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LOGARITHME NEPERIEN

 

Ce système a pour base le nombre « e »b. Le logarithme népérien d’un nombre  « x » s’indique par la notation log e  x  ou  Ln x .

 

Ce système de logarithmes népériens est particulièrement important car il intervient fréquemment  en mathématiques et en physique du fait que   

 

 

Il n’existe pas de table de logarithmes népériens et l’on déduit le logarithme népérien d’un nombre donné de son logarithme décimal en appliquant la règle suivante ( que l’on démontera plus loin) .

 

Règle : On obtient le logarithme népérien d’un nombre en multipliant son logarithme décimal par  « 2,30 » 

 

 

 

Liste des cours disponibles sur les logarithmes.

 

1. Exercices préliminaires


11. Méthode approximative pour déterminer une aire :


 

On veut déterminer l’aire située sous la courbe délimitée par la courbe, l’axe des x, les 2 verticales passant par x = 1 et x = 2 .

Méthode :
- on compte les carreaux entiers : 30
- on compte les carreaux coupés par la courbe : 5
- on additionne en comptant les carreaux incomplets pour moitié

total : 30 +  = 32,5

- on calcule l’aire d’un carreau :
0,2 * 0,2 = 0,04

- on calcule l’aire demandée
32,5 * 0,04 = 1,3

attention l’unité n’est bien sûr pas le cm2 !

 


 

12. Méthode approximative pour déterminer une aire :



Déterminer l’aire située sous la courbe, délimitée par les 2 droites d’équation x = 1 et x = 1,5.
Cette courbe est la représentation de    


Nombre de carreaux :

- entiers :

- incomplets :

- total :

Aire d’un carreau :


Aire totale :



Vous devez trouver :  0,405


 

2. Courbe :      

 

Déterminer à partir de la courbe complète ci-dessous :

l’aire de 1 à 2 :

l’aire de 1     à   2,7 :

l’aire de 1 à 0,8 :

 

 

3. Définitions

 

 

Le logarithme népérien d’un nombre (noté : ln)   est donné par la mesure de l’aire située sous la courbe représentative de la fonction    et délimitée par les 2 droites verticales passant par le point (1 ; 0 ) et le point ( x ; 0)

Cette fonction se note :    ln

    si x > 1, le logarithme est positif ; si x < 1 le logarithme est négatif


Cette définition n’est pas à savoir en bac pro.

D’après les calculs d’aires, on obtient ln(1,5) = 0,4

Compléter : ln(2) = ................... ln(2,7) = ................... ln(0,8) = ...................

Peut-on calculer ln(x) si x < o ? ...................Peut-on calculer ln(x) si x = o ? ...................

 

La fonction ln n’existe que si x est ..............


Compléter (calculatrice) :
ln(5) = ................... ;      ln(0,08) = ................... ;       ln(.............) = 0,45 ;      ln(.............) = -2

4. Base de la fonction ln


Graphiquement on a trouvé  ln(2,7)
» 1
Déterminer à la calculatrice le nombre qui a pour logarithme népérien 1                  ln(.............) = 1

 

Cette valeur est la base des logarithmes népériens et se note e
e
» ......................                                                                                                      ln(e) = 1

 

5. Graphique


Représenter graphiquement sur une feuille de papier millimétré la fonction ln pour   
(repère orthonormal d'unité graphique 1 cm)

 

6. Propriétés de la fonction ln


61. Produit :


ln(2 ) = .............. ln(3) = .............. ln(6) = ..............(arrondir tous les résultats à 10 -3)

Que remarquez vous ? ..............
Vérifier avec 5 x 2.

Compléter la formule suivante (on admettra):

 

ln (a.b) =

 

 

62. Inverse.
 
 remarque :    a .  = 1

 

En utilisant la propriété du produit et la valeur de ln(1)

 



Compléter la formule suivante 

ln   =

 

63. Quotient

remarque 

En utilisant les propriétés du logarithme du produit et de l’inverse 

 

:

 

ln  =

 



64. Puissance et racine nième:
remarque : an = a.a.a. ………..a  (n fois)   

en utilisant la propriété du produit

 

 
Compléter la formule suivante :

ln(an) =                              et  on admettra :    ln(  ) =


 

7. Exercices

 

71. Par tâtonnement, trouver x tel que 2 x = 4096    réponse : ..............
On peut le trouver mathématiquement :
Si 2 nombres sont égaux, leurs logarithmes népériens sont égaux:


.      Donc 




Dans quel type de problème trouve-t-on une telle équation ?




..............


72. Exercices :
722. La production d'une entreprise diminue de 6 % par an. En combien d'années sera-t-elle divisée par 2 ?



723 Chaque année les surfaces désertiques augmentent de 1/9 de leur valeur. En combien d’années, l’augmentation sera-t-elle de 53 % ?




 


 

LOGARITHME DECIMAL

 

1. Nouvelle fonction


Sur votre calculatrice, il existe une autre fonction log.
Compléter :

 

log(..........) = 1
La base n’est plus e mais ..........
Ce sont les logarithmes décimaux.

 


Cette fonction a les mêmes propriétés que la fonction ln.

2. Quel est l’intérêt de cette fonction log ?


21. En utilisant les propriétés des logarithmes, les puissances de 10, le fait que log(10) = 1 ; compléter en expliquant :
sans calculatrice

log (100) = log (10 ....) = ................

log (1 000 000 ) = .........................

log (0,000 1) = ...............................

22. Toujours sans calculatrice, en expliquant :

Sachant que log(2)
» 0.3
log(20) =log(2*10) = log(2) + log(10)
» 0.3 + 1 » 1.3

A vous :
log(2 000 )
» ..........

log(2 000 000 ) » ..........

log(8)
» ..........

log(0.2 )
» ..........


3. exercices

 

Le gain en puissance d’un amplificateur ou d’un filtre est donné par la formule :


 

Le gain G en décibel (dB) ; la puissance d’entrée Pe en W ; la puissance de sortie Ps en W.


Calculer le gain si Ps = 3 Pe        G » ...................


Calculer le gain si Ps =  Pe / 10      G
» ...................



Pour un amplificateur, le gain est ..........................

Pour un filtre, le gain est ........................................


Exercices logarithmes exponentielles

Calculs :

 

1.  

 

2.

 

3.

 

4.

 

5. sans calculatrice et en expliquant :     

 

Equations :


6.

 

7.

 

Transformation de formules :


8.

 

9.

 

Tracés :


10.
Tracer  sur la même feuille  déterminer les équations des tangentes aux deux courbes aux points d’abscisse 0. Les tracer.
11. Tracer  ; déterminer l’équation de la tangente au temps t =0. La tracer.

Enoncé de bac pro msma (extrait) :


La température q de la plaque à l’instant t est donnée par la relation :    t en secondes q en °C.
1. Déterminer
l sachant qu’à l’instant t = 0 la température de la plaque est de 24 °C.
2. On pose
l = 0.9625.
21. Montrer que t s’exprime en fonction de
q par la relation :
22. Calculer le temps nécessaire pour porter la température de la plaque de 24 °C à 400°C.
3. T étant un nombre réel appartenant à l’intervalle [ -5 ; 0 ], on considère la fonction
q définie par :

31. Calculer la dérivée q’(T).
32. En déduire le sens de variation de la fonction
q.
33. Représenter graphiquement la fonction
q. Echelle : en abscisse 2 cm pour l’unité ; en ordonnée 1 cm pour 50 unités.

Contrôle

Un condensateur est un dipôle permettant d’emmagasiner une quantité d’électricité. Pour le charger, il suffit de le connecter à une source de courant continu pendant un certain temps .
Soit u la tension (en volts) mesurée aux bornes du condensateur pendant la charge. Cette tension est fonction du temps t (en secondes). Soit E la tension (en volts) mesurée aux bornes de la source. Cette tension est constante.
u s’exprime en fonction de E et t par la relation     

1. Calculer E si pour t = 3 s, u = 12,7 V (arrondir le résultat à 0,1 V près)
2. Pour toute la suite du contrôle, prendre    .
Compléter le tableau de valeurs suivant  (arrondir à 0,1 V près)


t

0

1

2

3

4

5

6

8

10

12

14

16

18

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Tracer sur papier millimétré la représentation graphique de la fonction u(t) pour  
4. Déterminer graphiquement le temps correspondant à u = 20 V.
5. Déterminer par le calcul le temps correspondant à u = 20 V

6. Exprimer t en fonction de u.

 

 

 

Contrôle

Un condensateur est un dipôle permettant d’emmagasiner une quantité d’électricité. Pour le charger, il suffit de le connecter à une source de courant continu pendant un certain temps .
Soit u la tension (en volts) mesurée aux bornes du condensateur pendant la charge. Cette tension est fonction du temps t (en secondes). Soit E la tension (en volts) mesurée aux bornes de la source. Cette tension est constante.
u s’exprime en fonction de E et t par la relation     

1. Calculer E si pour t = 3 s, u = 12,7 V (arrondir le résultat à 0,1 V près)
2. Pour toute la suite du contrôle, prendre    .
Compléter le tableau de valeurs suivant  (arrondir à 0,1 V près)


t

0

1

2

3

4

5

6

8

10

12

14

16

18

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Tracer sur papier millimétré la représentation graphique de la fonction u(t) pour  
4. Déterminer graphiquement le temps correspondant à u = 20 V.
5. Déterminer par le calcul le temps correspondant à u = 20 V

6. Exprimer t en fonction de u.


 

Corrigé du Contrôle
1.

4. je lis 7,2 s

5.     

6.     

2.

t

0

1

2

3

4

5

6

8

10

12

14

16

18

u

0.0

5.3

9.4

12.7

15.2

17.1

18.6

20.8

22.0

22.8

23.3

23.6

23.7




Contrôle BPMSMA :
La tension aux bornes d’une bobine est donnée par la formule .
E est la tension de la source, L est l’inductance de la bobine en Henry (H), R est la résistance en
W, t le temps en secondes.
1. Calculer E si u = 7.6 V quand R = 0.4
W, L = 1.7 H, t = 3 s. (arrondir à 10-2 V)
2. Tracer la représentation graphique de la fonction  pour t variant de 0 à 25 s.
3. Déterminer graphiquement le temps correspondant à u = 13 V.
4. Calculer le temps correspondant à u = 13 V.
5. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au temps t = 0. Tracer cette tangente.
6. Montrer que L s’exprime par la formule

Corrigé du contrôle :
1.


 

2.

 

3. Graphiquement, je lis : 8,6 V.

 

5.

 

c’est le coefficient directeur de la tangente donc l’équation est

pour tracer, prendre
t = 0 ;    u = 0
t = 3.4 ; u = 12



5.

6.

Expliquer le passage à la formule.