CORRECTION DES EXERCICES SUR LES LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

 

 

Exercice n°1

 

1°)      En 1999 :  1 an après : 3 650 000 ´ 1,015 = 3 704 750

          En 2000 :  2 ans après : 3 650 000 ´ 1,015´1,015 = 3 650 000 ´ 1,015² = 3 760 321,25

 

On remarque qu'à ce stade, la population d'une année sur l'autre constitue les termes d'une suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme 3 650 000.

 

          En 2003 : 5 ans après : 3 650 000 ´ 1,0155 = 3 932 086,61 ( au centième )

          En 2008 : 10 ans après : 3 650 000 ´ 1,01510 = 4 235 974,01 ( au centième)

          En 2028 : 20 après : 3 650 000 ´ 1,01520 = 4 916 020,77 ( au centième)

 

2°) D'après la question 1°) On a : Pn = 3 650 000 ´ 1,015n

 

3°) La courbe représentative de cette fonction est constitué des points de coordonnées ( x ; 3 650 000 ´ 1,015x ) pour x allant de 0 à 30 :

 

4°) D'après le graphique, il faut un peu plus que 21 ans.

 

5°) Il faut donc chercher pour quelle valeur de n on a Pn = 5 000 000 . On doit alors résoudre l'équation d'inconnue n telle que :

 

3 650 000 ´ 1,015n = 5 000 000

La résolution est va nécessiter l'emploi de la fonction Ln pour pouvoir déterminer n. Mais il faut d'abord isoler 1,015n :

 


Les étapes de la résolution de cette équation sont les suivantes :

 

 

Ce résultat confirme la prévision graphique.

 

Exercice n°2

 

1°) la machine se déprécie de 20 % par an ce qui signifie qu'elle garde 80 % de sa valeur d'une année sur l'autre. La valeur de la machine d'une année est donc égale au produit de 0,8 par la valeur de la machine l'année précédente donc :

 

                                      V0 = 9 000 €

                                      V1 = 0,8 ´ 9 000 =7 200 €

                                      V2 = 0,8 ´ V1 = 0,8 ´ 0,8 ´ 9 000 = 0,82 ´ 9 000 = 5 760 €

                                      V3 = 0,8 ´ V2 = 0,8 ´ 0,82 ´ 9 000 = 0,83 ´ 9 000 = 4 608 €

 

2°) Pour passer d'une valeur à la suivante on multiplie par 0,8 donc les valeurs seront les termes d'une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme V0 = 9 000.

On a alors :  Vn = V0 ´ 0,8n

 

3°)     n = 0 : V0 = V0 ´ 0,80 = V0 = 9 000 €

          n = 1 : V1 = V0 ´ 0,81 = V0 ´ 0,8 = 9 000 ´ 0,8 = 7 200 €

          n = 2 : V2 = V0 ´ 0,82 = 9 000 ´ 0,82 = 5 760 €

 

Au bout de huit ans de fonctionnement : n = 8 : V8 = V0 ´ 0,88 = 9 000 ´ 0,8 = 1509,94944 €

 

4°) a) Lorsque x croit, f(x) décroît donc la fonction f est décroissante.

 


4°) b)


4°) c)

 

5°)a) on veut : ¦(x) = 4 000 : Il donc faut chercher sur le graphique l'abscisse x du point qui a pour ordonnée 4000 , sur le graphique on lit environ 3,6.

 

5°)b) il faut donc résoudre l'équation :  9 000 ´ 0,8x = 4 000

 

Les étapes de cette résolution sont :

A l'aide de la résolution de l'équation on trouve x = 3,63.

 

Exercice n°3

 

1°) Le pourcentage d'augmentation peut se calculer de la façon suivante :

 


Pour 1993-1994 :

 

Vérification

 

De la même façon pour    1994-1995 : 27,4 %                 1995-1996 : 12,1 %         1996-1997 : 21,7 %

                                      1997-1998 : 11,6 %      

 

2°) Il faut résoudre l'équation en t : 9 850 = 3 720´(1+t)6

 

Les étapes de résolution sont les suivantes :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le taux annuel moyen d'augmentation entre 1993 et 1999 est donc de 17,62 %

 

Vérification : 3 720 ´ ( 1+ 0,1762 )6 ≈ 9 850 .

 

Si on prend le sixième du pourcentage d'augmentation entre 1993 et 1999 on trouve : cela suppose ici que l'on a une variation affine du taux de variation en fonction du nombre d'année alors que celle-ci est plutôt exponentielle (voir question 3°))

 

 

 


3°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On constate que la fonction donnée s'ajuste bien sur les points donnés.

 

Exercice n°4

 

1°) a)Ln(x) est une fonction croissante donc -Ln(x) est une fonction décroissante alors ¦(x) est décroissante.

 

1°) b) Le tableau de variation de ¦ est donc :

 

¦(0,2) = - 8 310´Ln(0,2) ≈ 13 374                                            ¦(1) = - 8310´Ln(1) = 0

 

Valeurs de x

0,2                                                                                                                             1

Sens de variation de ¦

 13 374

 

 

                                                                                              0

 

1°) c)

 

x

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f(x)

13400

10000

7600

5800

4200

3000

1900

900

0

 


1°) d)

 

2°) a)

¦(0,25) = - 8310´Ln(0,25) ≈ 11 500     

Le fossile a donc 11500 ans       

2°) b)  il faut trouver l'abscisse du point sur la courbe ayant pour ordonnée 11 500

ce point a pour abscisse

x = 0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice n°5

 

1°) Si ce bien se déprécie de 20 % par an, alors il garde 80% de sa valeur d'une année sur l'autre alors :

 

P2 = 0,8´P1 = 0,8´20 600 = 16 480

P3 = 0,8´P2 = 0,8´0,8´20 600 = 0,82´20 600 = 13 184

P4 = 0,8´P3 = 0,83 ´ 20 600 = 10 547,2

 

2°) Pour Passer d'un nombre à l'autre on multiplie par 0,8. Ces nombres sont donc les termes d'une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme P1 = 20 600.

3°) D'après la formule qui permet de calculer le terme de rang n on a :

Pn = 0,8n´P1=20 600´0,8n

 

4°) a) Calculons

¦(0) = 20 600´0,80 = 20 600 = P1

¦(1) = 20 600´0,81 = 16 480 = P2 ect ……..

 

Voir tableau ci après.

 

4°) b) D'après le tableau ci-dessus, lorsque x croît ¦(x) décroît donc ¦ est décroissante.

 

4°) c) Voir graphique

 

4°) d) Il faut lire sur la courbe, l'abscisse du point dont l'ordonnée vaut 11 700. On lit x ≈ 2,6

x

0

1

2

3

4

5

¦(x)

20 600

16 480

13 184

10 547,2

8437,8

6750,2

 

 

 

 

5°)