectif n'est pas atteint pour les années 1993 et 1994

 


2°) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) a)

Rang x

1

2

3

4

5

6

f(x)

-495

510

1515

2520

3525

4530

g(x)

173

402

1017

2018

3405

5178

b) Pour tracer les représentations graphiques des deux fonctions f et g, il suffit pour la première d'avoir deux points car c'est une fonction affine et la courbe représentative est une droite d'équation y = 1 005 x - 1 500. On peut prendre par exemple (2;540) et (4 ; 2520)

Pour la seconde, c'est une parabole il suffit de placer tous les points de coordonnées ( x ; g(x) ) calculées dans le tableau précédents et de lisser la courbe obtenus au traçage.

c) La fonctions se rapprochant le plus des ventes réelles est g

 

4°) il faut donc calculer y pour x = 7

Ainsi :

 

y=193´7²-350´7+330

 

y=7337

 

En 1995 on peut prévoir une vente de 7337 milliers d'appareils.

 

 

b) Dans ce cas il faut déterminer le ou les valeurs de x pour lesquelles y = 10 000. On doit résoudre l'équation du second degré : (voir le cours sur les équations du second degré pour les formules)

193 x²-350 x + 330 = 10 000 soit 193 x²-350 x -9670 = 0

 

Calculons le discriminant : = (-350)²-4´193´(-9670) = 7587740, il y a deux solutions : x1 = 8,04297 et x2 = -6,229

La deuxième solution est à rejeter. L'année ayant le rang 8 verra la vente d'appareils jetables égale à 10 000 miliers.

L'année au cours de laquelle cette condition sera réalisée est donc 1996.

 

Exercice n°12

 


1°) La moyenne journalière des locations sur les trois semaines est :

 

Moyenne sur

les trois semaines

CVS

 Lundi

Mercredi

Samedi

6,3

27,0

34,3

0,352

1,508

1,916

2°)