LE ZERO

 

 

Ou l ' histoire d ' un petit rien qui a bouleversé le monde

 

 

CALCUL

Les romains de l ' Antiquité ne connaissaient pas le zéro.

Il n ' a été introduit  que vers  l ' an  800 , lorsqu ' un mathématicien indien expliqua que multiplier un nombre par 0 donnait 0.

Quelques siècles plus tard , Newton et Leibniz allaient inventer le calcul différentiel autour de l 'opération "interdite  divisé  par 0……

 

D ' où un débat  métaphysique qui , pour tout dire , tournait autour de rien et ne donna pas grand -  chose.

 

 

Histoire d ' un petit rien qui a bouleversé le monde.

 

Rien n 'est plus intéressant que le rien.

Rien ne laisse plus perplexe que le rien et rien n ' est plus important que le rien.

Le rien est  l ' un des sujets favoris des mathématiciens , une véritable boite de Pandore , pleine de curiosités et de paradoxes.

 

Q u 'est ce qui gît au cœur des  mathématiques ? Vous l ' avez deviné  : le rien

 

Il est difficile  de résister à la tentation  de faire des jeux de mots quand on parle  du rien , mais  dans le cas des mathématiques , c 'est tricher un peu .Ce qui gît au cœur  des mathématiques a certes un rapport avec le rien  , mais  ç a n ' est pas exactement la même chose .Le  "rien" , c 'est ….ma foi le rien . Le néant  . L 'absence totale de "quelque chose ". Le zéro , en revanche , est , sans aucun doute , quelque chose . C 'est un nombre.

  C 'est en fait , le nombre que vous obtenez quand vous comptez vos oranges et que vous n ' en avez aucune.

Le zéro a causé aux mathématiciens plus de migraines et leur a procuré davantage de joies que n 'importe quel autre nombre.

 

 

L  histoire des origines du zéro est , ce qui est sans doute logique , pratiquement inexistante .Les documents historiques sont rares et ceux qui existent peuvent donner lieu  a d' innombrables interprétations . Considérer le zéro  comme un nombre n 'est pas la même chose  que de disposer d ' un symbole  pour zéro , et utiliser un symbole spécial pour indiquer l ' absence  de nombre  n 'est  pas la même chose  que de disposer d ' un symbole pour le zéro. E n vérité , les Babyloniens de la période séleucide , aux alentours de 300av. J.-C. , disposaient d ' un symbole particulier pour traduire l ' absence de nombre , mais ce n'est pas un véritable zéro , parce  qu 'il n ' était utilisé de manière logique . Rien ne permet  d ' affirmer que les  Babyloniens  pensaient que " l ' absence de nombre"  était elle-même  un concept assimilable à un nombre , par plus que nous ne pensons que l ' absence de cheveux définit une sorte de  cheveux.

 

 

Le zéro comme symbole participe de la magnifique invention  de la numération décimale. Les  premières notations des nombres  étaient bizarres et merveilleuses , comme  dans le cas  des chiffres romains (SOS cours ) ,  1998  s 'écrit MCMXCVIII   - mille (M) plus cent de moins  qu 'un millier (CM) plus dix de moins qu ' une centaine (XC) plus cinq (V) plus un plus un plus un  ( III ) . Essayez  de résoudre un problème  d ' arithmétique avec ce système …Les symboles étaient donc utilisés pour noter les nombres , tandis que pour effectuer les calculs , on avait recours à l ' abaque , composé de cailloux alignés  dans une salle ou de perles enfilées sur un fil métallique.

 

Un beau jour , quelqu ' un eut l ' idée brillante de représenter l ' état d ' un rang de perles par un symbole - non pas avec nos actuels 1;2;3;4;5;6;7;8;9; mais avec quelque chose  d ' assez  semblable. Ainsi le symbole équivalent à 9 représentait neuf perles de n ' importe qu ' elle rang - neuf milliers , neuf centaines , neuf dizaines ou neuf unités . L a forme du symbole n ' indiquait pas la quantité évoquée , pas plus que ne le faisait le nombre de perles sur un fil du boulier . La distinction s ' effectuait en fonction de la position du symbole , qui correspondait à la position du fil. Dans la notation 1998 par exemple , le premier neuf signifie neuf centaines , et le second , neuf dizaines. C ' est ainsi que , peu après l 'an 200 de notre ère , naquit la numération décimale , probablement en Inde , et peut - être  avec le concours des Arabes. (SOS  chiffres Arabes cours )

 

 

L ' avènement de la numération décimale rendit nécessaire d ' avoir un symbole  représentant une rangée vide de perles .Sans cela , il était impossible de différencier 14 ; 104 ; 140 , 1400 ; …etc. C 'est pour cette raison qu ' au début le symbole pour zéro était intimement lié à la notion de vide et ne représentait pas un nombre en tant que tel . Cependant , vers l ' an 800 , les choses commencèrent à changer lorsque le mathématicien indien Mahavira expliqua que multiplier un nombre par 0 donnait 0 et que soustraire 0 à un nombre quelconque ne modifiait pas celui - ci .En utilisant  le zéro en arithmétique sur le même pied que les autres nombres , il démontra que 0 possédait toutes les propriétés d ' un nombre .

 

La boite de Pandore était désormais grande ouverte , et ce qui en sortit fut …le rien .Et qu 'il était glorieux , indiscipliné et rageant ,, ce rien-là ! Les résultats obtenus en faisant de l ' arithmétique avec le zéro étaient souvent curieux , si curieux parfois qu 'on du les interdire .L ' addition du zéro produisait les mêmes  résultats que sa soustraction : le nombre restait identique .Les puristes de la linguistique ont beau objecter qu 'on ne peut parler d ' addition quand on laisse quelque chose en état , les mathématiciens préfèrent  en général le coté pratique à la pureté linguistique . Comme l ' a établi Mahavia , la multiplication par zéro donne toujours zéro. Mais c 'est  avec la division que les problèmes sérieux se posèrent. Diviser par zéro ( 0 ) par un autre nombre que zéro est facile : le résultat donne toujours zéro .

Pourquoi ? parce que  0 diviser par 3 , par exemple , devant être  " le nombre  donnant 0 quand on le multiplie par 3 " , il n ' y a que zéro qui remplisse cette condition.

Mais que donne 1 divisé par zéro ? le résultat sera "le nombre qui donne 1 quand il est multiplié par 0 " Malheureusement tout nombre multiplié par zéro donne 0 , et  non 1 , donc le nombre recherché n ' existe pas. La division par 0 est donc interdite , raison pour laquelle les calculatrices affichent un message d ' erreur lorsque vous tentez l ' opération .

 

 

Au lieu d ' interdire les fractions  telles que 1 divisé par 0 , il est possible  de laisser échapper de la boite de Pandore mathématique un autre concept irritant - en établissant comme définition que 1 divisé par zéro est égal à l' "infini" .L ' infini est encore plus bizarre que le zéro ; son utilisation devrait toujours être  accompagné d' une mise en garde gouvernementale : " l ' infini peut causer de graves dommages à vos calculs " quelle que soit la nature de l ' infini , il ne constitue pas un nombre au sens habituel. Bref , le mieux est d 'éviter de se lancer dans des calculs  telles que 1 divisé par 0 .

 

Hélas , il n ' est pas si facile d ' échapper à la malédiction de Pandore . Que se passe - - t il  quand on divise 0 par 0 ?

Dans ce cas , le problème ne réside pas dans l ' absence  de candidat , mais dans leur multiplicité. Rappelons que le résultat de 0 divisé par 0 devrait être  " le nombre qui donne 0 quand on le multiplie par 0" Mais comme il se trouve que cette proposition est vraie quel que soit le nombre par lequel on divise 0  , à moins d ' être extrêmement prudent , on risque de tomber dans de  nombreux pièges logiques - le plus simple d ' entre eux  étant de prouver que 1 =  2 puisque ces d'eux nombres sont égaux à 0 quand on les divise par 0 . C ' est pourquoi il est également interdit de diviser 0 par 0 .

 

Mais diviser 0 par 0 était une idée bien trop séduisante pour qu ' elle restât interdit longtemps. Cette opération réside au cœur  même du calcul différentiel , une intervention réalisée à peu prés au même moment par Wilhelm Gottfreid  ( 1646 - 1716 ) et Isaac Newton (1642 - 1727 ) .Le calcul différentiel  représenta une extraordinaire révolution intellectuelle , peut être sans équivalent historique , car elle enfanta l ' idée que la nature est ,dans ses fondements mêmes , mathématique.

 

Dans quelle mesure le calcul différentiel nous éclaire -t -  i l  sur l ' opération consistant  à diviser 0 par 0 ? Précisons tout d ' abord que l ' objet du calcul différentiel est de traiter le comportement des fonctions mathématiques pour des variations infiniment petites des variables - c' est à dire de déterminer à quelle vitesse elles changent à un moment donné. Impossible à ce stade  d ' échapper à quelques formules

                  Supposons qu 'une quantité x varie dans un temps t , et notons x(t) sa valeur au moment t .Cet x peut par exemple indiquer la distance parcourue par votre "booster" à tel moment , et l ' on pourrait poser que x (midi) = le bistro du coin .A cet instant , il est probable que votre "booster" ne se déplacera pas - à moins  qu 'un lascar ne soit en train de vous la faucher - et donc la variation de x à midi est égale à zéro .Cependant  à un moment t  situé  un peu après 14 heures , vous êtes en train de pédaler le long d ' allées ombragées , à l ' endroit x(t). A quelle vitesse votre position change - t- elle à cet instant précis ?

 

La réponse de Newton fut de laisser le temps grandir d ' une toute petite valeur - que nous appellerons d . Tandis que t se transforme en t +d  , le booster avance  de x (t)  à x (t+d) , c ' est à dire grosso modo , de la distance  séparant la narine droit  d ' un mouton qui dort au bort de la route de la narine gauche de ce même mouton. Le calcul de votre changement de position est donc de x (t +d)- x (t) , ce qui donne la distance entre les deux narines , et comme il a fallu le temps d pour réaliser ce changement , le taux de variation est donc  :

               (x (t +d)- x (t))/d , soit la distance parcourue divisée par le temps qu 'il a fallu pour la parcourir .

 

 Jusqu ' ici , pas de problème , mais  cette formule représente une variabilité moyenne dans un intervalle  de temps  allant de t à t+d , et non au moment t lui même. Aussi petit que d puisse être , même s ' il est de 0,0000000000001 , cette approche ne vous  donne pas toujours un taux de variation instantanée.

L ' idée de Newton était de calculer le taux moyen de variation au cours  d ' un intervalle de  temps de longueur d , de ramener  d à zéro et de voir ce qu 'on obtenait.

 

En pratique , cela donne des résultats parfaitement sensés , mais c 'est la méthode qui reste mystérieuse. Et c 'est là qu ' entre en scène l ' évêque George Berkeley (1685-1753) , plus connu pour ses écrits philosophiques sur le problème de l ' existence . Berkeley plongea les mathématiciens dans l ' embarras en faisant remarquer - à juste titre - que la méthode de Newton équivalait à diviser 0 par 0 . Dans un intervalle de temps  égal à zéro , votre booster avance de zéro  , et vous divisez l 'un par l ' autre. A vrai dire , Berkeley était mû par un autre mobile : ne supportant les critiques  selon lesquelles la foi religieuse était illogique , il ripostât en démontrant que le calcul différentiel était aussi illogique. Il en fit la démonstration dans un pamphlet titré  l" analyste ou discours adressé à un mathématicien infidèle , dans lequel il est examiné si l ' objet , les principes et les inférences de l ' analyse moderne sont conçus  avec plus de précision ou déduits de manière plus évidente que les mystères religieux et les questions de la foi. Dans le texte figurait cette formule:

" Commence par te débarrasser de la poutre que tu as dans l ' œil , ainsi tu verras  plus clair pour ôter la paille dans l ' œil de ton prochain" .Il est clair que le bon évêque était contrarié - et tout aussi clair qu 'il avait consciencieusement appris ses mathématiques.

 

Newton tenta de  justifier ses calculs en en appelant à l ' intuition physique et en recourant par ailleurs à une explication assez spécieuse  sur la façon dont sa méthode évitait  la division par zéro .Vous commencez  par poser votre équation en utilisant la variable d . La fraction implique de diviser par d , mais peu importe , puisque , à ce stade , vous partez  du principe que d n 'est pas égal à zéro . Vous  simplifiez  alors la fraction jusqu ' a ce que d disparaisse du dénominateur. Alors seulement , vous laissez d être égal à zéro pour obtenir votre résultat. Newton n ' a jamais vraiment expliqué comment on pouvait parfois autoriser d à être égal à zéro , et d ' autres fois non. Leibniz , quant à lui , en appela de façon plus mystique à " l' esprit de finesse"  , opposé à  l '  esprit de logique" . Ce qui pourrait à peu prés se traduire par : "moi - même je ne comprends pas ce que je fais, mais bon ça marche…"

 

 

 

Berkeley a affirmait que la méthode fonctionnait grâce aux erreurs compensatoires , mais omit de répondre à la question : " pourquoi les erreurs compensent - elles ?" Finalement , le problème s ' arrangea environ cent vingt ans plus tard grâce à Karl Weierstrass , qui défini le concept évasif de "limite". Plutôt que de dire que d peut parfois être égal à zéro et parfois non , vous calculez en réalité la valeur que la fraction avoisine à mesure que d se rapproche de zéro . Et ça marche .Ainsi , Newton et Liebniz ont accouché d ' une nouvelle façon de penser le monde , tandis que les critiques de Berkeley , bien que justes , n ' eurent aucune portée .En fait , il s ' avéra que toute la controverse tournait autour de ….rien.

 

En un sens , comme l ' a découvert John von Neuman , l ' ensemble des mathématiques  tourne autour de rien. Hongrois émigré aux Etats Unis en 1930 , von Newman est à l' origine  des innovations mathématiques les plus importantes de l ' aube du XX ème   siècle,  puisqu 'il a découvert la théorie des jeux et la logique quantique , et effectué les premiers pas vers ce qui deviendra le calculateur électronique

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( d ' après Ian Stewart)

 

A lire : Georges Ifrah , histoire universelle des chiffres (ed. Laffont)